5.2.3 函数的最值教学设计-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的最值”核心知识点，通过生活实例（2025年上海九月高温日气温）和数学问题（二次函数最值例题）导入，从具体现象到数学问题，衔接函数单调性等已学内容，搭建从描述性语言到符号语言转化的学习支架。 资料特色在于以问题链驱动概念抽象，通过真假命题辨析深化定义理解（数学抽象），例题含参数分类讨论培养逻辑推理，作业分层设计兼顾基础与拓展。数形结合方法直观分析，助力学生发展数学思维，为教师提供完整教学路径与资源支持。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.2.3 函数的最值 教学目标 1. 结合生活实例和数学问题，经历描述性语言向符号语言的转化过程，发展数学抽象素养； 2. 经历从具体函数抽象出一般函数最大值、最小值定义的这一过程，理解函数最值的概念，体会从特殊到一般的数学研究方法； 3. 会在具体情境中运用函数最值的定义解决一些简单的函数最值问题以及含参数的函数最值问题，发展逻辑推理和数学运算素养. 教学重难点 教学重点： 1. 理解函数最大值、最小值的定义； 2. 用函数最值的定义解决一些简单的函数最值问题. 教学难点： 1. 由具体函数的最值抽象出一般函数的最值定义； 2. 用函数最值的定义解决含参数的函数最值问题. 教学过程 一、引入 引例1 2025年九月，是上海有正式气象观测记录以来高温日最多的一个九月，共有8个高温日，图1展示的是这8天的每日最高气温. 图1 问题1 根据图1判断，在这8天的气温数据中，第3日的气温是否最高？判断依据是什么？ 答：是，因为这8天中任意一天的气温都不高于第3日的气温37度，即表示第3日气温的点是图象的最高点之一. 同时还注意到，第4日和第8日两天的气温也同样达到37度. 引例2 在教材第2.3.1节中，我们学习过如下这样一道例题： 例3 设，求二次函数的最大值. 解 由不等式，推得. 于是，当，即时，取得最大值4. 问题2 ①由上述题目可知，，那么4是否是二次函数的最大值？ ②已知，那么对于任意，与有何大小关系？设二次函数的值域为，与有何关系？ 答：①是，因为并且. ②对任意，；，且是中的最大元素. 二、概念形成 定义 函数在定义域内的处函数值是，对于定义域内任意给定的，如果都成立，那么就叫做函数的最大值(maximum)；相反，如果都成立，那么就叫做函数的最小值(minimum). 问题3 判断下列命题的真假： ①已知函数，记，因为，所以该函数的最小值为. ②已知函数，，因为，所以该函数的最大值为4. ③函数的最大值为1. ④函数既有最大值，又有最小值. 答：①为假命题. 函数最小值的定义为：对于任意，都成立. 对于本题中的函数，如图2所示，虽然，但，与定义中的“任意”矛盾，所以不是该函数的最小值. ②为假命题. 记，，如图3所示，因为不存在，使得，即4不在该函数的值域中. 图2 图3 ③为真命题. 记，如图4所示，对于任意，都成立，且，所以该函数的最大值为1. ④为真命题. 如图5所示，任取，有，那必然有. 另外，显然恒成立以及恒成立，所以1既是该函数的最大值又是该函数的最小值. 图4 图5 小结：(1)结合引例1、引例2和此题的命题③我们可以分析出，函数的最值可以在一处取到，也可以在多处取到，可以在有限多处取到，也可以在无限多处取到. (2)由④可知，常值函数既有最大值又有最小值，且它们相等. 三、例题解析 例1 求函数，的最大值与最小值. 解：由于，且当时上述不等式中的等号可以取到，因此函数的最小值为. 如图6所示，由二次函数的单调性可知，该函数无最大值. 图6 小结：将代数式变形后，利用定义和函数的单调性研究函数的最值. 例2 求函数，的最大值与最小值. 解：如图7所示，由于函数在闭区间上是严格减函数，因此，其最大值在左端点处取到，其值为2；而最小值在右端点处取到，其值为1. 图7 小结：可以利用函数的单调性研究某些函数的最值. 例3 已知，求函数，的最大值. 解：对于函数，当时，；当时，. 因此在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数. 情形一：当时，在区间上是严格增函数，如图8所示，此时函数的最大值为1. 图8 图9 图10 情形二：当时，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，如图9和图10所示，从而此时函数的最大值为与中的较大者. 因此，当时，最大值为；当时，最大值为1. 综上所述，当时，该函数的最大值为；当时，该函数的最大值为1. 小结：借助函数图象分析函数的最值可以使要解决的问题变得更直观、形象. 四、课堂练习 教材第135页练习5.2(5)第1-3题. 课堂练习参考答案： 1. 最大值为，最小值为. 2. (1)最大值为1，最小值不存在. (2)最大值为1，最小值为. (3)最大值不存在，最小值为. (4)最大值为0，最小值为. 3. 当时，该函数的最大值为；当时，该函数的最大值为. 五、课堂小结 (1)函数最值的定义 从生活实例和数学问题两个方面，通过对具体函数的最大值、最小值概念的理解，抽象出一般函数的最大值、最小值定义，发展了数学抽象素养. (2)函数最值问题的求解 从函数最值的定义出发，借助函数图象，利用代数变形、分析函数单调性等方法解决一些简单的函数最值问题和含参数的函数最值问题，发展了逻辑推理和数学运算素养. 本节课的学习既是对最值内容的深入理解，又是对函数表示方法、函数的单调性等已学知识的回顾，也对后续解决函数应用问题进行了铺垫. 六、课后作业 [基础练习] 1. 求下列函数的最大值与最小值，并写出取最值时相应自变量的值： (1)； (2)； (3)，； (4)，. 2. 求函数，的最大值与最小值. 3. 已知和都是定义在上的函数，且在处同时取到相同的最小值. 求的最大值. 4. 设是实数，且. 求函数，的最小值. [能力拓展] (选做) 1. 已知函数是定义域为的奇函数，且有最小值. 求证：函数有最大值. 2. 判定函数，不存在最大值可以使用下面的命题： 记函数，的值域为，那么任意，总存在，使得. 该命题的可视化说明如下图：(以单调函数为例，实际未必单调) 例：函数，无最大值可以如下判定： 任意，总存在，此时，因此函数，无最大值. (1)用自己的话简单解释，为什么该命题成立，函数就不存在最大值？ (2)试说明函数，与函数，均不存在最大值. 课后作业参考答案： [基础练习] 1. (1)最小值为，当且仅当时取到，不存在最大值. (2)最大值为3，当且仅当时取到，不存在最小值. (3)最大值为1，当且仅当时取到；最小值为，当且仅当时取到. (4)最小值为5，当且仅当时取到；最小值为，当且仅当时取到. 2. 最大值与最小值分别是与. 3. 最大值是8. 4. 当时，该函数的最小值为0；当时，该函数的最小值为. [能力拓展] (选做) 1. 证：因为，的最小值为，所以对于任意，都成立，因此有都成立. 又因为，为奇函数，所以对于任意，都成立，即对于任意，都成立. 另外，存在，使得，则，即且. 综上，函数有最大值. 2. (1)因为无论找值域中的哪一个函数值，都可以找到值域中一个更大的函数值，因此函数不存在最大值. 另一方面，假设该命题成立时函数仍然存在最大值，那么令，这样就不存在使得成立，即该命题不成立，与假设矛盾. 因此该命题成立时，函数不可能有最大值. (2)解：对于函数，，任意，总存在，使得，因此，无最大值. 对于函数，，任意，总存在，，因此，无最大值. 注：这里的取值并不唯一，例如第一个函数中取也可以，关键是使得成立. 学科网（北京）股份有限公司 $