3 第2天 基本不等式-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

3预备新高一数学8 7.设两次黄金的价格分别为x万元/克，y万 元/克，其中x>0,y>0,x≠y 第一种购买方式：黄金的平均价格为mctm四= 2m 空（万元/克）： 第二种购买方式：黄金的平均价格为2 nn x y 2xy(万元/克)· x+Y 风的-- 2(x+y)*>0, y>0,x≠y, 所以)>0，即第二种则买方式黄金的 2(x+y) 平均价格较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 第2天基本不等式 【即学即练】 1.B【解析】由x>-3,可得x+3>0,所以2x+ 1=2(x+3)+2-6≥2/2(*+3).1 x+3 x+3 6=2√2-6，当且仅当2(x+3)= t3,郎 =-3受时取等号，所以2x+中与的及小值 为22-6. 2.A【解析】因为0<x<2,所以4-x2>0,所以 y=x√4-x2=√x2·(4-x2)≤ 2+(4-x2) 2 2,当且仅当x2=4-x2,即x=√2时取等号，所 以y=x√4-x2的最大值为2. 18 3.B【解析】由正数x,y满足4+y=4,得上+ 4w(+》任丝45到= 即=子=音时取等号，所以的技小 2 值为4 4.C【解析】依题意得，年平均利润为氵= -22+501-98-2-98 +50,t∈N. 因为>0，所以2+98≥2，/21.98=28，当且 仅当2=8，即1=7时，等号成立，所以≤ -28+50=22,当且仅当t=7时，等号成立，所 以当每条生产线运行的时间t为7年时，年 平均利润最大 【练新题】 3 1.D【解析】因为0<<2，所以3-2x>0,则由 基本不等式得，x(3-2x)=2x(3-2x)≤ 2x+3-2x 2 2 8,当且仅当2x=3-2x,即 x=4时，等号成立，故当x(3-2x)取得最大 3 值时，x的值为 3 2.BC【解析】由题意得，x2+y2=xy+1.因为 x2+y2≥2xy,所以xy+1≥2xy,所以xy≤1，所 以x2+y2≤2，当且仅当x=y时，等号成立，故 C正确.因为(x+y)2=x2+y2+2y=3xy+1≤ 4,所以1x+y川≤2，所以-2≤x+y≤2，故A错 误，B正确取x= 3 3,y -3,满足2+y2 灯=1，很+-号<1，放D错误故选C 3.B【解析】设每月的净利润为z(x≥8)，由 题意得，z= 8-1(x-8)=-x-+26≤ 144 -2.x· +26=-24+26=2,当且仅当x= 14,即x=2时，等号成立，所以要使每月 的净利润最高，每件售价应定为12元. 4.AB【解析】已知正数a,b满足a+b=1.由 基本不等式得ab≤ a+b12 2)=4,当且仅当 1.1 a=6=2时取等号，故A选项正确；。+ a°b a+b+a+地=2+6+%≥2+2 b a a b b.=4,当 a b N a b 且仅当a=b=2时取等号，故B选项正确； (a+6)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+a+ 6=2,当且仅当a=b=2时取等号，即a+ √6≤√2，故C选项错误；易知a=1-b>0,则 01a-1-b=1-(6+≤1 26·=-1,当且仅当6=6，即6=1时 取等号，但0<b<1,故等号无法取到，故D选 项错误， 参考答案8 5.因为x+y=1,所以2x+2y=2, 所以28-2x+2y,8-2+2,8 x y x y x Y 又x>0,y>0, 所以2+2,8x」 +≥2+2 2y.8 =10， x y Vx y 当且仅当2-8x x Y 即=y=时等号 成立 故28的最小值为10. x Y 6.设厂家的利润为y万元 由题意得y=(49）上-(10+2)， 将=5名代人化筒得y=20本0= x≤2)， 则y20-(小=21-(+1≤ 21-21(+1=17， 当且仅当=+1，即=1（满足0≤∈2） 时，等号成立 故促销费用投入1万元时，厂家的利润 最大 第3天一元二次不等式及其解法 【即学即练】 1.(1)由2x2+5x-3<0,得(x+3)(2x-1)<0, 1 解得-3<x<2’ 所以不等式2x2+5x-3<0的解集为{x-3< } 193预备新高一数学8—。 第2天 温故知新 1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或减去）它们的积的2倍.用字 母表示为(a±b)2=a2±2ab+b2 2.完全平方公式的常见变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. 第1步 知识点/1基本不等式 ★★★☆☆ 1.重要不等式 Va,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时，等号成立 名师点睛 (1)当且仅当的含义：①当a=b时等号成立，即 a=b=→a2+b2=2ab; ②仅当a=b时等号成立，即a2+b2=2ab→ a=b. (2)常用变形：不等式a2+b2≥2ab可以变形为 ab'tb ,4b≤(a+b)2,2(a2+b2)≥(a+ b)2等 2.基本不等式 如果0,6>0，那么v而≤2，当且仅当 a=b时，等号成立 其中2 叫做正数a,b的算术平均数， 52 基本不等式 (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab. (3)(a+b)2-(a-b)2=4ab (4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+62). (5)b-=2(a+b2-(dw)1. (6)b=(e+02-(a-61. 学新知 √ab叫做正数a,b的几何平均数 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 名师点睛 基本不等式的常见变形及常用结论 (1)基本不等式的常见变形：a+b≥2√ab,ab≤ ia0,60. (2)基本不等式的常用结论： ①+2≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时，等号 b a ;+≤-2(a,b异号)，当且仅当a=-b 成立ba 时，等号成立 ②a+≥2(a>0),当且仅当a=1时，等号成立； a a+一≤-2(a<0),当且仅当a=-1时，等号 a 成立 第三周一元二次函数、方程和不等式8 知识点/2最值定理 ★★☆☆☆ a2+b ,当且仅当a=b时，等号成立 已知x,y都是正数， 2 2ab (1)如果积(xy)等于定值p,那么当x=y 其中 为a,b的调和平均值， 1,1a+b 时，和(x+y)有最小值2Wp; a b (2)如果和(x+y)等于定值s,那么当x=y a2+b2 时，积()有最大值子子。 2 为a,b的平方平均值 此不等式链又常以ab≤ a+b12a2+b2 2 ≤ 最值定理简记：和定积最大，积定和最小 2 名师点晴 (a,beR)的形式出现. 2.基本不等式的拓展 利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词： 一正、二定、三相等.一正，各项必须为正；二定， (1)三元基本不等式 各项之和或各项之积为定值；三相等，必须验证 取等号时条件是否具备。 3C≥abc(a,b,c均为正实数)，当目 仅当a=b=c时，等号成立. 知识点/3)基本不等式的变形与拓展 (2)n元基本不等式 ★★☆☆☆ a+a+...+a 1.基本不等式链 ≥aa2·an(a1,a2,…, n 若a>0,6>0,则，2 i≤Vab atb 11 ≤ an均为正实数)，当且仅当a1=a2=…=an时， a b 等号成立 第2步 过典例 题型1)利用基本不等式求最值 典例1(1)函数y=x(5-2x)(0<x<2)的最大值是 即学即练 [答案见P18] (2)函数y=+8 x-1 x>1)的最小值是 1.若x>-3,则2x+ +3的最小 (3)若，y是正数，则（✉+2+(y+ 12 的最小值是 值是() A.22+6 B.22-6 C.22 D.22+2 【解析】(1)y=x(5-2x)= 2·2x·(5-2x). 1 因为0<x<2,所以0<2x<4,所以1<5-2x<5, 53 3预备新高一数学8… 1. 所以y≤2 [2x+(5-2x)121、2525 2 =2x4=8, 当且仅当2x=5-2x,即x=4时取等号. 故当x= 25 时分 (2)y=￥+8.(x-1)2+2(g-1)+9 x-1 x-1 149 2, 因为x>1,所以x-1>0, 所以y≥2V(1)·9 +2=2×3+2=8, -1 -,即x=4时取等号. 9 当且仅当x-1= 故当x=4时，ymin=8. 2.已知0<x<2,则y=√4-x (3)因为x,y是正数， 的最大值为( 所以)广+2) A.2 B.4 C.5 D.6 +公) =+]+]+(） ≥2·x· 2y2y2√xy .1+22.=4, 2x (1 x=2x 当且仅当y=2y 即x=y=2 时取等号 y x (x y, 故+2 2/.1 的最小值为4. 【答案1(12日 (2)8(3)4 54 3第三周一元二次函 名师点晴 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定 值.常见的变形方法有拆、并、配凑 (1)拆—裂项拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离 分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行 拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件 （2)并—分组并项 分组并项的目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后 先部分应用基本不等式，部分与部分之间又可以应用基本不等式求 出最值. (3)配凑—配式配系数，凑出定值 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取 合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不 等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 题型2)“1”的代换与消元法 例2已知x>0,y>0,且上+9=1，则x+y的最小值 为 【解析】方法一(“1“的代换)：因为十91， 所以=（10+ x y 因为20，>0，所以二+9≥2,2.9=6， x y Vx y 当且仅当兰9x,即y=3x时取等号. x Y 因为+9=1，所以当=4，y=12时，(x+y)m=16 x y 方法二（消元法）：因为+=1，所以x=y 19 x y -9 因为x>0,y>0,所以y>9. 9yy4949 因为x+y=y 9949 94y-9+10,且-90， 所以y949 9 9+y-9≥2V-9)· 9=6, 数、方程和不等式8。 3.若正数x,y满足4x+y=4,则 1+的最小值为( x y A.2 B. 9 4 C.3 D. 8 55 预备新高一数学&—… y-9即y=12时取等号，此时x=4, 9 当且仅当y-9= 所以当x=4,y=12时，(x+y）min=16. 【答案】16 名师点晴 要求x+y的最小值，应构建某两个数（或式）的积为定值，因而需要 对条件进行必要的变形，有两种思路：(1)利用“1”的代换进行变 形；(2)消去x,y中的任意一个变量. 题型了3)基本不等式在实际问题中的应用 4.为提高生产效率，某公司引 典例3如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有 进新的生产线，投入生产后， 大小相等的左、右两个矩形栏目（图中阴影部分）， 除去成本，每条生产线生产的 这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度 产品可获得的利润s(单位：万 为10cm,两栏之间空白的宽度为5cm.怎样设计广 元)与生产线运转时间t(单 告牌的高与宽的尺寸（单位：cm),能使矩形广告牌的面积最小？ 位：年，t∈N*)满足二次函数 关系：s=-2t+50t-98.现在要 【解析】设矩形广告牌的高为xcm,宽为ycm,面积为Scm2, 使年平均利润最大，则每条生 则矩形栏日的高和宽分别为(x-20)cm,5cm,其中x>20,y>25 产线运行的时间t为() A.5年 B.6年 厕矩形栏目面积之和为2(x-20)×)25=18000(cm2) C.7年 D.8年 由此得y= 1800 x-20 +25, 所以S=y=x 18000 20+25 整理得S=360000 25(x-20)+18500. x-20 因为x-20>0,所以S≥2. 36000×25(x-20)+18500=24500, x-20 当且仅当 60000 =25(x-20)时等号成立， x-20 此时有(x-20)2=14400,解得x=140, 代入y 18000+25,得y=175, x-20 即当x=140,y=175时，S取得最小值 故广告牌的高为140cm,宽为175cm,能使矩形广告牌的面积最小. 56 3第三周一元二次函数、方程和不等式。 第3步 练新题 已答案见P18 Q建议用时：25分钟 9实际用时：分钟 1已知0<x<,则当x(3-2x)取得最大值时 C.√a+√b的最小值为√2 x的值为( D.a2的最大值为-1 1 4号 c号 D.3 2.8x 5.已知x>0,y>0,且x+y=1,求二+的最 y 2.[新高考全国卷Ⅱ]（多选题）若x,y满足 小值. x2+y2-xy=1,则( A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 3.已知某商品每件的成本为8元，每月销量 y(万件)与每件售价x(元)的函数关系近似 6.某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某 为y=181,若要使每月的净利润（注：净利 产品促销费用为x(万元)时，销售量t(万 润=销售总额-总成本)最高，则每件售价应 件)满足1=5-2 中(0≤x≤2).现假定产量 定为() 与销售量相等，已知生产该产品t万件还需 A.10元B.12元C.15元D.16元 投入成本(10+2t)万元（不含促销费用），产 4.(多选题)已知正数a,b满足a+b=1,则 20 () 品的销售价格定为每件(4+，)元求促销 A.ab的最大值为4 费用投入多少万元时，厂家的利润最大 B+号的及小值为4 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.基本不等式 1、2 2.最值定理 3、4、5、6 3.基本不等式的变形与拓展 3、4 今天的我： 超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 57