3 第3天 一元二次不等式及其解法-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

以x2+y2≤2，当且仅当x=y时，等号成立，故 C正确.因为(x+y)2=x2+y2+2y=3xy+1≤ 4,所以1x+y川≤2，所以-2≤x+y≤2，故A错 误，B正确取x= 3 3,y -3,满足2+y2 灯=1，很+-号<1，放D错误故选C 3.B【解析】设每月的净利润为z(x≥8)，由 题意得，z= 8-1(x-8)=-x-+26≤ 144 -2.x· +26=-24+26=2,当且仅当x= 14,即x=2时，等号成立，所以要使每月 的净利润最高，每件售价应定为12元. 4.AB【解析】已知正数a,b满足a+b=1.由 基本不等式得ab≤ a+b12 2)=4,当且仅当 1.1 a=6=2时取等号，故A选项正确；。+ a°b a+b+a+地=2+6+%≥2+2 b a a b b.=4,当 a b N a b 且仅当a=b=2时取等号，故B选项正确； (a+6)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+a+ 6=2,当且仅当a=b=2时取等号，即a+ √6≤√2，故C选项错误；易知a=1-b>0,则 01a-1-b=1-(6+≤1 26·=-1,当且仅当6=6，即6=1时 取等号，但0<b<1,故等号无法取到，故D选 项错误， 参考答案8 5.因为x+y=1,所以2x+2y=2, 所以28-2x+2y,8-2+2,8 x y x y x Y 又x>0,y>0, 所以2+2,8x」 +≥2+2 2y.8 =10， x y Vx y 当且仅当2-8x x Y 即=y=时等号 成立 故28的最小值为10. x Y 6.设厂家的利润为y万元 由题意得y=(49）上-(10+2)， 将=5名代人化筒得y=20本0= x≤2)， 则y20-(小=21-(+1≤ 21-21(+1=17， 当且仅当=+1，即=1（满足0≤∈2） 时，等号成立 故促销费用投入1万元时，厂家的利润 最大 第3天一元二次不等式及其解法 【即学即练】 1.(1)由2x2+5x-3<0,得(x+3)(2x-1)<0, 1 解得-3<x<2’ 所以不等式2x2+5x-3<0的解集为{x-3< } 19 3预备新高一数学8 (2)因为-3x2+6x-2≤0， 所以3x2-6x+2≥0. 因为△=(-6)2-4×3×2=12>0， 所以方程3x2-6x+2=0有两个不等实数根 _6+√12_3+W3._6-√123-3 1 6 6 3 又二次函数y=3x2-6x+2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为{：≤3，或 (3)由4x2+4x+1>0,得(2x+1)2>0, 所以x≠- 2 所以原不等式的解集 {≠-} 2.①若a=0,则原不等式为-2x<0,解得x>0, 故不等式的解集为{xlx>0}. ②若a>0,△=4-4a2.当△>0，即0<a<1时， 方程a2-2x+a=0的两根为，=1--a 书=1+-a ,所以原不等式的解集为 a {1-1-ax<1+1-a a 当4=0，即a=1时，原不等式的解集为⑦. 当△<0，即a>1时，原不等式的解集为⑦. ③若a<0,△=4-4a2.当4>0，即-1<a<0时， 原不等式的解集为{xx<+y a ,或x7 1-W1-a2 当△=0，即a=-1时，原不等式可化为(x+ 20 1)2>0,所以原不等式的解集为{xx≠-1}. 当△<0，即a<-1时，原不等式的解集为R. 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为 ⑦；当0<a<1时，原不等式的解集为 :当a=0时， a 原不等式的解集为{xlx>0};当-1<a<0时， 1+√/1-a2 原不等式的解集为 ,或x> 1-√/1-a2 ;当a=-1时，原不等式的解集 a 为{xx≠-1}；当a<-1时，原不等式的解集 为R. 3-22【解折1庙不等式气51，整 理可得 2≤0，等价于 21≤0，即+2 r(x+2)(x-2)≤0， 解得-2≤x<2,所以不等 x-2≠0， 式22≤1的解集为x-2≤x<2 4.{xlx≤1或3≤x<4或x=5或x>6} 【解析】由x-1)(x-3)(x-5)2 ≤0，可得 (x-2)2(4-x)3(x-6) r(x-1)(x-3)(x-5)2(x-2)2(4-x)3(x-6)≤0， 1(x-2)2(4-x)3(x-6)≠0， 即-1x-3a--246)0. 1(x-2)2(x-4)3(x-6)≠0. 方程(x-1)(x-3)(x-5)2(x-2)2(x-4)3(x 6)=0的根分别为1,2,3,4,5,6，如图. 由穿根引线法可得原不等式的解集为 {x|x≤1或3≤x<4或x=5或x>6}. 【练新题】 1.C【解析】由3x2-x-2=(3x+2)(x-1)≥0， 解得≤号或≥1，故原不等式的解架为 {≤号或小 2D【解析】分式不等式≤0，可 7≥0， 可转化为(x+5)(x-1)≥0且x-1≠0，解得 x≤-5或x>1,故原不等式的解集为{x|x≤ -5或x>1}. 3.C【解析】由x2-(a+1)x+a<0得(x-1)(x- a)<0.若a=1,则不等式无解；若a>1,则不 等式的解集为{xI1<x<a},此时要使不等式 的解集中恰有1个整数解，则整数解为x= 2,则2<a≤3；若a<1,则不等式的解集为 {x|a<x<1},此时要使不等式的解集中恰有 1个整数解，则整数解为x=0,则-1≤a<0. 综上，满足条件的实数α的取值范围是-1≤ a<0或2<a≤3. 4.C【解析】因为(x-a)(x-3-a)≤0，所以 a≤x≤3+a.因为“-1<x<1”是“(x-a)(x 3-a)≤0”的充分不必要条件，所以{x1-1< x<1}是{x|a≤x≤3+a}的真子集，则 ra≤-1， 解得-2≤a≤-1，所以实数a的取 1≤3+a, 值范围为{al-2≤a≤-1}. 5.{xlx<3且x≠1 }【解析】由+x-2 x2-4x+3 ≤1 得31≤0，即2一+3 x2-4x+3x2-4x+3 3参考答案8 5(x-1) (x-1)(x-3)≤0，则 (x-1)2(x-3)≤0·解 (x-1)(x-3)≠0， 得x<3且x≠1， 所以原不等式的解集为{x|x<3且x≠1}. 6.(1)由x2-5x+6=(x-2)(x-3)<0,解得2< x<3,故原不等式的解集为{x|2<x<3}. 2为1=经0， 所以2-150可化为2-2x-15<0, x2+x+1 即(x-5)(x+3)<0,解得-3<x<5. 所以原不等式的解集为{x1-3<x<5}. (3)原不等式可转化为(x+2)(x+1)3x(x 1)2>0,如图所示，在数轴上标出方程(x+ 2)(x+1)3x(x-1)2=0的各个根，然后画出 曲线.x1=-2,x2=-1,x3=0为奇次根，需穿 过，x4=1为偶次根，不穿过，所以所求不等 式的解集为{x1-2<x<-1或0<x<1或 x>1}. 7.①当a=0时，原不等式化为-2x-2≥0，即 x+1≤0，解得x≤-1. ②当a>0时，原不等式化为 -是）(x+ 2 1)≥0，解得x≥或x≤-1 ③当a<0时，原不等式化为 -是）x+ 1)≤0. 2 雪>1.即a<-2时，解得1≤≤行 21 3预备新高一数学8 当2=-1，即a=-2时，解得=-1； 2 当。-1，即-2<a<0时，解得后≤x≤-1 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x x≤-1}； 当a>0时，不等式的解集为{✉：≥或 ≤-1}： 当-2a<0时，不等式的解集为{x子≤：≤ -} 当a=-2时，不等式的解集为{-1}； 当a<-2时，不等式的解集为 -1≤x≤ } 第4天 二次函数与一元二次方程、 不等式的关系 【即学即练】 1.（1)当a=3时，y=x2-2x-4. 由题意可知x1,x2是方程x2-2x-4=0的两 个根，则x1+x2=2,x1x2=-4, 故x子+x3=（x1+x2)2-2x1x2=22-2× (-4)=12. (2)不等式x2-(a-1)x-a≥0可转化为 (x-a)(x+1)≥0. 当a>-1时，不等式的解集是{xlx≤-1或 x≥a}; 当a=-1时，不等式的解集是{xlx∈R}; 当a<-1时，不等式的解集是{xlx≤a或x≥ 22 -1} 2{-2≤≤} 【解析】因为一元二次不 等式x2+bx+c<0的解集为{x11<x<2},所以 方程x2+bx+c=0的两根分别为1和2，则 -b=1+2,c=1×2,所以b=-3,c=2,所以不 等式bx2-5x+c≥0转化为3x2+5x-2≤0，即 (3x-1)(x+2)≤0，解得-2≤x≤3，即所求 不等式的解集为{-2≤≤} 【练新题】 1.A【解析】结合题图易知，不等式ax2+bx+ c>0的解集是{xl-2<x<1}. 2.BD【解析】对于A,根据题意，易知a<0,故 A选项错误.对于B,根据题意，-1,2都是方 程ax2+bx+c=0的根，故B选项正确.对于 G,D,根据题意，-1+2=--2=9，则 a -a,c=-2a,故不等式cx2+bx+a>0可化为 -2ax2-ax+a>0.又a<0,则2x2+x-1>0,即 (2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>7,所以 解集为 xx<-1或>2} 11 ,故C选项错误， D选项正确， 3.A【解析】因为ax2+bx+c>0的解集为{xl -1<x<3},所以-1,3为方程ax2+bx+c=0的 -1+3=-6 两个根，且a<0,所以 即 (-1)x3= -2所以6-c+-a+日-(-a c=-3a,3 预备新高一数学8 名第3天 一元 温故知新 1.一元二次方程根的判别式 将+c=0(a≠0)配方成(+品)广 [4加C后，可以看出只有当B-4ac≥0时 方程才有实数根，所以b2-4ac的值决定着 一元二次方程根的情况， 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希 腊字母“4”表示，即△=b2-4ac. 名师点晴 判别式△与一元二次方程根的情况的关系 △>0 方程有两个不相等的实数根 △=0 方程有两个相等的实数根 △<0 方程无实数根 第1步 知识点/1一元二次不等式及其解法 ★★★☆☆ 1.一元二次不等式的定义 般地，我们把只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二 次不等式 一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+ c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数， a≠0. 58 二次不等式及其解法 2.一元二次方程的解法 (1)配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法，叫做配方法， (2)公式法 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直 接代入求根公式，可以避免配方过程而直接 得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公 式法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 求根公式为=-btv你-4ac(6-4c≥0). 2a (3)因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积 等于0的形式，再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方 法叫做因式分解法。 学新知 2.一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)》 或ax+bx+c<0(a≠0)的实数x组成的集合为 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+ bx+c<0(a≠0)的解集，即{xlax2+bx+c>0,a≠ 0}或{x|ax2+bx+c<0,a≠0}. 3.一元二次不等式的解法 以求解可化成ax2+bx+c>0(a>0)形式的 3第三周一元二次函数、方程和不等式。 不等式为例，用框图表示其求解过程，如下： 变形方法如下表 将原不等式化成am2+bx+c>0(a>0)的形式 分式不等式 整式同解不等式 计算4=b2-4ac的值 高 y1>0, 40 0， ￥4=0 4<0 ,0 y1y2>0 y2 ly2>0Ly2<0 方程ax2+bx+c=0有 方程a2+bx+C=0有 方程x2+bx+c-0 两个不相等的实数 两个相等的实数根 没有实数根 根，解得x1,x2,2 解得xx,2a 0 y<0>0, 或P0, y2 by2<0 y2>0 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集 {xx<,或x>x r≠- 为R 2a 10 「y1y2≥0， ≥0或m0, 台 知识点/2分式不等式的解法 ★★★☆☆ Y2 y2≠0 y2>0 y2<0 解分式不等式的思路是将分式不等式转 10 ≤0≥0或≤0， 化为整式不等式求解， Y2 0y2≠0 y2<0y2>0 将分式不等式转化为标准形式的方法：移 特别地，形如一>a(a≠0)的分式不等式， 项，通分，不等式右边化为0、左边化为的 Y2 Y2 可同解变形为0，故可转化为解，(， 形式 Y2 将分式不等式转化为整式同解不等式的 ay2)>0. 第2步 过典例 题型1)解一元二次不等式 典例①解下列不等式： 即学即练 [答案见P19 (1)2x2+7x+3>0; (2)-x2+8x-3>0; 1.解下列不等式： (3)ax2-(a+1)x+1<0(a∈R) (1)2x2+5x-3<0; 【解析】(1)因为4=72-4×2×3=25>0， (2)-3x2+6x-2≤0； (3)4x2+4x+1>0. 所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实数根x=-3,,=号 又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上， 所以原不等式的解矣为{✉或<-3} (2)原不等式变形为x2-8x+3<0,因为4=(-8)2-4×1×3=52>0， 所以方程x2-8x+3=0有两个不等实数根x1=4-√13，x2=4+/13 又二次函数y=x2-8x+3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为{x4-√13<x<4+13}. 59 3预备新高一数学8… (3)若a=0,则原不等式可化为-x+1<0,解得>1. 2.已知常数a∈R,解关于x的 若ac0,则原不等我可化为x-1)>0,解得<或>1 不等式ax2-2x+a<0. 若a>0,则原不等式可化为（日(x-1)<0, ① 其解集是由一与1的大小关系决定的，故 a 当a=1时，①式的解集为☑； 当a>1时，①式的解套为{✉<1： 当0ca<1时，①式的解条为{：l<} 综上所迷，当a<0时，不等式的解集为{✉<后或1}： 当a=0时，不等式的解集为{xlx>1}; 当0ca1时，不等式的解集为：1} 当a=1时，不等式的解集为☑； 当a1时，不等式的解集为{✉<1} 名师点晴 在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论， 为了做到分类“不重不漏”，一般从三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0,a=0,a<0; (2)关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（△>0），一根（△=0）， 无根（△<0）； (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2,x1=x2,x1<x2: 题型2)分式不等式的解法 秀 3.不等式 2x ≤1的解集为 -2 兔卫不等式-2≥2的解集为 【解析1方法一：原不等式可化为*2-2≥0，即*+2 0， 0或2s0, 所以原不等式等价于+2≥0或 解得-2≤x<0. x>0, 故原不等式的解集为{x-2≤x<0}. 方法二：原不等式可化为-22≥0，即+2≤0 60 3第三周一元二次函数、方程和不等式。 x(x+2)≤0， -2≤x≤0， 原不等式等价于 即 故-2≤x<0, x≠0， x≠0， 即原不等式的解集为{x|-2≤x<0}. 【答案】{x-2≤x<0} 题型3)简单一元高次不等式的解法 典例3不等式(x+2)(x2-x-12)>0的解集为 4.不等式x-1)(x-3)(x-5)2 【解析】方法一（不等式组法）：原不等式可化为 (x-2)2(4-x)3(x-6) 「x+2>0, x+2<0, 0的解集为 或 x2-x-12>0lx2-x-12<0, >2, x<-2, 或 x<-3或x>4-3<x<4, 解得x>4或-3<x<-2. 故原不等式的解集为{x|x>4或-3<x<-2} 方法二（穿根引线法）：方程(x+2)(x2-x-12)=(x+2)(x+3)(x-4)=0 的根为x1=-2,x2=-3,x3=4. 将-3，-2,4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方 起，依次穿过这些点，则此不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对 应的x的取值范围（如图所示） 十 --3 -2 故原不等式的解集为{xx>4或-3<x<-2}. 【答案】{xlx>4或-3<<-2} 名师点睛 穿根引线法解一元高次不等式的步骤 (1)分解因式，将不等式转化为一端为0，另一端为若千个因式（一 次或二次不可约因式)的乘积的形式，并将各因式中未知数最高次 数的项的系数化为“+” (2)求根，求出相应方程的根，并在数轴上表示出来. (3)穿线，由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要 遵循“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧 穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴.简称“奇 过偶不过”). (4)得解集，若不等式（未知数最高次数的项的系数符号化为“+” 后)“>0”，则找“线”在数轴上方对应的未知数的取值范围；若不等 式“<0”，则找“线”在数轴下方对应的未知数的取值范围. 61 3预备新高一数学8 第3步 练新题 已答案见P21 ⑨建议用时：30分钟 9实际用时：分钟 1.不等式3x2-x-2≥0的解集是() A.{ala≤1或a≥2} A{号ss B.{al-2<a<-1} C.{al-2≤a≤-1} B{-1≤≤} D.{ala≤-2或a≥-1} c{≤号或≥ 5,关于x的分式不等式2≤1的解集 x2-4x+3 为 D.{xx≤-1或≥} 6.解下列不等式： (1)x2-5x+6<0; 2分式不等式≤0的解年为( (2)-2x-15 0: A.{x1-5≤x≤1} x2+x+1 B.{x|-5≤x<1} (3) x(x-1)2 C.{xlx≤-5或x≥1} (x+1)(x+2)>0. D.{xlx≤-5或x>1} 3.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集 中恰有1个整数，则实数α的取值范围是 () 7.解关于x的不等式：ax2+（a-2)x-2≥0 A.-1<a≤0或2≤a<3 (a∈R) B.-2≤a<-1或3<a≤4 C.-1≤a<0或2<a≤3 D.-2<a<-1或3<a<4 4.若“-1<x<1”是“(x-a)(x-3-a)≤0”的充分 不必要条件，则实数a的取值范围是( 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.一元二次不等式及其解法 1、3、4、6、7 2.分式不等式的解法 2、5、6 今天的我： ☐超级棒！ ☐还不错！ 需要继续努力。 62