4 第2天 函数的基本性质 (一)-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

第四周函数的概念与性质8 的第2天 函数的基本性质（一） 温故知新 函数 变化趋势 一次函数 a>0时，在R上y随x的增大而增大； y=ax+b(a≠0) a<0时，在R上y随x的增大而减小 反比例函数y=0(a≠0) a>0时，在区间(-0,0)和(0，+∞)上y随x的增大而减小； a<0时，在区间(-∞，0)和(0，+∞)上y随x的增大而增大 a>0时，在区间(-∞，m]上y随x的增大而减小，在区间[m,+o)上y随x的增大而 二次函数 增大； y=a(x-m)2+n(a≠0) a<0时，在区间[m,+∞)上y随x的增大而减小，在区间(-∞，m]上y随x的增大而 增大 第1步 学新知 知识点1单调递增与单调递减★★★★★ 名师点睛 1.单调递增与单调递减 区间I称为f(x)的单调区间.当一个函数含多 名称 定义 图示 几何意义 个单调递增区间（或单调递减区间）时，一般情 况下不能取并集，而应该用“和”或“，”连接 一般地，设函数 f(x)的定义域为 D,区间I二D:如 2.增函数与减函数 函数fx) 果Hx1,x2∈I,当 y=x)/ 在区间1 特别地，当函数f(x)在它的定义域上 调 x1<x2时，都有 上的图象 Ax) 单调递增时，我们就称它是增函数；当函数 增 f(x1)<f(x2),那 X2 亡从左到右 么就称函数f(x) 是上升的 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它 在区间1上单调 是减函数， 递增 3.函数单调性的结论 一般地，设函数 f(x)的定义域为 (1)对于定义在相同区间上的两个函 D,区间I二D:如 函数fx) 单 果Hx1,x2∈，当 y=fx) 数，有： fx. 在区间I x1<2时，都有 上的图象 ①增函数+增函数=增函数； fx) 减 f(x)>f(x2),那 X2 从左到右 ②减函数+减函数=减函数； 么就称函数f(x) 是下降的 在区间【上单调 ③增函数-减函数=增函数； 递减 ④减函数-增函数=减函数. 79 3预备新高一数学8 (2)当f(x),g(x)都是增（减）函数时，若 示，简记为“同增异减”. 两者都恒大于零，则f(x)g(x)是增（减）函数； u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 若两者都恒小于零，则f(x)g(x)是减（增） 增 增 增 函数 增 减 减 4.用定义法判断函数单调性的步骤 减 增 减 (1)选择两个任意的自变量：在函数的定 减 减 增 义域内选择两个任意的自变量x,和x2,并假 知识点/2最大（小）值 ★★★★★ 设x1<x2 (2)计算函数值的差：计算f(x1)和f(x2) 名称 定义 几何意义 的差，即fx1)-f(x2). 一般地，设函数y=f(x)的定 (3)分析差的符号：分析f(x1)-f(x2)的 义域为D,如果存在实数M 函 函数的最大 数 满足： 符号.若f(x1)-f(x2)<0,则f(x1)f(x2),函数 (1)HxeD,都有f(x)≤M; 值对应图象 最 (2)3x∈D,使得f(x)=M. 最高点的纵 在该区间上单调递增；若f(x1)-f(x2)>0,则 坐标 f(x1)>f(x2),函数在该区间上单调递减， 那么，我们称M是函数y= f(x)的最大值 (4)总结结论：根据分析结果，总结函数 在所给区间上的单调性 一般地，设函数y=f(x)的定 5.判断复合函数的单调性 义域为D,如果存在实数m 满足： 函数的最小 数 般地，对于复合函数y=f(g(x)),如果 绣 （1)Hx∈D,都有f(x)≥m; 值对应图象 最低点的纵 u=g(x)在(a,b)上单调，并且y=f(u)在 小 (2)门x∈D,使得f(x)=m. 值 坐标 (g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上单调，那 那么，我们称m是函数y= f(x)的最小值 么y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所 第2步 过典例 题型1)函数单调性的判断与证明 即学即练 [答案见P27] 典例1 已知函数x)-2(2,+云)，诗根据定义，判断 1.根据定义，判断函数f(x)= f(x)的单调性，并说明理由， x2在区间[0，+0)上的单调 在定义域内单调递减.理由如下： 性，并说明理由。 【解析】函数f()=+ -2 x1+1x2+1 Hx1,x2∈（2，+∞)，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= 1-22-2 80 3第四周函数的概念与性质& (x1+1)(x2-2)-(x2+1)(x1-2)(x1x2-2x1+x2-2)-(x1x2-2x2+x1-2) (x1-2)(x2-2) (x1-2)(x2-2) 3(x2-x1) (x1-2)(x2-2) 因为2<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-2>0,x2-2>0, 3(x2-x1) 所以 2)(,-2》0,即))>0，所以)>x), 所以西餐)一在定又城内华调适成 题型2)求单调区间 常考 典例2求下列函数的单调区间： 2.求下列函数的单调区间： （0）g）=（x≠0)；(2)h(x)=+2- 1 (1)f(x)=Ixl; (2)g(x)=x. 【解析1(1)画数(x)=（x≠0)的图象是一个双曲线，有两个分支， 在第一象限内，当增大时，画数g()=士(：≠0)的图象是下降的 1 在第三象限内，当x增大时，函数g(x)=(x≠0)的图象是下降的。 因此，画数g()=（x≠0)的单调递减区间是(-0,0)和(0，+0)，无 单调递增区间. (2)令x2+2x-3≠0，解得x≠1且x≠-3，所以h(x)的定义域为{x∈RI x≠1且x≠-3}. 令t=x2+2x-3=(x+1)2-4,则t≥-4且t≠0. 所以()=3是一个复合函英，它由=+2-3与y=复合 x2+2x-3 而成 易知t=x2+2x-3在(-∞，-3)和(-3，-1)上单调递减，在[-1,1)和(1， +∞)上单调递增，y=在[-4,0)和(0，+0)上单调递减.由上选分析 可得出下表： 1 t=x2+2x-3 Y= h(x)= x2+2x-3 (-0,-3) 单调递减 (0,+0) 单调递减 单调递增 (-3,-1) 单调递减 （-4,0) 单调递减 单调递增 [-1,1)》 单调递增 [-4,0) 单调递减 单调递减 (1,+o) 单调递增 (0,+o) 单调递减 单调递减 由表可知，h(x)的单调递增区间为(-∞，-3)，(-3，-1)，单调递减区 间为[-1,1)，(1，+∞). 81 3 预备新高一数学8 题型3) 求函数的最值 3.求函数f(x)= 2x-1 +1在xE 别图求函数八x)F3x-在区间[1,5]上的最值 [3,5]上的最大值和最小值， 【解析】易知y=3-1在[1,5]上单调递增，所以函数f代)=3x-1在[1， .1 上单调递减，所以)=(D)=3X中2八)5) 3x年故西旅：)在区同1,5]上的最大位为宁最小值为 11 1 第3步 练新题 已答案见P28 Q建议用时：30分钟 9实际用时： 分钟 1 1.函数八x)=-2的单调递增区间是( D.函数y=1+3的单调递减区间是(-0， A.(2,+0) B.(-0,2) 0)U(0,+0) C.(-2,2) D.（-0,2)和(2，+0) 4.已知函数f(x)=x(1-x),x∈[0,1]，则f(x) 2.下列函数中，在区间(-∞，0)上单调递减的 的最大值为() 是( 1 ) A.0 B.4 D对 A.f(x)=x B.fx)=- x 5.已知函数y=,(>0)在[4,6]上的最大 x-2 C.f(x)=x2+2x D.f(x)=lx1-2 值为1，则飞的值是( 3.(多选题)下列说法中正确的是() A.1 B.2 C.3 D.4 f（x1)-f(x2) A.若Hx1,x2eI,当x1<x2时 r(a-3)x+5,x≤1， x1-X2 6.已知函数f(x)= 2a 是R上 0,则y=f(x)在I上单调递增 ,x>1 x B.函数y=x2在R上单调递增 的减函数，那么实数a的取值范围 C.函数y=-x+1在定义域上单调递减 是 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.单调递增与单调递减 1、2、3、6 2.最大（小）值 4、5 今天的我： 超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 82关系不同，不是同一个函数；B.y=√x2=|x 和y=|x|对应关系相同，且定义域都为R, 为同一个函数；C.y=(√x)2的定义域为[0， +∞)，y=x的定义域为R,定义域不同，不是 同一个函数；D.y=√x=|x和y=x的对应 关系不同，不是同一个函数 4.6【解析】由题表可知，f(-2)+f(0)=5+ 1=6. 5.√2【解析】当a≤0时，f(a)=a2+2a+2= (a+1)2+1>0,所以ff(a)<0,显然不符合 题意；当a>0时，f(a)=-a2<0,所以 ff(a))=a-2a2+2=2,则a=±√2或a=0, 故a=√2 2x+1,x≤1， 6.函数f(x)= 在区间[-2,2)内 x2-3,x>1 的图象如图所示： 4-3:-2:-1/0 7.（1)因为函数y= x+1(a<0,且a为常数)， Λa 所以二x+1≥0. 又a<0,所以x≤-a,即函数的定义域为 (-o,-a]. 3参考答案8 因为函数在区间(-∞，1]上有意义，所以 (-o,1]C(-∞，-a],所以-a≥1，即a≤ -1,所以实数a的取值范围是(-∞，-1]. (2)因为xeR,所以y-m+8x+n可化为 x2+1 (y-m)x2-8x+y-n=0. 当y-m≠0时，△=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥ 0,即y2-(m+n)y+(mn-16)≤0， 由1≤y≤9知，关于y的一元二次方程y2- (m+n)y+(mn-16)=0的两根为1和9， m+n=1+9, m=5, 所以 解得 mn-16=1×9, n=5. 当y-m=0时，m=n=5也符合题意. 所以m=n=5. 第2天函数的基本性质（一） 【即学即练】 1.函数f(x)=x2在区间[0，+∞)上单调递增， 理由如下： Vx1,x2∈[0，+0)，且x1<x2: 则f(x1)-f(x2)=x2-x2=(x1-x2)(x1+x2) 因为x1<x2, 所以x1-x2<0, 又因为x1≥0，x2>0, 所以x1+x2>0. 所以(x1-x2)(x1+x2)<0, 即f(x)<f(x2),所以函数f(x)=x2在区间 [0,+∞)上单调递增 [x,x≥0， 2.(1)f(x)=1xl= -x,x<0. 当x≥0时，函数f(x)单调递增； 当x<0时，函数f(x)单调递减， 27 3预备新高一数学8 因此函数f(x)的单调递增区间是[0，+∞)， 单调递减区间是(-∞，0) (2)函数g(x)=√x的定义域为[0，+∞). 对于x1,x2∈[0，+0)，且x1<x2,则g(x1)- 8()=压-V6=V国)（属+） Wx1+√x2 1-?因为0≤，<x2,所以1-<0， √x1+√x2 √x1≥0，√x2>0,所以√x1+√x2>0,所以 g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 因此，函数g(x)=√在[0，+∞)上单调递 增，即函数g(x)=√x的单调递增区间是[0， +∞)，无单调递减区间 3.由题意得，f(x)=2--2(+1)-3=2- x+1 x+1 3 &+1 因为y=x+1在[3,5]上单调递增， 3 所以y= x+1在[3,5]上单调递减， 所以函数f(x)在[3,5]上单调递增， 所以函数f(x)的最大值是f(5)=2X51 5+1 3,最小值是/3)=2X3-15 3+14 【练新题】 1.D【解析lf(x)的定义域为{xlx≠2}，f(x) 的图象是由y=的图象向右平移2个单 位长度得到，y=-1的单调递增区间为 1 (-∞，0)和(0，+∞)，所以函数f(x)=- x-2 的单调递增区间是(-∞，2)和(2，+∞). 28 2.D【解析f(x)=x是正比例函数，在(-∞， +如)上单调递增，A选项错误x)=-上是 反比例函数，在(-∞，0)和(0，+∞)上单调 递增，B选项错误：f(x)=x2+2x=(x+1)2-1 是二次函数，其在(-∞，-1]上单调递减，在 (-1,+∞)上单调递增，C选项错误；f(x)= 1x1-2=2,0在(-0,0)上单调递 x-2,x≥0， 减，在[0，+∞)上单调递增，D选项正确 3.AC【解析】对Hx1,x2∈I,当x1<x2时，x1- 与<0.又)>0，所以f(5,)< X1一X2 f(x2),则y=f(x)在I上单调递增，A选项正 确；函数y=x2是二次函数，在(-∞，0)上单 调递减，在[0，+∞)上单调递增，B选项错 误；函数y=-x+1是一次函数，在R上单调 递减，C选项正确；函数y=+3的单调递 减区间是(-∞，0)和(0，+∞)，但该函数在 区间(-∞，0)U(0,+∞)上不单调，D选项 错误 4.C【解析】f(x)=x(1-x)=-x2+x=- 11 2+,是三次函数，对称轴为直线x子 图象开口向下.因为x∈[0,1]，所以当x= 2时，函数f(x)取得最大值，最大值 )4 5.B【解析】因为当k>0时，函数yx产2在 [4,6]上单调递减，所以当x=4时，函数y= 260)在[4.6]上的最大值为年21，解 得k=2.故选B. ra-3<0, 6.(0,2]【解析】由题意得2a>0, l(a-3)+5≥2a, 解得0<a≤2. 【点拨】利用分段函数的单调性求参，一般要 求函数在定义域内各个区间上都单调，再比 较端点值 第3天函数的基本性质（二） 【即学即练】 1.(1)函数f(x)=x2+2的定义域为{xx≠0}， 定义域关于原点对称，f(-x)=(-x)2+ 1 （)=+3=(x）·因比西数(x)z 是偶函数， (2)函数f(x)=xIxI的定义域是R,定义域 关于原点对称，f(-x)=-x·1-x|=-x· |xl=-f(x),因此函数f(x)=x|x|是奇函数 2.-7【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以 f(-1)=-f(1)=-(3×1+4)=-7. 【练新题】 1.C【解析】易知函数f(x)的定义域为(-∞， 0)U(0,+∞)，关于原点对称.因为f(-x)= V产V反，所以)是偶函数故 1 选C. 2.B【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)= -f(x).又f(x)≠0，所以f(x)f(-x)= -[fx)]2<0,故A错误，B正确.f(x)与 (-x)的大小无法确定，即选项C,D无法 参考答案8 判断。 3.A【解析】取Hx1,x2∈[-3，-2]，且x1<x2, 即-3≤x1<x2≤-2，则2≤-x2<-x1≤3.因为 函数f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以 f(-x2)<f(-x1).因为函数f(x)为奇函数，所 以-f(x2)<-f(x1),所以f(x1)<f(x2).因此， 函数f(x)在区间[-3，-2]上单调递增，且最 大值为f(-2),最小值为f(-3) 4.②④⑤⑦【解析】若仅已知f(x)的定义域 关于原点对称，则无法判断f(x)的奇偶性， 故①错误；若f代-x)=f(x),则f(x)(x∈R) 是偶函数，其中x需满足任意性，故③错误； f(x)=0,x∈D,只要定义域D关于原点对 称，则该函数既是奇函数又是偶函数，如 f(x)=0,x∈[-1,1]，无需x∈R,故⑥错误 易知②④⑤⑦均正确. 5.0,0【解析】由已知得f(0)=0,故m=0.由 f(x)是奇函数，知f(-x)=f(x),即 一x+0 -nx+1 x+0 +n+1,所以 -x·2nx =0, x2-nx+1)(x2+nx+1) 所以n=0. 6.-1【解析】因为函数满足f(x+2)=-f(x), 所以用x+2替换x,可得f(x+4)=-f(x+ 2)=f(x).又因为函数f(x)为奇函数，所以 f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)= -f(1)=-1. 第4天幂函数 【即学即练】 1.(1)y=x5的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 值域为(-∞，0)U(0,+∞). 3 (2)y=x4= 二的定义域为(0，+)，值域 29