湖北中部地区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．全卷共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡密封线矩形框内．同时将考号填写在答题卡正面右上方框内，将考号下对应的数字框涂黑． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A． B．或 C． D．或 6．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知，，分别是三个内角，，的对边，且1，点为的费马点．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 10．已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为．若，且，则（ ） A． B．面积的最大值为 C． D．边上的高的最大值为 11．如图，已知正方体的棱长为2，是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形内的运动轨迹长度为 D．若点为的中点，点为的中点，过，作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 13．__________． 14．四面体中，，，，且异面直线与所成角为．若四面体的体积为，则四面体的外接球半径的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知，． （1）若且，求在方向上的投影向量； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的的值． 17．（本题满分15分）国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分17分）在平面四边形中，，． （1）在中，设角，，的对边分别为，，，若． ①当时，求的值； ②当时，求的最大值． （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较、、的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $