1 第2天 因式分解-【预备新高一】2026-2027学年初升高数学预习衔接练习

名第2天 第1步 知识点因式分解 ★★★★☆ 因式分解是高中学习过程中一个很重要 的数学工具，在高中函数、不等式、数列和解析 几何等章节中都是不可缺少的内容.初中学习 的提公因式法、公式法（直接用公式不超过两 次)进行因式分解，到高中是很不够用的，因 而为了能更好地进入高中阶段，完成高中学习 任务，下面总结了一些因式分解的知识和 方法。 (1)提公因式法分解因式 如果多项式的各项都有一个公共的因式 (数字因数或字母因式)，那么这个因式叫做 这个多项式各项的公因式.将多项式中各项的 公因式提出来进行因式分解（即ta+tb+tc= t(a+b+c))的方法称为提公因式法， (2)公式法分解因式 利用乘法公式进行因式分解的方法称为 公式法.常见的公式有： ①a2-b2=(a+b)(a-b); 举例：10012-9992=(1001+999X1001-999) 2000×2=4000 ②a2±2ab+b2=(a±b)2; 举例：6+25=+5+25=01+5=1+5 ③a3±b3=(a±b)(a2干ab+b2); ④a3±3a2b+3ab2±b=(a±b)3; ⑤a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2； 6a+b+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2- ab-ac-bc). 第一周初高衔接课 因式分解 学知识 (3)十字相乘法分解二次三项式 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项 式分解因式的方法叫做十字相乘法， 举例：6x2+7x-3 2x、 3 一拆：拆出二次项 与常数项的因式 3x. -1 因为-2x+9x=7x,六 二判：交叉相乘和 为一次项 所以6x2+7x-3 三书写：横向书 =(2x+3)(3x-1) →写拆出的式子 (4)主元法分解因式 在分解含多个字母的多项式时，选定一个 字母作为主元（看作未知数），其余字母视为 常数，把原式按主元的降幂（或升幂）重新整 理，再用公式法、十字相乘法等进行因式分解 的方法称为主元法。 ①形如Ax2+By2+Cx+Dy+E的代数式可以 采用主元法进行因式分解。 举例：m2-2+5m+3k+4.将m作主元 =m+5m+(-R+3张+4)k作常卷 =m+5m+k+4k+1)m.k+7) =(m-k+4(m+k+1)(-k+4+k+1)m=5m ②形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F的代数 式，因为此式中有含y的项，所以可将x或y 看作主元，先合并同类项，再借助主元法进行 因式分解. 举例：2+y-2y2+x+5y-2、将x作主元， y作常数 =x2+(y+10x-2y2-5y+2) ++-(-Ww-一<多 =x-(y-2)1x+2y-1) 1-(y-2)+2y-1x (y+1x 3 3预备新高一数学8 (5)试根待定系数法分解因式 式，对比系数求出未知系数，完成因式分解，这 对于一元三次多项式Ax3+Bx2+Cx+D(A≠ 样的方法称为试根待定系数法 0),先将其化简为系数为1的形式：Ax3+ 举例：x-9x+10 ①试根，将10的因裁±1 ±2，±5，±10代入原式 可得，当x=2时，原式=0 A+A】 再试根（若上述多项式存在有 得因式(x-2) =(-2)x2+ax-5) ②待定系数设出剩余因式 理根，则二所有因数（包括正负）中有一个必 将式子展开，与原式对比 A 可得a=2 =x-2)x2+2x-5) ③检查剩下的多项式 是方程的根)，最后用待定系数法设出分解形 能否继续因式分解 第2步 过典例 题型1)分解因式 即学即练 [答案见P2] 典例①因式分解： 1.因式分解： (1)4m2(x-y)-n2(x-y）; （1)x2+4x-12; (2)2x2+xy-y2-4x+5y-6; (2）ax2-2axy+ay2; (3)x3-3x2+4. (3)x3-3x2+(a+2)x-2a. 【解析】(1)原式=(x-y)(4m2-n2)=(x-y)(2m-n)(2m+n). (2)原式=2x2+(y-4)x-(y2-5y+6)=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)= [2x-(y-2)](x+y-3)=(2x-y+2)(x+y-3). (3)方法一：原式=x3+1-3(x2-1)=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)= (x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x-2)2. 方法二：令x3-3x2+4=0,4的因数为±1，±2，±4，可先试根x=±1，试得 (-1)3-3×(-1)2+4=0,即x=-1是x3-3x2+4=0的一个根，所以x+1 是其中一个因式.可设(x+1)(x2+ax+4)=x3-3x2+4,所以a=-4,所以 原式=(x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x-2)2. 题型2)因式分解的应用 2.已知a,b,c是△ABC的三边 典例2已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判 长，满足a2+b2=10a+8b-41, 断△ABC的形状，并说明理由. 且c是△ABC中最长的边，求 【解析】△ABC是等边三角形.理由如下： c的取值范围. 因为a2+b2+c2=ab+bc+ca, 所以2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca), 所以(a2+b2-2ab)+(a2+c2-2ac)+(b2+c2-2bc)=0, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0, 所以a=b=c,即△ABC是等边三角形. 4 第一周初高衔接课& 第3步 练新题 已答案见P2 ⑨建议用时：25分钟 9实际用时：分钟 1.多项式15x3y2-10x2y3+5x2y2的公因式是 5.因式分解： () (1)x2+xy-6y2; A.5x2y2 B.5xy2 (2)(x2+x)2-8(x2+x)+12; C.5x'y2 D.5x2y (3)x3+2x2-5x-6. 2.在括号内填一个单项式，使多项式4x2-y2+ x+( )化简后能进行因式分解，在单项 式①-x;②y2;③-4x2中，符合要求的有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图，边长为(2m+3)的正方形纸片剪出一 个边长为(m+2)的正方形之后，剩余部分 可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边 6.已知多项式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因 长为m+1,则长方形的另一边长为( 式是x+y-2,试确定a+b的值， 2m+3 m+2 A.2m+4 B.2m+5 C.3m+4 D.3m+5 4.若992-1)(1012-1) =98×100×102,则 a a= 第4步 查效果 必会知识点 对点题号 错题题号 纠错时间 因式分解 1~6 今天的我：☐超级棒！ 口还不错！口需要继续努力。 53预备新高一数学8 为a+b+c=0,所以22+b&2+c2a2=4由 (1)可知(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2a262+ 2b2c2+2c2a2=1,所以a4+b4+c4=1-(2a2b2+ 2b2c2+2c2a2)=1-2x4=2 11 第2天因式分解 【即学即练】 1.(1)原式=(x+6)(x-2) (2)原式=a(x2-2xy+y2)=a(x-y)2 (3)原式=x3-3x2+ax+2x-2a=（x3-3x2+ 2x)+(ax-2a)=x(x2-3x+2)+a(x-2)= x(x-1)(x-2)+a(x-2)=(x-2)[x(x-1)+ a]=(x-2)(x2-x+a). 2.由题意得a2-10a+25+b2-8b+16=0, 即(a-5)2+(b-4)2=0. 因为(a-5)2≥0，(b-4)2≥0， 所以(a-5)2=0,(b-4)2=0, 所以a=5,b=4. 因为c是△ABC中最长的边，所以c≥5， 因为三角形两边之和大于第三边， 所以c<a+b=9, 所以c的取值范围是5≤c<9. 【练新题】 1.A【解析】因为多项式15x3y2-10x2y3+ 5x2y2的各项系数为15，-10,5，三者的最大 公约数是5，各项共有的字母为x和y,x在 各项的次数分别为3,2,2，最低次幂为x2,y 在各项的次数分别为2,3,2，最低次幂为y2, 所以该多项式的公因式为5xy2.故选A. 2.C【解析】对于①，4x2-y2+x-x=4x2-y2= (2x+y）(2x-y);对于②，4x2-y2+x+y2=4x2+ 2 x=x(4x+1);对于③，4x2-y2+x-4x2=x-y2, 不能进行因式分解.故选C. 3.D【解析】S阴=(2m+3)2-(m+2)2=(2m+ 3+m+2)(2m+3-m-2)=(3m+5)(m+1). 因为长方形一边长为m+1,所以长方形的另 外一边长为3m+5.故选D. 4.100【解析】易知992-1=(99-1)×(99+ 1)=98×100,1012-1=(101-1)×(101+1)= 100x102,因为92-1)(1012-1)=98×100× 0 102,所以98×100x100x102=98×10×102, e 所以g0-1,所以a=10m 5.(1)原式=(x-2y)(x+3y) (2)原式=(x2+x-2)(x2+x-6)=(x-1)(x+ 2)(x-2)(x+3) (3)令x3+2x2-5x-6=0,通过试根可知，x= -1是该方程的一个解，故x+1是x3+2x2- 5x-6的一个因式，可设x3+2x2-5x-6=(x+ 1)(x2+ax-6),对比系数，可得a=1,所以 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x- 2)(x+3) 6.已知多项式的二次项是x2,axy,by2,常数项 是6，且它的一个因式为x+y-2,一次项是x, y,常数项为-2，所以可设多项式的另一个因 式为x+by-3, 所以x2+axy+by2-5x+y+6=（x+y-2)(x+by 3)=x2+(b+1)xy+by2-5x-(2b+3)y+6. 比较系数，得 +1a解得- 2b+3=-1, 6=-2. 所以a+b=-1-2=-3.