4 第1天 函数的概念及其表示-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

8 预备新高一数学8 00即为2-3>0，解得x-1或号 (2)若不等式ax2+bx+3≥0，即3x2+bx+3≥ 0的解集为R,则△=b2-4×3×3≤0，解得 故所求不等式的解集为{xx<-1或x> -6≤b≤6，所以实数b的取值范围为-6≤ b≤6. 第四周 函数的概念与性质 第1天函数的概念及其表示 5t,0≤x≤100， 【即学即练】 4.y= 【解析】由题图知，当 1.C【解析】对于x+y2=1,当x=0时，y=±1， 5*+20,x>100 不满足函数定义，选项A错误；对于x2+y2= 0≤x≤100时，设y=kx(k≠0)，将(100,40) 1,当x=0时，y=±1，不满足函数定义，选项 2 2 代入，得40=100k,解得k=5,所以y=5: B错误；对于x2+y=1,即y=1-x2,满足函数 当x>100时，设y=mx+n(m≠0)，将(100， 定义，选项C正确；对于x+|y|=1,当x=0 r40=100m+n, 时，y=±1，不满足函数定义，选项D错误。 40),(200,60)分别代入，得 60=200m+n, 2.(-∞，0)U(0,1]【解析】由题意得 1 「x≠0， m= 解得x≤1且x≠0，所以函数f(x)》 解得 1-x≥0， 5'所以y=5+20.综上，y与x之 ln=20, 的定义域为(-∞，0)U(0,1]. 5t,0≤x≤100， 3.设t=√x-1,则x=t2+1,且t≥0， 间的函数解析式为y= 所以y=2+10-4=2-4） 5x+20,x>100. 【练新题】 由t≥0，结合函数的图象（如图），可得函数 1.CD【解析】由函数的定义可知，必须是两 的值域为 [+月 个非空数集，A选项错误；设函数y=x2(x∈ {1,-1}),显然值域为{1}，B选项错误；因 y 4 为πe（1,4),所以f(π)=2，C选项正确；由 3 2+ 同一个函数的定义可知D选项正确 20 2.A【解析】根据区间的定义，可知2a-1< 11,解得a<6 0:1234 3.B【解析】A.y=√=1xl,y=e=x,对应 26 3 参考答案8 关系不同，不是同一个函数；B.y=√x2=|x 因为函数在区间(-∞，1]上有意义，所以 和y=Ix1对应关系相同，且定义域都为R, (-∞，1]C(-∞，-a],所以-a≥1，即a≤ 为同一个函数；C.y=(Vx)2的定义域为[0， -1,所以实数a的取值范围是(-∞，-1]. +∞)，y=x的定义域为R,定义域不同，不是 (2)因为：eR,所以y-m+8x+n可化为 x2+1 同一个函数；D.y=√=Ix和y=x的对应 (y-m)x2-8x+y-n=0. 关系不同，不是同一个函数 当y-m≠0时，△=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥ 4.6【解析】由题表可知，f(-2)+f(0)=5+ 0,即y2-(m+n)y+(mn-16)≤0. 1=6. 由1≤y≤9知，关于y的一元二次方程y2- 5.√2【解析】当a≤0时，f(a)=a2+2a+2= (m+n)y+(mn-16)=0的两根为1和9， (a+1)2+1>0,所以ff(a)<0,显然不符合 rm+n=1+9, m=5, 所以 解得 题意；当a>0时，f(a)=-a2<0,所以 lmn-16=1x×9, n=5. ff(a))=a4-2a2+2=2,则a=±√2或a=0, 当y-m=0时，m=n=5也符合题意。 故a=√2： 所以m=n=5. 2x+1,x≤1 第2天函数的基本性质（一） 6.函数f(x)= 在区间[-2,2)内 x2-3,x>1 【即学即练】 的图象如图所示： 1.函数f(x)=x2在区间[0，+∞)上单调递增， 理由如下： Hx1,x2∈[0，+0），且x1<x2 则f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2). 因为x1<x2, 所以x1-x2<0, 又因为x1≥0，x2>0, 所以x1+x2>0. 所以(x1-x2)(x1+x2)<0, 即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)=x2在区间 1 7.(1)因为函数y= x+1(a<0,且a为常数)， [0,+∞)上单调递增 x,x≥0， 所以一x+1≥0. 2.(1)f(x)=lxl={ -x,x<0. 又a<0,所以x≤-a,即函数的定义域为 当x≥0时，函数f(x)单调递增； (-o,-a]. 当x<0时，函数f(x)单调递减， 27第四周 函数的概念与性质☑ 第1天 函数的概念及其表示 温故知新 1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如 果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的 果有两个变量x与y,并且对于x的每一个 值为a时的函数值 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 2.函数的表示法：解析法、列表法、图象法， 那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如 第1步 学新知 知识点/1函数的概念 ★★★☆☆ 续表 函数 函数解析式 定义域 值域 1.函数的概念 y=kx+b 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对 一次 R 函数 (k≠0) 于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的 对应关系∫，在集合B中都有唯一确定的数y yy≥ a>0 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集 4ac-b2】 合B的一个函数，记作y=f(x),xeA. 二次 y=ax2+bx+c Aa 个 函数 (a≠0) 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做 函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函 a<0 4ac-b 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 4a 值域.显然，值域是集合B的子集， 知识点/2区间的概念和无穷大★★★★☆ 2.函数的构成要素 1.区间的概念 一个函数的构成要素：定义域、对应关系 设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： 和值域 (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合 3.常见函数的定义域和值域 叫做闭区间，表示为[a,b]; 函数 函数解析式 定义域 值域 (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫 正比例 做开区间，表示为(a,b); y=kx(k≠0) R R 函数 (3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x 反比例 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b) (k≠0) x|x≠0 函数 {yly≠0 或(a,b]. 73 预备新高一数学8 这里的实数a与b都叫做相应区间的 (3)对f(x)中x的理解：虽然f(x)=x2和f(x 端点 1)=x2从等号右边的解析式上看是一样的，但f 2.无穷大 施加关系的对象不同（一个为x,而另一个为x 实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)， 1).令t=x-1,则x=t+1,即f(t)=(t+1)2,故函 “0”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”， 数f(x-1)=x2对应f(t)=（t+1)2.因此，函数 “+∞”读作“正无穷大”.含“0”的表示如下 f(x)=x2与f(x-1)=x2表示的不是同一个函数. 表所示。 知识点/4函数的表示法 ★★★☆☆ 区间 数轴表示 表示方法 概念 优缺点 [a,+o) 优点：简明、全面地概述变 用解析式 量之间的关系；利用解析 表示两个 式可以求任意函数值 (a,+∞) 解析法 变量之间 的对应 缺点：不够形象、直观，并 关系 且不是每一个函数都有解 (-o,b] 6 析式 列出表格 优点：不用计算可直接看 (-o,b) 6 来表示两 出与自变量对应的函数值 列表法 个变量之 知识点/3同一个函数 ★★★☆☆ 间的对应 缺点：仅能表示自变量取 关系 较少的有限值时的函数值 因为值域是由定义域和对应关系决定的， 所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应 用图象表 优，点：能形象直观地表示 关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值 示两个变 变量的变化情况 图象法 也相同，那么这两个函数是同一个函数 量之间的 缺点：只能近似地求出函 对应关系 数值，且有时误差较大 名师点晴 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同 知识点 5分段函数 ★★★★★ 就不是同一个函数，因此，定义域和值域分别相 1.定义 同的两个函数也不一定是同一个函数.如函数 我们把像y= 「-x,x<0 这样的函数称为分 f(x)=2x与g(x)=3x的定义域和值域均为R, x,x≥0 但是它们的对应关系不同，所以这两个函数不 段函数.分段函数在定义域内，对于自变量x 是同一个函数. 的不同取值区间，有着不同的对应关系， (2)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以 2.定义域和值域 用什么字母表示自变量、函数值和对应关系是 分段函数的定义域是自变量所有取值区 无关紧要的.例如，f(x)=3x+5与f(t)=3t+5就 间的并集，值域是各段函数在对应自变量的取 是同一个函数。 值范围内值域的并集， 74 3第四周函数的概念与性质& 第2步 过典例 题型1)函数概念 典例①（多选题）下列对应关系是集合A到集合B的函数的为 即学即练 [答案见P26] () A.A=R,B=yly>0,f:xy=x 1.下列关于x,y的解析式中， B.A=Z,B=Z,f:x→y=x2 能表示y是x的函数的是 C.A={xl-1≤x≤1}，B={0},f:x→y=0 () D.A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图所示 A.x+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+y=1 D.x+lyl=1 【解析】A.集合A中的元素0在集合B中没有对应的元素，该选项不符 合题意；B.对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:xy=x2, 在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，该选项符合题意； C.对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，该选项符合题意；D.集合A中 的元素3在集合B中没有对应的元素，且集合A中的元素2在集合B 中有5和6两个元素与之对应，该选项不符合题意. 【答案】BC 易错提醒 判断一个对应关系是否是函数时，有一些常见的易错点.以下是一 些需要注意的地方： (1)定义域的完整性：确保定义域内的每一个自变量都有定义； (2)唯一性：确保每一个自变量对应唯一的函数值； (3)函数的多种表示方式：要理解函数可以有多种表示方式，只要满 足函数的定义即可 题型2)求函数的定义域 典例2求下列函数的定义域： (10y4;(2)y=2 （3)y=(x+1)° 75 3 预备新高一数学8 【解析】(1)由题意得，x-4≥0，解得x≥4，所以函数y=√x-4的定义域 2.[北京卷]函数f(x)=二+ 为[4，+∞). √1-x的定义域是 2由题意得，+3≠0，解得x≠3，所以函数y3的定义域为( -3)U(-3,+0). (3)由题意得，(x+1)≠0，解得x≠-1，所以函数y=(x+1)°的定义域 为(-∞，-1)U(-1,+0). 名师点晴 求函数定义域一般先根据二次根式被开方数大于等于0、分母不为 0、0次幂的底数不为0等列出不等式（组）求解，然后将定义域写成 集合或区间的形式。 题型3)求函数的值域 常考 3.求函数y=2x-√x-1的值域。 典例3求下列函数的值域： 2x+1 (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}；（2)y= x-3 【解析】(1)由x∈{1,2,3,4,5}，分别代入y=x+1求值，可得函数的值 域为{2,3,4,5,6} 7 (2)y 2x+12(x-3)+7-2+ X-3 龙-3 3,显然 -30，所以y≠2，故函数的值 域为(-0,2)U(2,+0). 题型4)求分段函数的解析式 4.y与x之间的函数图象如图 典例4已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴左侧为一条线 所示，则y与x之间的函数解 段，y轴右侧为某抛物线的一段，则函数f(x)= 析式为 y个 6 40--- 20 100 200 【解析】当-2≤x≤0时，设f(x)=x+b(k≠0)，将(-2,0)，(0,2)代入 76 3第四周函数的概念与性质。 -2k+b=0, k=1, f(x)=x+b,可得 解得 即f(x)=x+2;当0<x≤3时，由 b=2, b=2, 题图可知，(2，-2)为抛物线的顶点，故设f(x)=a(x-2)2-2,将(3，-1) 代入f(x)=a(x-2)2-2,可得-1=a(3-2)2-2,解得a=1,即f(x)=(x x+2,-2≤x≤0， 2)2-2=x2-4x+2.综上所述，f(x)= x2-4x+2,0<x≤3 「x+2,-2≤x≤0， 【答案】 x2-4x+2,0<x≤3 名师点晴 求分段函数的注意事项 (1)明确分段点，考虑分段，点的函数值：在分段点处，函数的值可能 由不同的表达式给出； (2)检查端点的包含性：在确定每一段的定义域时，要注意端点是否 包含在内. 第3步 练新题 日答案见P26 ⑨建议用时：25分钟 羽实际用时： 分钟 1.(多选题)下列选项中的说法正确的是( 3.下列四组函数中，表示同一个函数的是( A.函数就是两个集合之间的对应关系 A.y=V民与y=x B.若函数的值域只含有一个元素，则定义 B.y=√R与y=lxl 域也一定只含有一个元素 C.y=(x)2与y=x C.若f(x)=2(1<x<4),则f(π)=2一定 成立 D.y=√与y=x D.若两个函数是同一个函数，则这两个函 4.已知函数y=f(x),两个变量之间的对应关 数的定义域和对应关系一定相同 系如表所示： 2.已知区间(2a-1,11),则实数a的取值范围 -2 -1 0 是() 5 A.(-∞，6) 则f(-2)+f(0) B.(6,+∞) x2+2x+2,x≤0， 5.设函数f(x)= 若ff(a))= C.(1,6) 1-x2,x>0. D.(-0,6] 2,则a= 77 3预备新高一数学8。 2x+1,x≤1， 7.求解下列问题： 6.已知函数f(x)= 请画出函数 x2-3,x>1, (1)已知函数y= 二x+1(a<0,且a为常 y=f(x)在区间[-2,2)内的图象. N a 数)在区间(-∞，1]上有意义，求实数a的 取值范围； (2)已知函数y= mx2+8x+n 的定义域为 x2+1 (-o∞，+o∞)，值域为[1,9]，求m,n的值 -3-2-1 123 41 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.函数的概念 1、7 2.区间的概念和无穷大 2 3.同一个函数 3 4.函数的表示法 4、6 5.分段函数 5、6 今天的我： 超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 78