精品解析：湖北襄阳市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题

高一下学期期末测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算得出；再根据复数的虚部定义即可求解. 【详解】因为复数z满足，所以. 即z的虚部为1. 2. 已知向量，向量在上的投影向量，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义，结合数乘向量、向量的模的坐标运算，计算即可得结果. 【详解】由题意，，，则， 所以向量在上的投影向量， 所以，即. 故选：A. 3. 某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ） A. 14 B. 16 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样比即可按比例求解. 【详解】高一年级应抽取人， 故选：C 4. 在中，角的对边分别是．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出角的值． 【详解】由余弦定理可得：， ， ， ， ． 故选：C． 5. 如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（ ） A. 与平面相交 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断. 【详解】因为四棱台侧棱交于一点，可设平面与平面交线为， 因为底面是平行四边形，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，平面平面，所以. 在梯形中，显然直线与直线既不垂直也不平行，因为平面，且， 则直线与既不平行也不垂直，则直线与有交点， 因为平面，则直线不垂直平面，故B错误； 因为直线与有交点，平面，所以直线与平面有公共点， 又因为点平面，所以与平面相交，故A正确； 则平面，不平行平面，故CD错误. 故选：A. 6. 在复平面内，已知平行四边形的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，则点B对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由平行四边形OABC知，， 得点B对应的复数为. 故选：A 7. 如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解. 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案. 【详解】如图，延长到，使得， 由，可得，即，所以， 因为，所以，即，得， 由勾股定理可得，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据，，的标准差为3，则（ ） A. ，，不可能都相等 B. ，，的标准差也为3 C. ，，的平均数有最小值 D. ，，的平均数有最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据样本数据的平均数、方差和标准差的公式逐一分析选项即可求解. 【详解】已知原样本标准差，因此原样本方差， 对于选项A，若所有数据都相等，方差为，标准差为，与已知标准差为矛盾，因此这三个数不可能都相等，A正确； 对于选项B，根据方差性质：若新数据为，则新方差为，新标准差为；因此本题中新标准差为，B错误； 对于选项C，设样本平均数为，举例：令，可算得方差为，满足标准差为， 此时平均数，可以无限小，因此平均数没有最小值，C错误； 对于选项D，由方差公式展开：， 整理得：，当时取到最小值，因此平方的平均数存在最小值，D正确. 10. 已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数模长的运算公式判断A正确；然后设，则，则，，然后根据根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断CBD的正误. 【详解】对于A，，所以A正确； 设，则，则， 对于B，因为 ，所以B正确； 对于C，因为， ，所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以D正确； 故选：ABD． 11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确； B选项，通过内切圆半径和面积法推出； C选项，由A先等价推出，由三角形的面积公式可算出； D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算. 【详解】 如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确； 由可得， 结合正弦定理可得，，即，A选项正确； 根据诱导公式，，， ，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确； 由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 13. 当太阳光线与水平面的倾斜角为时，将一根竹竿斜插在水平地面上，竹竿露出地面的部分长为2米，则竹竿的影子最长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，再根据正弦函数性质求解即可. 【详解】作出示意图如下图， 设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得， 所以，因为，所以要使最大， 只需，即，所以时，影子最长为． 14. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】取AD中点作PO垂直底面，利用E为PC中点的性质，所求三棱锥P-BDE的体积等于三棱锥 P-BCD 体积的一半. 【详解】取的中点，连接,因为是边长为的等边三角形，所以， 且等边三角形的高 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，即是点到平面的高, 因为底面是边长为的菱形，，因此，且， 即是边长为的等边三角形，其面积 所以 因为为的中点，所以点、点到平面的距离相等， 因此三棱锥与三棱锥同底等高，体积相等，即 ， 又 ，因此 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设复数，，. （1）若是纯虚数，为实数，求； （2）若，设，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念及复数的模求解即可. （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可. 【小问1详解】 因为是纯虚数，为实数，所以，， 解得，，所以. 所以. 【小问2详解】 若，则，， 所以. 又，所以， 所以，解得， 所以. 16. 在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，． （1）用，表示、； （2）求与的夹角． 【答案】（1）,. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可求、的表示形式； （2）利用向量的夹角公式可求与的夹角． 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ， ， ， 故，而， 故. 17. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：（每组数据用该区间的中间值作代表） （3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14；落在内比赛成绩的平均数是70.5；落在内比赛成绩的方差是4．求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差． 【答案】（1） （2）72.5 （3）落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积和为即可. （2）利用频率分布直方图中平均数计算公式即可. （3）利用分层抽样平均数和方差的计算公式即可. 【小问1详解】 由，得． 【小问2详解】 估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为 ． 【小问3详解】 由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为． 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得， 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32． 18. 如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． （1）证明：面； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； （3）在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以. 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点H，所以. 因为平面，平面，且与相交于点F， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点D，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，再证平面，从而可证平面. （2）先找出二面角的平面角，利用及线段关系可证明是等边三角形，即可求三棱锥的体积. （3）先找出满足条件的点T，且T为的中点，设线段中点为P，线段中点为Q，则是二面角的平面角，再利用已知条件计算出长度，在中，即可计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同（1），可证得平面，因为平面，所以. 由（1）的过程可知，平面，因为平面， 所以，. 所以是二面角的平面角，则. 在四边形中，，所以. 所以，解得. 因为平面，平面，所以，. 因为，所以. 所以，可得， 故，所以是等边三角形，其面积为. 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 由（1）的过程可知平面，平面，所以， 所以，，是共斜边的三个直角三角形， 当T为的中点时，， 即满足条件的T点存在，T为的中点． 设线段中点为P，线段中点为Q，连接，，， 中，，因此， 过F作，与延长线交于K，因为，所以， 又因为（中位线），所以， 因此，是二面角的平面角， 设，， 则，，，，（中位线）， 由射影定理得，，则， 由（1）可知，，由勾股定理得，， 中，，，， 在中，由余弦定理得，， 代入化简得，， 二面角的余弦值为． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，h为边上的高． （1）求证：； （2）求证：； （3）若为锐角三角形，求的取值范围； （4）设，若对给定的正实数k，当a，b，c变化时，始终是锐角三角形，试求满足条件的k的取值范围． 【答案】（1） （2） 因为为边上的高，所以，所以， 所以 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接用二倍角正余弦公式展开分子分母，约分后即可推导出半角正切公式； （2）借助三角形面积公式表示出高 h，结合正弦定理边化角，拆分后复用第一问结论完成证明； （3）设半角正切为变量，由锐角三角形限定变量范围，结合恒等变换与基本不等式求出目标式的取值区间； （4）按 k 与 1 的大小分类讨论，验证 k≠1 时均存在直角三角形反例，仅 k=1 能保证三角形始终为锐角. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 由于，则 且． 此时我们令，，则且， 所以，且当，时趋近于； 易知，且当，时趋近于2， 综上 【小问4详解】 由（3）知若为锐角三角形，则，下面分情况讨论： ①若，则，即． 此时， 而，且， 所以，． 此时，始终是锐角三角形，符合题意． ②若，此时我们取， 则， 即这种情况下可以是直角三角形，故不符合题意，舍去． ③若，此时我们取， 此时， 即这种情况下也可以是直角三角形，故不符合题意，舍去． 综上所述，满足条件的k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，向量在上的投影向量，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ） A. 14 B. 16 C. 28 D. 32 4. 在中，角的对边分别是．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（ ） A. 与平面相交 B. 平面 C. 平面 D. 平面 6. 在复平面内，已知平行四边形的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，则点B对应的复数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据，，的标准差为3，则（ ） A. ，，不可能都相等 B. ，，的标准差也为3 C. ，，的平均数有最小值 D. ，，的平均数有最小值 10. 已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 13. 当太阳光线与水平面的倾斜角为时，将一根竹竿斜插在水平地面上，竹竿露出地面的部分长为2米，则竹竿的影子最长为______米． 14. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设复数，，. （1）若是纯虚数，为实数，求； （2）若，设，求的值. 16. 在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，． （1）用，表示、； （2）求与的夹角． 17. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：（每组数据用该区间的中间值作代表） （3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14；落在内比赛成绩的平均数是70.5；落在内比赛成绩的方差是4．求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差． 18. 如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． （1）证明：面； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； （3）在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，h为边上的高． （1）求证：； （2）求证：； （3）若为锐角三角形，求的取值范围； （4）设，若对给定的正实数k，当a，b，c变化时，始终是锐角三角形，试求满足条件的k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $