1 第4天 二次函数的图象与性质-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

第3天绝对值 【即学即练】 1.b-2【解析】由数轴可知，a<0<1<b,所以 1-a>0,1-b<0,所以√a2-11-al+√J(1-b)2= |al-(1-a)+11-b1=-a-1+a+b-1=b-2. 2.A【解析】原不等式等价于1x-21>1x-11, 3 则(x-2)>(x-1)2,解得x<2,即原不等式 3 的解集为<弓故选A. 【练新题】 1.A【解析】由11-2x1<1得-1<1-2x<1,即 -2<-2x<0,即0<x<1.故选A. 2.C【解析】因为△ABC的三边长分别为a, b,c,根据三角形三边关系，可得b+c>a,a+ c>b,所以a-b-c=a-(b+c)<0,a-b+c=(a+ c)-b>0,所以Ia-b-cl+la-b+cl=(b+c-a)+ (a-b+c)=b+c-a+a-b+c=2c.故选C. 3.C【解析】由2<12x+31≤4，可得2<2x+3≤ 4或4<23<2，解得}≤或了 5 还2故选C 4.2【解析】因为1x+y-31≥0，(x-y-1)2≥0， 且51x+y-31+(x-y-1)2=0,所以 rx+y-3=0, 「x=2, 解得 所以y=2×1=2. x-y-1=0,y=1. 3 x≥ 5.(1)原不等式可化为 2 或 x+2x+3≥2 3 x<2’ 解得≥ 3或≤-5.所以原 x-2x-3≥2， 参考答案8 不等式的解集是x≤-5或x≥号 (2)当x≤-1时，x+1≤0，x-1<0,原不等式 可以化为-(x+1)-(x-1)≥3，解得x≤2 当-1<x<1时，x+1>0,x-1<0,原不等式可以 化为x+1-(x-1)≥3，即2≥3，不成立，不等 式无解； 当x≥1时，x+1>0,x-1≥0，原不等式可以 化为x+1+x-1≥3，解得x≥2 3 3 综上，原不等式的解集为x≤-2或x≥ 2 6.由lax-21<3得-3<ax-2<3,即-1<ax<5. 15 若a>0,则-上<x<5,所以 5 a 3, 即 a 51 a3 3 a=5'(舍去)： la=15 若a=0,不等式的解集为R(舍去). 11 1 a3 若a<0,则<x<-，所以 解得 a 55 a 3 a=-3. 故实数a的值为-3. 第4天 二次函数的图象与性质 【即学即练】 1.①②③⑤【解析】由题图知当x=1时，y= a+b+c<0;当x=-1时，y=a-b+c>1,故①② 正确.因为22三-1，且a<0,所以b=2a<0 3 3预备新高一数学8 因为当x=0时，y=c=1>0,所以abc>0,故③ 正确.因为对称轴为直线x=-1,所以x=-2 时的函数值y=4a-2b+c等于x=0时的函数 值1，即4a-2b+c=1>0,故④不正确.因为 c=1,a<0,所以c-a>1,故⑤正确. 2.因为二次函数y=-x2+2ax=-(x-a)2+a2的 图象开口向下，对称轴为直线x=a,所以当 x<a时，y随自变量x的增大而增大 (1)由题意知，当x<2时，y随x的增大而增 大，所以a≥2. (2)由题意知，对称轴x=a恰好是直线x= 2,即实数a的值为2. 3.二次函数y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1的图象 开口向下，对称轴为直线x=2. 当m+2<2,即m<0时，在m≤x≤m+2上，y 随x的增大而增大，所以当x=m+2时，y取 得最大值，所以ymx=-m+1; 当m>2时，在m≤x≤m+2上，y随x的增大 而减小，所以当x=m时，y取得最大值，所以 ymax =-m+4m-3; 当m≤2≤m+2,即0≤m≤2时，在m≤x≤2 上，y随x的增大而增大，在2<x≤m+2上，y 随x的增大而减小，所以当x=2时，y取得 最大值，所以ymx=1: r-m2+1,m<0, 综上所述，ymr=1,0≤m≤2， -m2+4m-3,m>2. 4.易知y=x2-2ax-1=(x-a)2-1-a2的图象开 口向上，对称轴为直线x=a. 当a<0时，函数图象如图1所示，当0≤x≤2 时，y随x的增大而增大，所以当x=0时，y 取得最小值，为-1，当x=2时，y取得最大 4 值，为3-4a; 图1 图2 当0≤a≤1时，函数图象如图2所示，当0≤ x≤a时，y随x的增大而减小，当a<x≤2 时，y随x的增大而增大，所以当x=a时，y 取得最小值，为-1-a2,当x=2时，y取得最 大值，为3-4a; 当1<a≤2时，函数图象如图3所示，当0≤ x≤a时，y随x的增大而减小，当a<x≤2 时，y随x的增大而增大，所以当x=a时，y 取得最小值，为-1-a2,当x=0时，y取得最 大值，为-1； 图3 图4 当a>2时，函数图象如图4所示，当0≤x≤2 时，y随x的增大而减小，所以当x=2时，y 取得最小值，为3-4a,当x=0时，y取得最 大值，为-1. 【练新题】 1.A【解析】因为y1=y2>y3,所以函数的图象 开口向上，即a>0,且其对称轴为直线x=2, 即-6=2，所以4a+b=0.故选A. 2a 2.D【解析】由函数图象开口向上知a>0.因 为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，所 以<0.又对称轴在y轴的左侧，所以-< 2a 0,则>0，即4，b同号，所以6>0，所以%< 0.因为函数图象与x轴有两个交点，所以 △=b2-4ac>0,所以 -4ac>0,故点 b2-4ac a+b a+b a)在第四象限.故选D. 3.A【解析】因为函数y=x2-2(a-1)x+1的 图象开口向上，且对称轴为直线x=a-1,所 以当x≤a-1时，二次函数y=x2-2(a-1)x+ 1的函数值随自变量x的增大而减小，当 x≥a-1时，y随自变量x的增大而增大.因 为当2<x<3时，二次函数y=x2-2(a-1)x+1 的函数值随自变量x的增大而增大或减小， 所以a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. 故选A. 4.D【解析】因为函数y=x2-4x+5=(x-2)2+ 1,所以当x≤2时，y随x的增大而减小，当 x≥2时，y随x的增大而增大，且当x=0或 x=4时，y=5,当x=2时，y=1.由图象（如图 所示)可知，若当0≤x≤m时，二次函数y= x2-4x+5有最大值5，最小值1，则m的取值 范围是2≤m≤4.故选D. x=2 3 参考答案8 第5天【 图象变换 【即学即练】 1.-66【解析】y2=x2-2x+1=(x-1)2,将函 数y2=x2-2x+1的图象先向下平移3个单位 长度，再向右平移2个单位长度后，所得函 数图象的解析式为y1=(x-3)2-3,因为y1= x2+bx+c,所以(x-3)2-3=x2+bx+c,即x2 6x+6=x2+bx+c,所以b=-6,c=6. 2.在平面直角坐标系内，分别作出y=|x2-2x 31=-2x-3≤-1或x≥3 y=x2-21x1 -(x2-2x-3),-1<x<3, 3= x2-2x-3,x≥0， 的图象，如图1、图2中 x2+2x-3,x<0 的实线部分所示. y=Ix2-2x-31 图1 y=x2-2lxl-3 3 图2 通过观察两个图象可知，函数y=|x2-2x-31 的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下 列变换得到：保持函数y=x2-2x-3的图象 在x轴上和x轴上方的部分不变，再把x轴 5第一周初高衔接课： 第4天 二次函数的图象与性质 第1步 学知识 知识点1二次函数图象的特征与a,b,c 知识点/2二次函数y=ax2+bx+c(a,b, 的关系 ★★★☆☆ c是常数，a≠0)的图象和性质 ★★★★☆ 符号 图象的特征 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 函数 a>0 a<0 a>0 开口向上 0 a<0 开口向下 图象 b=0 对称轴为y轴 2 开口方向 向上 向下 b ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 对称轴 直线x=2 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 顶点坐标 b 4ac-b2 c=0 过原点 2a4a 与y轴正半轴相交 当x< 6 c>0 时，y随x当x< 2a 2a时，y随 的增大而减小；当x的增大而增大； c<0 与y轴负半轴相交 增减性 b x>- 2a 时，y随x的 当 2a时，y随 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 增大而增大 x的增大而减小 b b 当x= 时， 当x= 2a 时， b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个交点 20 最值 y有最小值， y有最大值， b2-4ac<0 与x轴没有交，点 4ac-b2 4ac-b2 Y最小= Aa Y最大值= 4a 第2步 过典例 题型1)二次函数的图象与系数的关系 典例①（多选题）如图是一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象 的一部分，图象的对称轴为直线x=-1.下列结论正确的有 () 9 3预备新高一数学8 即学即练 [答案见P3] 1.已知二次函数y=ax2+bx+c 3-10 (a≠0)的图象如图所示，有以 下结论：①a+b+c<0;②a-b+c> A.b2>4ac B.2a-b=1 1;③abc>0;④4a-2b+c<0; C.a-b+c=0 D.5a<b ⑤c-a>1.其中正确的结论有 【解析】由题图可知，一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴 .（填序号)》 有两个交点，所以b2-4aC>0,即b2>4ac,A正确；函数图象的对称轴为 直线x=-1,则- =-1,即2a-b=0,B错误；当x=-1时，y>0,即a-b+ a c>0,C错误；由B选项可知，b=2a,因为函数图象开口向下，所以a<0, 又5>2，所以5a<2a,即5a<b,D正确. 【答案】AD 题型2)由二次函数图象的变化趋势求参 2.已知二次函数y=-x2+2ax, 典例2已知二次函数y=x2+2(a-2)x+5在x>4上y随x的增大 分别在下列条件下求实数a 而增大，求实数a的取值范围。 的值（或取值范围） 【解析】因为二次函数y=x2+2(a-2)x+5的图象开口向上，对称轴为直 (1)在x<2上，y随自变量x的 线x=2-a, 增大而增大； 所以当x≥2-a时，y随x的增大而增大， (2)在x<2上，y随自变量x的 所以4≥2-a,解得a≥-2. 增大而增大，在x>2上，y随自 故实数a的取值范围为a≥-2. 变量x的增大而减小. 名师点晴 画数y=ax tbxtol(a0)的图象在xK b上的变 化趋势相反，故解决由二次函数图象的变化趋势求参的问题的关键 是借助二次函数图象的对称轴x= 20正确找出变量之间的关系， 题型3)二次函数在不定范围内的最值问题 3.已知二次函数y=-x2+4x 典例3求二次函数y=x2-2x+2在t≤x≤t+1上的最小值 3,求当m≤x≤m+2时，y的最 【解析】易知y=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以二次函数的图象开口向上， 大值. 对称轴为直线x=1. 当t+1<1,即t<0时，函数图象如图1所示，当t≤x≤t+1时，y随x的增 大而减小，所以当x=t+1时，y取得最小值，所以y=t2+1; 10 第一周初高衔接课 y 2 O1+1 +1 O111+1 图1 图2 图3 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，当t≤x≤1时，y随 x的增大而减小，当1<x≤+1时，y随x的增大而增大，所以当x=1时， y取得最小值，所以ymm=1; 当t>1时，函数图象如图3所示，当t≤x≤t+1时，y随x的增大而增 大，所以当x=t时，y取得最小值，所以ymn=t2-2t+2. 2+1,t<0, 综上所述，ymn=1,0≤t≤1， t2-2t+2,t>1. 题型4)含参的二次函数在给定范围内的最值问题 典例4已知二次函数y=x2-2ax+2,求当-1≤x≤1时，y的最 4.求二次函数y=x2-2ax-1在 小值 0≤x≤2上的最大值和最 【解析】易知y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为 小值 直线x=a. 当a≥1时，函数图象如图1所示，当-1≤x≤1时，y随x的增大而减 小，所以当x=1时，y取得最小值，所以ymim=3-2a; 图1 图2 图3 当-1<a<1时，函数图象如图2所示，当-1≤x≤a时，y随x的增大而 减小，当a<x≤1时，y随x的增大而增大，所以当x=a时，y取得最小 值，所以yn=2-a2; 当a≤-1时，函数图象如图3所示，当-1≤x≤1时，y随x的增大而增 大，所以当x=-1时，y取得最小值，所以ym=3+2a. [3-2a,a≥1， 综上所述，ymn=2-a2,-1<a<1, 3+2a,a≤-1. 11 预备新高一数学8 第3步 练新题 日答案见P4 ⑨建议用时：20分钟 9实际用时：分钟 1.已知a,b,c∈R,函数y=ax2+bx+c.与x=0, 3.二次函数y=x2-2(a-1)x+1的函数值在2< 4,1对应的函数值y1,y2,y3满足y1=y2>y3, x<3上随自变量x的增大而增大或随自变 则() 量x的增大而减小，则实数a的取值范围是 A.a>0,4a+b=0 () B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 A.a≤3或a≥4 D.a<0,2a+b=0 B.a<3或a>4 2.若一元二次函数y=aax2+bx+c(a≠0)的图象 C.a≤3 如图所则点在(） D.a≥4 4.已知当0≤x≤m时，二次函数y=x2-4x+5 有最大值5，最小值1，则m的取值范围是 () A.0≤m≤1 A.第一象限 B.第二象限 B.1≤m≤2 C.第三象限 C.0≤m≤2 D.第四象限 D.2≤m≤4 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 1.二次函数图象的特征与a,b,c的关系 1、2 2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常 3、4 数，a≠0)的图象和性质 今天的我： ☐超级棒！ □☐还不错！ ☐需要继续努力。 12