精品解析：湖北省荆门市2024-2025学年高一下学期期末学业水平检测数学试题

荆门市2024—2025学年度下学期期末 高一年级学业水平检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 样本数据的上四分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 33 D. 34 4. 下列结论正确的是（ ） A. 用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B. 有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（ ） A. 直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为 B. 若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 C. 若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D. 若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若底面半径为圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为__________. 13. 已知向量满足，且，则__________. 14. 若函数在上的值域为，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小值，并求取得最小值时的取值集合： （2）将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值. 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积，求面积的最小值. 17. 为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； （2）已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 18. 我们知道：函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象关于成中心对称图形. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明： （3）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，为的中点，点在平面内的射影为点，且. （1）求证：； （2）当为等边三角形时，求点到平面的距离； （3）若记，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆门市2024—2025学年度下学期期末 高一年级学业水平检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集概念计算. 【详解】全集，集合，则. 故选：B. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则计算，进而求出，根据复数的几何意义确定复数对应的点所在象限. 【详解】， ，对应点位于第一象限. 故选：A 3. 样本数据的上四分位数为（ ） A. 30 B. 31 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】利用上四分位数的定义，计算数据即可判断． 【详解】样本数据的上四分位数为从小到大排列：， 因为，，所以上四分位数是第8个数为34. 故选：D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B. 有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据截面性质可判断A，根据棱台、棱柱、圆台的定义可判断BCD. 【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然 对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平 行的截面不可能，故A错误； 对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C：根据棱柱的定义可知：C正确； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误； 故选：C. 5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式和同角三角函数关系式求解即可. 【详解】，所以， 得，， 所以. 故选：A. 7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值． 【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的， 根据题设，得，，可得，所以，， 由，得， 两边取10为底对数，整理得， ，， 因此，至少还需过滤20小时， 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出函数的周期，进而求得，化，再利用基本不等式即可求解最小值. 【详解】由得， 即，所以的周期为， ， ， 因为，，所以，， 由基本不等式有：， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又为增函数，为减函数， 根据单调性的性质：增函数-减函数=增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 因为，所以在上为增函数， 在上为减函数，故C不符合题意； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以是奇函数，又， 令，则为增函数，又函数为增函数， 所以在R上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由求得，再根据求得判断A；由结合正弦定理求得，再利用余弦定理求解、判断B；根据，结合正弦定理判断C；利用面积公式求解判断D. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，所以，所以A正确； 因为，由正弦定理有：， 由余弦定理有：， 整理得：，解得或（舍），， 所以，所以B错误； ，由正弦定理有：，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选：AC. 11. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（ ） A. 直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为 B. 若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 C. 若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D. 若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误. 【详解】A.直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的 离散曲率为，故A错误； B.若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 ，故B正确； C.若四面体在点处的离散曲率为， 即， 则，故为正三角形，， 所以，所以四边形为正方形， 所以直四棱柱是正方体，因为平面， 平面，所以，因为，平面， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得，又平面，平面， ，则有平面，故C正确； D.若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为： ，则，如图，设， ，则，，由C可知， 因为四边形为菱形，所以，又平面， 平面，，所以平面， 所以即与平面所成角， ，， 故，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若底面半径为圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由侧面积公式和半圆面积公式可计算母线长，再计算高，即可求体积. 【详解】 设圆锥的高为，母线长为，根据侧面积公式与半圆的面积公式可得：， 因为，所以， 由勾股定理得：， 所以圆锥的体积为， 故答案为： 13. 已知向量满足，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，再对进行平方计算即可. 【详解】由题设可得，， 故，， 即，解得：， 则， 即. 故答案为：. 14. 若函数在上的值域为，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小值，并求取得最小值时的取值集合： （2）将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值. 【答案】（1）最小值为， （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助正弦函数的性质计算即可得； （2）先求出平移后的函数解析式，再利用正弦函数的对称性计算即可得. 【小问1详解】 ， 当且仅当， 即时，的最小值为： 所以函数的最小值为， 此时的取值集合为； 【小问2详解】 由题知，， 要使得的图象关于轴对称， 则，即， 则的最小值为. 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积，求面积的最小值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 中，，由正弦定理得 ， 即， 故，又，则， 即， 又，可得； 【小问2详解】 ，则， 由余弦定理得， 即，即当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为. 17. 为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； （2）已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 【答案】（1），众数为85，中位数为82 （2）81；30 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得，众数为85，分别求满意度分值在的频率和在的频率，根据题意求中位数即可. （2）由频率分布直方图计算得，分值在平均数，方差，在平均数，方差，在的平均数，根据方差的定义计算即可 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，， 解得， 由频率分布直方图可估计众数为85. 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为， 人数为20；在的频率为，人数为30， 把满意度分值在记为，其平均数，方差， 在记为，其平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数 ， 根据方差的定义，满意度分值在的方差为 . 18. 我们知道：函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象关于成中心对称图形. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明： （3）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）在上单调递减，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）奇函数的定义列出等式，求解m即可； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意得出是奇函数，且在上单调递减，根据条件计算不等式即可. 【小问1详解】 因为关于对称，所以是奇函数， 则，即， 即， 对定义域内任意实数成立. 即. 【小问2详解】 在上单调递减， 任取，且 ， 因为，则，则， 故在上单调递减. 【小问3详解】 因为关于对称，所以是奇函数，且在上单调递减， 由 所以， 所以 所以， 即对任意都成立， 由于，其中， 所以，即最小值为，所以， 即，解得. 故实数的取值范围为. 19. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，为的中点，点在平面内的射影为点，且. （1）求证：； （2）当为等边三角形时，求点到平面的距离； （3）若记，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）证明出，且，从而得到线面垂直，得到； （2）作出辅助线，得到平面，点到平面的距离即为，对于平行四边形，建立平面直角坐标系，根据，得到，即，则，求出各边长，求出点到平面的距离； （3）表达出，求出，由余弦定理可得，由正弦定理得到的外接圆半径，设三棱锥的外接球半径为，则，结合二次函数性质求出最值，求出. 【小问1详解】 因为平面平面， 则， 且平面， 所以平面， 且平面，所以 【小问2详解】 作，垂足为，连接，过点作， 若为等边三角形，则为中点， 因为平面平面，则，且， 且平面，可得平面， 又平面，则平面平面， 又平面平面，平面， 则平面， 点到平面的距离即为， 对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 设，则， 若，可得， 即， 因为为中点，可知：，则， 即，则， 可知三棱锥的高， 在中，， 故由等面积法知：， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 ， 由题意可知：，由（2）可知：点在直线上， 结合（2）中数据可得：， 在中，由余弦定理可得 ， 设的外接圆半径为，则， 设三棱锥的外接球半径为， 则 ， 且，可知当时，即时，取到最小值， 即外接球表面积取到最小值，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $