4 第4天 幂函数-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

3预备新高一数学8 的第4天 幂函数 温故知新 1.幂的运算法则 2.正比例函数：一般地，形如y=x(k是常数， (1)同底数幂的乘法，底数不变，指数相加， k≠0)的函数叫做正比例函数.当k=1时，正 即am·a”=am+"(m,n是正整数)； 比例函数为y=x. (2)同底数幂的除法，底数不变，指数相减， 3.反比例函数：一般地，形如y=(为常数， 即am÷a”=am-"(a≠0，m,n是正整数，m>n); k≠0)的函数叫做反比例函数.当=1时，反 (3)幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 1 (am)”=am(m,n是正整数). 比例函数为y=二 第1步 学新知 知识点1幂函数的概念 ★★☆☆☆ 示例：在函数y=3x2中，x2的系数不是1， 1.幂函数的定义 所以它不是幂函数；在函数y=x2+2x中，函数 般地，函数y=“叫做幂函数，其中x是 不是y=x(α是常数)的形式，所以它不是幂 自变量，a是常数， 函数；函数y=1与y=x°=1(x≠0)不是同一个 名师点晴 函数，所以y=1不是幂函数. 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是 知识点/2五个常见幂函数的图象与性质 否为y=x“(为常数)的形式.反过来，若一个函 ★★★★★ 数为幂函数，则该函数也必须具有这一形式，这 也是我们解决某些问题的一个隐含条件. 1.五个常见幂函数的图象 2.幂函数的特征 当a分别取1,23,1时，我们就可以 (1)x的系数为1；(2)x“的底数x是自 得到五个幂函数：y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y= 变量；(3)x的指数α为常数.只有同时满足 x1,通过描点得到这五个幂函数在同一平面 这三个条件的函数才是幂函数： 直角坐标系中的图象，如图所示 86 第四周函数的概念与性质。 名师点晴 5 y=x2 y=x 幂函数的定义域由幂指数确定：当幂指数为 正整数时，定义域为R;当幂指数为0或负整 y=x 数时，定义域为(-∞，0)U(0,+∞)；当幂指 数为分数时，可以先化成根式，再依据根式 y=x 有意义的条件求定义域。 5 知识点/3 一般幂函数的图象与性质 ★★★★★ 1.幂函数的图象 观察五个常见幂函数在第一象限内的图 2.五个常见幂函数的性质 观察图象，可以得到五个常见幂函数的性 象可知，幂函数y=x“的图象在第一象限内具 质，如下 有如下特征：在平面直角坐标系中，直线y=x 和y=1将直线x=1的右侧部分分为(I) 图象 函数定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 (Ⅱ)（Ⅲ）三个区域，如图所示. x=1 y=x R 奇函数 增函数 V=x 指 在(-0,0] (Ⅱ) 大 上单调递 [0, 图 Y=x R 偶函数 减，在(0， +o) +0)上单 高 (Ⅲ) 调递增 Y=x R 奇函数 增函数 (1,1) (1)ax∈（1，+∞)y=x的图象经过区域 既不是 (I); y=x2 [0,+∞) 奇函数， 增函数 也不是 (2)α∈（0,1)台y=x的图象经过区域 偶函数 (Ⅱ)； (3)a∈（-0,0)y=x的图象经过区域 在（-0， (-∞，0)U 0)和（0， (Ⅲ) 奇函数 (0,+∞) +o)上单 在直线x=1的右侧，从x轴向上，幂函数 调递减 y=x的指数a由小到大递增，即“指大图高”. 87 预备新高一数学&一 2.幂函数的图象与性质 3.幂指数对图象的影响 解析式 y=x(∈R) 当=1时，y=x的图象是一条直线； a>0 a<0 当au=0时，y=x°=1(x≠0)的图象是一条 不包含点(0,1)的直线； 图象 当α为其他值时，相应幂函数的大致图象 a增大 如下表. a<0 0<a<1 >1 图象过点(0,0)和 2 点(1,1).在第一象 图象过点(1,1).在 图象 限内，当0<a<1 第一象限内，图象 特征 P,9都是 时，图象上凸；当 都下凸 奇数 a>1时，图象下凸 定义 在(0，+∞)上都有定义， 域 定义域与α的取值有关 p为偶数， 9为奇数 , 性单调在(0，+∞)上单调 在(0，+∞)上单调 质 性 递增 递减 p为奇数， 奇偶 与α的取值有关 q为偶数 性 o 第2步 过典例 题型 1) 幂函数的定义域和值域 易 即学即练 答案见P29] 典例(1)函数y=x的定义域是 值域是 1.求下列函数的定义域和 (2)函数y=x的定义域是 值域是 值域 (1)y=x5; 【解析】(1)y=x的定义域是R,值域是[0，+0). (2)y=x÷ (2)y=x产=的定义战是x1x≠0，值城是(0，+0). x 【答案】(1)R[0,+∞)(2){xlx≠0}(0，+∞) 名师点睛 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意 义，值域要在定义域范围内求解 88 3第四周函数的概念与性质。 题型2)利用幂函数的定义求参 常考 典例2已知幂函数f(x)=x的图象过点(2,8)，则α= 2.已知f(x)=(m+1)xm+2是 【解析】把(2,8)代入f(x)=x, 幂函数，则m的值为】 可得8=2“，解得a=3. 【答案】3 题型3)幂函数的图象及性质 @ 典例3讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函 3.讨论下列函数的定义域、值 数的大致图象 域、奇偶性、单调性，并作出函 (1)f(x)=x4; 数的大致图象 (2)f)=x (1)fx)=x3; 【解析】(1)函数f代x)=x4的定义域为R,值域为[0，+∞). (2)x)=x 因为函数的定义域关于坐标原，点对称，且f(-x)=(-x)4=x=f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数 又f(x)=x4在(-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调递增， 故可画出其大致图象如图1所示. f(x)=x 0 图1 (2)函数f(x)=x的定义域为[0，+0)，值域为[0，+∞) 因为函数的定义域关于坐标原点不对称， 所以函数f(x)=x既不是奇函数，也不是偶函数. 又f(x)=x在定义域[0，+0)上是增函数， 故可画出其大致图象如图2所示 r 0 图2 89 3 预备新高一数学 题型4) 利用幂函数的性质比较大小 鲜 4.利用幂函数的性质，比较下 典例4比较下列各题中两个数的大小： 列各题中数的大小： (1)2.3,2.4; (1)0.65与0.353； 2 (2)(2),(3); (2)4.1,3.85,(-1.9)3. (3)(-0.31)0.35 【解析】(1)因为y=x在[0，+0)上单调递增，且2.3<2.4， 所以2.3产<2.4 (2)因为y=x在(0，+0)上单调递减，且√2<3， 所以(2支>(5)立 (3)因为y=x为R上的偶函数， 所以(-0.31)9=0.31】 又函数y=x在[0，+0)上单调递增，且0.31<0.35， 所以0.313<0.35号，即(-0.31)<0.353 名师点晴 比较幂值大小的三种方法 (1)直接法：当幂指数相同时，直接运用函数的单调性来比较大小； (2)转化法：当暴指数不同时，可以先转化为相同的暴指数，再运用 函数的单调性来比较大小； (3)中间量法：当底数不同、幂指数不同且不能运用函数的单调性比 较大小时，可选取适当的中间值与所给数分别比较，从而达到比较 大小的目的. 题型5)利用幂函数的性质求参数 5.已知幂函数f(x)=(m2 典例5已知幂函数y=(m2+m-5)xm2-2m-3,当x∈(0，+0)时，y 2m-2)xm-2在(0，+0)上单调 随x的增大而减小，则实数m的值为 递减，则实数m的值为( 【解析】因为y=(m2+m-5)x-2m-3是幂函数， A.-1 B.3 所以m2+m-5=1,即(m-2)(m+3)=0, C.-1或3 D.-3 所以m=2或m=-3. 当m=2时，m2-2m-3=-3, y=x3是幂函数，且满足当x∈(0，+∞)时，y随x的增大而减小； 当m=-3时，m2-2m-3=12, 90 3第四周函数的概念与性质& y=x2是幂函数，但不满足当x∈（0，+∞)时，y随x的增大而减小，故 舍去 综上，实数m的值为2. 【答案】2 易错提醒 本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，此时一定要根据题目要 求对m的值进行检验. 题型6)利用幂函数的单调性解不等式 典例6若(3-2m)>(m+1),则实数m的取值范围 6.若(a+1)<(3-2a)方，则 为 实数a的取值范围为 【解析】因为y=x在定义域[0，+∞)上单调递增， r3-2m≥0， 所以{m+1≥0， 解得-1≤m<3 3-2m>m+1, 故实数m的取值范国为[-1，号)】 【答案1-1，号 第3步 练新题 ☐答案见P30 Q建议用时：30分钟 9实际用时： 分钟 1.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则幂函 3.已知ae{1,23,7-1} 则使函数y=x 数f(x)的解析式为() A.f(x)=x3 的定义域为R,且函数y=x为奇函数的所 B.f(x)=x2 有的值为( C.f(x)=√x(x≥0)》 A.-1,3 D.f(x)=x(x≠0) B.-1,1 2.(多选题)下列函数中，为幂函数的是( C.1,3 A.f(x)=x3 D.-1,1,3 B.f(x)=2x2 4.下列函数是偶函数，且在(-∞，0]上单调递 C.f(x)=x1 增的是() D.f(x)=2 A.y=x-1 91 3 预备新高一数学8 B.y=x2 7.已知幂函数fx)=(m2-m-1)xm2-2m-1」 C.y=x3 (1)求函数f(x)的解析式； [-x,x≥0， (2)若函数f(x)图象不经过坐标原点，直接 D.y= [x,x<O 写出函数f(x)的单调区间； 5.如图，幂函数y=2,y=x,y=x,y=x在第 (3)若函数f(x)图象经过坐标原点，解不等 象限内的图象依次是图中的曲线() 式f(2-x)>f(x). C A.C1,C2,C3,C4 B.C1,C4,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3 6.(多选题)下列关于幂函数的说法，错误的 是() A.幂函数的图象均过点(1,1) B.幂函数的图象均在两个象限内出现 C.幂函数的图象可以在第四象限内 D.任意两个幂函数的图象最多有两个交点 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.幂函数的概念 1、2 2.五个常见幂函数的图象与性质 3、4 3.一般幂函数的图象与性质 5、6、7 今天的我： 超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 92260)在[4.6]上的最大值为年21，解 得k=2.故选B. ra-3<0, 6.(0,2]【解析】由题意得2a>0, l(a-3)+5≥2a, 解得0<a≤2. 【点拨】利用分段函数的单调性求参，一般要 求函数在定义域内各个区间上都单调，再比 较端点值 第3天函数的基本性质（二） 【即学即练】 1.(1)函数f(x)=x2+2的定义域为{xx≠0}， 定义域关于原点对称，f(-x)=(-x)2+ 1 （)=+3=(x）·因比西数(x)z 是偶函数， (2)函数f(x)=xIxI的定义域是R,定义域 关于原点对称，f(-x)=-x·1-x|=-x· |xl=-f(x),因此函数f(x)=x|x|是奇函数 2.-7【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以 f(-1)=-f(1)=-(3×1+4)=-7. 【练新题】 1.C【解析】易知函数f(x)的定义域为(-∞， 0)U(0,+∞)，关于原点对称.因为f(-x)= V产V反，所以)是偶函数故 1 选C. 2.B【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)= -f(x).又f(x)≠0，所以f(x)f(-x)= -[fx)]2<0,故A错误，B正确.f(x)与 (-x)的大小无法确定，即选项C,D无法 参考答案8 判断。 3.A【解析】取Hx1,x2∈[-3，-2]，且x1<x2, 即-3≤x1<x2≤-2，则2≤-x2<-x1≤3.因为 函数f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以 f(-x2)<f(-x1).因为函数f(x)为奇函数，所 以-f(x2)<-f(x1),所以f(x1)<f(x2).因此， 函数f(x)在区间[-3，-2]上单调递增，且最 大值为f(-2),最小值为f(-3) 4.②④⑤⑦【解析】若仅已知f(x)的定义域 关于原点对称，则无法判断f(x)的奇偶性， 故①错误；若f代-x)=f(x),则f(x)(x∈R) 是偶函数，其中x需满足任意性，故③错误； f(x)=0,x∈D,只要定义域D关于原点对 称，则该函数既是奇函数又是偶函数，如 f(x)=0,x∈[-1,1]，无需x∈R,故⑥错误 易知②④⑤⑦均正确. 5.0,0【解析】由已知得f(0)=0,故m=0.由 f(x)是奇函数，知f(-x)=f(x),即 一x+0 -nx+1 x+0 +n+1,所以 -x·2nx =0, x2-nx+1)(x2+nx+1) 所以n=0. 6.-1【解析】因为函数满足f(x+2)=-f(x), 所以用x+2替换x,可得f(x+4)=-f(x+ 2)=f(x).又因为函数f(x)为奇函数，所以 f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)= -f(1)=-1. 第4天幂函数 【即学即练】 1.(1)y=x5的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 值域为(-∞，0)U(0,+∞). 3 (2)y=x4= 二的定义域为(0，+)，值域 29 3预备新高一数学8 为(0，+o). 2.0【解析】因为f(x)=(m+1)x2是幂函 数，所以m+1=1,解得m=0. 3.(1)函数f(x)=x3的定义域为(-0,0)U (0,+∞)，值域为(-∞，0)U(0,+∞).因为 函数的定义域关于坐标原点对称，且 f代-x)=（-x)3=-x3=-f(x),所以函数 f(x)=x3是奇函数.又f(x)=x3在(-∞， 0)和(0，+∞)上均单调递减，所以函数 f(x)=x3的大致图象如图1所示 f(x)=x3 f(x)=x -10 图1 图2 (2)函数f代x)=x=F,定义域为R,值域 为[0，+∞).因为函数的定义域关于坐标原 点对称，且f(-x)=(-x)7==fx),所 以函数f(x)=x是偶函数.又f(x)=x在 (-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调递 增，所以函数f(x)=x3的大致图象如图2 所示 4.(1)因为0.6=0.363，幂函数y=x3在(0， +)上单调递增，且0.36>0.35，所以 0.363>0.353,即0.6>0.353 (2)因为幂函数y=x5在(0，+∞)上单调递 增，y=x了在(0，+0)上单调递减，且4.1> 3.8>1,所以4.1>15=1,0<3.8与<1号=1 又(-1.9)3<0，所以(-1.9)3<3.8亏<41 30 5.A【解析】因为f(x)=(m2-2m-2)xm-2是 幂函数，所以m2-2m-2=1,解得m=3或 m=-1.又因为幂函数在(0，+∞)上单调递 减，所以m-2<0,即m<2,所以m=-1. 6(,1U(2)【解1易知y= 在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减.因为 ra+1>0, (a+1)寸<(3-2a)寸，所以3-2>0，或 la+1>3-2a ra+1<0, r3-2a>0, 3 3-2a<0,或 a+1<0, <a<2或a< 得3 la+1>3-2a -1.故实数a的取值范围为(-∞，-1)U (后》 【练新题】 1.C【解析】设幂函数f(x)=x,把(4,2)代 入f(x)=x,得4=2，解得α=2，所以 f代x)=x2=E(x≥0). 2.AC【解析】由幂函数的定义知，f(x)=x3 和f(x)=x是幂函数，f(x)=2x2和f(x)= 2不是幂函数 3.C【解析】当y=x“为奇函数时，a=-1或 α=1或α=3.又函数的定义域为R,所以 ≠-1，故a=1或a=3. 4.D【解析】显然A,C选项中的函数是奇函 数，B选项中的函数在(-∞，0]上单调递减， 只有D选项中的函数符合题意. 5.D【解析】在第一象限内直线x=1的右侧， 幂函数y=x“的图象从上到下相应的指数aα 由大变小，即“指大图高”，故幂函数y=x2 在第一象限内的图象为C1,y=x1在第一象 限内的图象为C4,y=x3在第一象限内的图 象为C2,y=x2在第一象限内的图象为C3: 6.BCD【解析】根据幂函数的图象特征，可知 选项A不符合题意，选项B,C符合题意；对 于选项D,y=x与y=x3的图象有3个交点， 分别是(-1，-1)，(0,0)，(1,1)，故选项D 符合题意。 7.(1)因为f(x)为幂函数，所以m2-m-1=1, 解得m=-1或m=2, 当m=-1时，m2-2m-1=2,则f(x)=x2; 当m=2时，m2-2m-1=-1,则f(x)=x1 故f(x)=x2或f(x)=x (2)当f(x)=x2时，函数f(x)的图象经过坐 标原点，不满足要求；当f(x)=x1时，函数 f(x)的图象不经过坐标原点，此时f(x)的单 调递减区间为(-∞，0)和(0，+∞)，无单调 递增区间： (3)若函数f(x)的图象经过坐标原点，则 f(x)=x2.由f(2-x)>f(x),可得(2-x)2>x2, 解得x<1,则原不等式的解集为(-∞，1). 第5天函数的应用 【即学即练】 1.(1)由题意可得，y=50x-100-(2x2+5x)= -2x2+45x-100,x∈N*. (2)当y>0时，开始盈利， 即-2x2+45x-100>0, 整理，可得2x2-45x+100<0, 解得c<20 因为x∈N*,所以x≥3，即从第三年开始盈利. 3参考答案8 2.设饼干的质量为xg,则其售价y(元)与质 量x(g)之间的函数解析式为y=(ax+ bWx)(1+0.2)=1.2(ax+bx). 1.6=1.2(100a+√/100b), 由题意有 3=1.2(200a+√/200b), 4 -=100a+10b, a≈0.011， 即 解得{ b≈0.028， ≈200a+14.14b, 所以y≈1.2(0.011x+0.028Vx) 当x=1000时，y≈1.2×(0.011×1000+ 0.028×/1000)≈14.26. 所以该种饼干1000g装的合理售价为 14.26元. 3.(1)当销售价为每件50元时，月销售量为 y=-2×50+140=40(百件)，则该店月销售收 入为50×40×100=200000（元），进货支出为 40×40×100=160000(元)，故该店的员工人 数为20000-16000-1000-10 3000 (2)设销售单价定为x元时，该专卖店月利 润为f(x)元， 则f(x)=(x-40)·y×100-5×3000- 10000,整理得 r-200x2+22000x-585000,40≤x≤60， f(x)= -50x2+7000x-225000,60<x≤80， -200(x-55)2+20000,40≤x≤60， 即f(x)= L-50(x-70)2+20000,60<x≤80. 当40≤x≤60时，f(x)在x=55时有最大值， 最大值为f(55)=20000; 当60<x≤80时，f(x)在x=70时有最大值， 最大值为f(70)=20000. 31