3 第4天 二次函数与一元二次方程、不等式的关系-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

第4天 二次函数与- 温故知新 1.二次函数解析式常见的几种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数， a≠0) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数， a≠0) (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为抛 第1步 知识点/ 二次函数与一元二次方程、不 等式的关系 ★★★☆☆ 1.二次函数的零点 般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们 把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y= ax2+bx+c的零点.二次函数的零点个数可以 为2,1或0. 2.三个“二次”之间的关系 项目 4>0 △=0 △<0 y y=ax2+bx+ c(a>0)的 图象 有两个不相 有两个相等 ax2+bx+c=0等的实数根 的实数根 没有实 x1=X2= (a>0)的根 X1,X2 数根 （x1<x2) 2a ”””” ax+bx+c>0 xx<x1, b (a>0)的 R 或x>x2 2a 解集 第三周一元二次函数、方程和不等式 元二次方程、不等式的关系 物线与x轴交点的横坐标，a≠0) 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数 b 根x1,x2,那么x1+x2=- 学新知 续表 项目 4>0 △=0 △<0 ax2+bx+c<0 {xx1< (a>0)的 0 0 x<x2} 解集 名师点晴 三个“二次”关系的理解 (1)三个“二次”关系的实质可结合数形结合的 思想进行解读：ax2+bx+c=0的解曰→y=ax2+bx+c 的图象与x轴交，点的横坐标；ax2+bx+c>0的解 集y=ax2+bx+c的图象上的点（x,y）在x轴上 方时，对应x的取值集合；ax2+bx+c<0的解集一 y=ax2+bx+c图象上的点(x,y)在x轴下方时，对 应x的取值集合 (2)三个“二次”之间的关系可用下图来表示. 二次函数 函数的零点 方程的根 函数值的讨论 求解集 根的讨论 一元二次方程 一元二次不等式 求解集 63 3 预备新高一数学 即学即练 [答案见P22] 1.已知二次函数y=x2-(a- 1)x-a-1的图象与x轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点. (1)当a=3时，求x+x2的值； (2)求关于x的不等式x2-(a 1)x-a≥0的解集. 2.已知一元二次不等式x2+ bx+c<0的解集为{x11<x<2}, 则不等式bx2-5x+c≥0的解集 是」 64 第2步 过典例 题型1)一元二次不等式与二次函数、一元二次 方程的关系 典例1二次函数y=ax+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： -2 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是 【解析】由表格可知，函数的图象开口向上，且零点为x=-2,x=3,则一 元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>3}. 【答案】{xx<-2,或x>3} 题型2)已知一元二次不等式的解集求参数问题 典例2若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},则不等式 bx2+2ax-c-3b<0的解集为 【解析】因为ax2+bx+c>0的解集为{xl-3<x<4}, 所以a<0且-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根. -3+4=-6 [b=-a, 由根与系数的关系得 即 c=-12a, -3×4= a 所以不等式bx2+2ax-c-3b<0,即-ax2+2ax+15a<0,即x2-2x-15<0, 即(x-5)(x+3)<0,解得-3<x<5. 故所求的不等式的解集为{x|-3<x<5}. 【答案】{x-3<x<5} 名师点晴 若已知一元二次不等式的解集，则由一元二次不等式的解集可逆向 推知它的系数所满足的条件（即相应的一元二次方程的根、根的判 别式的情况及二次项系数的正负等)，再利用根与系数的关系即可 解决问题， 3第三周一元二次函数、方程和不等式。 第3步 练新题 日答案见P22 ⑨建议用时：25分钟 9实际用时：分钟 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所 所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是( 示，则不等式bx2-cx+3≤0的解集 为 y=ax2+bx+c 7-2 A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1} 5.已知不等式(a+1)x2-4x-6<0的解集是 D.{xlx≤-2或x≥1} {x|-1<x<3}. 2.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0 (1)求常数a的值； 的解集为{x-1<x<2},则() (2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解 A.a>0 集为R,求m的取值范围. B.x=-1是方程ax2+bx+c=0的根 C.cx2+bx+a>0的解集 {x-1<2} D.e2+bxa>0的解集为{x<-1或>2} 3.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈ R,a≠0)的解集为x-1<x<3引，则b-c+1 的最大值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 二次函数与一元二次方程、不等式的 1~5 关系 今天的我： ☐超级棒！ 还不错！ 需要继续努力。 653预备新高一数学8 当2=-1，即a=-2时，解得=-1； 2 当。-1，即-2<a<0时，解得后≤x≤-1 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x x≤-1}； 当a>0时，不等式的解集为{✉：≥或 ≤-1}： 当-2a<0时，不等式的解集为{x子≤：≤ -} 当a=-2时，不等式的解集为{-1}； 当a<-2时，不等式的解集为 -1≤x≤ } 第4天 二次函数与一元二次方程、 不等式的关系 【即学即练】 1.（1)当a=3时，y=x2-2x-4. 由题意可知x1,x2是方程x2-2x-4=0的两 个根，则x1+x2=2,x1x2=-4, 故x子+x3=（x1+x2)2-2x1x2=22-2× (-4)=12. (2)不等式x2-(a-1)x-a≥0可转化为 (x-a)(x+1)≥0. 当a>-1时，不等式的解集是{xlx≤-1或 x≥a}; 当a=-1时，不等式的解集是{xlx∈R}; 当a<-1时，不等式的解集是{xlx≤a或x≥ 22 -1} 2{-2≤≤} 【解析】因为一元二次不 等式x2+bx+c<0的解集为{x11<x<2},所以 方程x2+bx+c=0的两根分别为1和2，则 -b=1+2,c=1×2,所以b=-3,c=2,所以不 等式bx2-5x+c≥0转化为3x2+5x-2≤0，即 (3x-1)(x+2)≤0，解得-2≤x≤3，即所求 不等式的解集为{-2≤≤} 【练新题】 1.A【解析】结合题图易知，不等式ax2+bx+ c>0的解集是{xl-2<x<1}. 2.BD【解析】对于A,根据题意，易知a<0,故 A选项错误.对于B,根据题意，-1,2都是方 程ax2+bx+c=0的根，故B选项正确.对于 G,D,根据题意，-1+2=--2=9，则 a -a,c=-2a,故不等式cx2+bx+a>0可化为 -2ax2-ax+a>0.又a<0,则2x2+x-1>0,即 (2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>7,所以 解集为 xx<-1或>2} 11 ,故C选项错误， D选项正确， 3.A【解析】因为ax2+bx+c>0的解集为{xl -1<x<3},所以-1,3为方程ax2+bx+c=0的 -1+3=-6 两个根，且a<0,所以 即 (-1)x3= -2所以6-c+-a+日-(-a c=-3a, ≤-2(-)-2当且仅当 -a=。即a=-1时等号成立. 4.{x|x≤-1或x≥3}【解析】根据二次函数 y=x2+bx+c的图象可知，-1,2为方程x2+ bx+c=0的两根，故-1+2=-b,-1×2=c,即 b=-1,c=-2,则bx2-cx+3≤0可化为-x2+ 2x+3≤0，即x2-2x-3≥0，即(x-3)(x+1)≥ 0,解得x≥3或x≤-1.故不等式的解集为 {x|x≤-1或x≥3}. 5.(1)因为不等式(a+1)x2-4x-6<0的解集是 {xl-1<x<3}, 所以-1和3是方程(a+1)x2-4x-6=0的两 个根 把x=-1代入方程(a+1)x2-4x-6=0,即 (a+1)-2=0,解得a=1,经验证满足题意. 综上，a=1. (2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解 集为R,即关于x的不等式x2+mx+4≥0的 解集为R, 则△=m2-16≤0，解得-4≤m≤4， 所以m的取值范围是-4≤m≤4. 第5天不等式恒成立、能成立问题 【即学即练】 1.B【解析】当a=0时，1>0恒成立；当a≠0 ra>0, 时，只需 解得a>0. 4=a2-4a(a+1)<0, 综上，a≥0，即实数a的取值范围为a≥0. 2号【解析】因为0，所以a产4 2x 4恒成立.又2 2 4 x-1+ x-1+ 2.x· 参考答案8 、3,当且仅当x=2时，等号成立，所以0之 2 所以a的最小值是了 3.由于x2-2x+3=(x-1)2+2>0,故原不等式可 化为4x+m≥2(x2-2x+3),即m≥2x2-8x+ 6.因为存在x∈R,使原不等式成立，所以 m≥(2x2-8x+6)mim·因为2x2-8x+6=2(x 2)2-2≥-2，所以实数m的取值范围为{ml m≥-2}. 4.{xx<1或x>3}【解析】由题意得，不等式 x2+(m-3)x-3m>0在m∈{ml-1≤m≤2} 上能成立可转化为(x-3)m+(x2-3x)>0在 me{ml-1≤m≤2}上能成立.将m看作主 元，令y=(x-3)m+(x2-3x),则需要函数y 在-1≤m≤2中的端点处的函数值至少有一 个满足大于0即可.当m=-1时，y=x2-4x+ 3,当m=2时，y=x2-x-6,所以x2-4x+3>0 或x2-x-6>0,解得x<1或x>3. 【练新题】 1.A【解析】由题意得，不等式a<x2-2x在 {x|-1<x<1}上恒成立 设y=x2-2x=(x-1)2-1(-1<x<1), 当x=1时，y=-1,根据二次函数的性质，可 得y>-1,所以a≤-1. 2.C【解析】根据题意，得x2-4x≥a2-4a在 {x11≤x≤6}上有解，所以只需a2-4a≤ (x2-4x)mx.设y=x2-4x=(x-2)2-4,1≤x≤ 6,则当x=6时，y取得最大值，ymax=12,所 以a2-4a≤12，解得-2≤a≤6，故实数a的 取值范围为{al-2≤a≤6}. 3.C【解析】由题意知，Hme{m|-1≤m≤ 23