5.1.2 函数的表示方法 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的三种表示方法、图像定义及分段表示法，通过买矿泉水、测验成绩、气温变化三个情境导入，回顾初中知识并引导学生自主归纳特点，搭建新旧知识衔接支架。 以核心素养为导向，通过情境辨析生成函数图像的集合定义，发展数学抽象与逻辑推理，作图实践培养直观想象，结合生产情境引入分段表示法，渗透数形结合思想，助力学生深化理解，为教师提供素养导向的教学范例。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.1.2 函数的表示方法 教学目标 1．理解函数的三种表示方法各自的含义和特点，能在实际情境中选择恰当的方法表示函数，培养数学应用的意识； 2．通过归纳得出函数图像的定义，发展数学抽象素养, 经历描点绘制函数大致图像的过程，体会函数图像的作用，发展直观想象素养； 3．通过具体实例，体会自变量在不同范围内取值时，函数的对应关系需用不同的表达式表示的需要，会用分段表示法表示函数的对应关系，发展逻辑推理素养． 教学重难点 教学重点： 1．理解函数的三种表示方法，并能在实际情境选择恰当的方法表示函数； 2．能用集合语言定义函数图像，从数和形两个角度理解函数的图像． 教学难点： 函数图像概念的生成和理解 教学过程 （一）创设情境，引入课题 上节课我们学习了函数的概念，知道了函数是描述客观世界中变量关系及变化规律的最为基本的数学语言和工具，那么在实际应用中，如何表示函数呢？函数的表示方法有哪些呢？其实我们在初中已经学习过函数的三种表示方法，在此基础上，现在给出以下三个情境，请同学们思考并回答相关问题： 【情境1】某同学去买2元一瓶的矿泉水，需付总额 (元)和所买水的数量 (瓶)的关系是，是正整数． 【情境2】一次测验中，学号为的同学的测验成绩与学号之间的关系． 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩 80 95 75 90 90 75 90 65 【情境3】上海市某日整点气温 (℃)随整点时刻 (时)之间的关系． 问题1 以上三个情境中表示的函数关系，分别是哪一种表示方法？它们各自有怎样的特点？ 1．情境1中总额 (元)和所买水的数量 (瓶)的关系是，是正整数．这是用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫解析法，其特点是精确，但相对抽象；． 2. 情境2是通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数的对应关系，这种表示函数的方法叫列表法，其特点是直接，但通常用于定义域为有限集的情况； 3．情境3是以图像的形式表示了两个变量之间的对应关系．这种表示函数的方法叫图像法，其特点是直观． 【设计意图】通过设置三个不同的情境，回顾函数表示的解析法、列表法与图像法，所选内容学生熟悉，可由学生自主探究，归纳三种表示方法各自的特点． （二）生成概念，理解辨析 【例1】 以下图形中，哪些是函数的图像，哪些不是？ 解：（1）、（2）、（4）是，（3）不是． 【例2】判断以下哪个图形是函数的图像． （1） （2） （3） 解：（3）是． 问题2 满足怎样条件的图形，可以是一个函数的图像呢？ 1．按照对应关系，定义域中的每一个自变量的值都有唯一的一个函数值与之对应; 2．函数表达式确定的有序实数对与图形上的点是一一对应的关系． 函数图像的定义 对于函数，其定义域中每一个的值都有唯一的一个值与之对应，把这两个对应的数构成的有序实数对作为点的坐标，记作． 所有这些点组成的集合叫做函数的图像，即． 问题3 所有的函数都可以用图像表示吗？若不能，你能举出反例吗？ 不是的．如狄利克雷函数虽然其图像是客观存在的，但无法作出其大致图像． 【设计意图】例1从函数图像的角度考查函数定义中因变量和自变量的对应关系（唯一对应）．通过例2的辨析，引导学生逐步生成函数图像的定义，体会函数的图像需要满足两个特征：①图形上的任意一点的坐标都满足函数关系式；②以函数解析式所确定的有序实数对为坐标的点都在这个图形上,即函数解析式确定的有序实数对与图形上的点是一一对应的关系，从而引导学生用集合的语言写出函数图像的定义，并从形和数两个方面理解函数图像的定义． （三）例题讲解，巩固新知 初中我们通过“列表——描点——作图”的方式，可以作出函数的大致图像，现在请大家尝试作出下面函数的大致图像． 【例3】 作出函数的大致图像． 解：1．列表： 2．描点： 3．连线 小结 画函数图像的一般步骤是列表、描点和连线． 【设计意图】通过例3回顾初中函数作图像的方式，经历用列表、描点、连线的方法绘制函数大致图像的过程．虽然如例3所作的仅仅是函数的大致图像，并不是函数的真实图像，但这些大致的图像能够帮我们直观的了解函数的特征，从而更好的发现和研究函数的性质．这也是后续学习研究新函数时常用的方法．数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”说明了数形结合思想的重要性，而函数的图像，就是实现数形结合的重要载体． 【例4】 某车辆装配车间每2h装配完成一辆车．按照计划，该车间今天生产8h．用解析法和图像法分别表示从当天开始生产的时刻起所经过的时间（单位:h）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数． 解：由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，． 可以用如下形式表示与之间的函数关系： 其图像如下图所示: 如本例，在用解析式表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式，这样表示函数的方法叫分段表示法．小结 函数的“分段表示法”是一种特殊的解析法．用分段表示法表示一个函数时，其定义域是每一部分中自变量取值范围的并集． 问题4 对于实数，数学上用表示不超过的最大整数，也称为实数的整数部分．利用符号的含义，本例中的函数又如何表示呢? 注意到当时，，从而，因此本例中的函数还可以表示为． 【设计意图】例4是对函数的不同表示方法的一次对比，并引出了函数的“分段表示法”的概念，再次体现了函数不同表示方法各自的特点；此处还介绍了数学中符号的含义． （四）课堂练习 迁移应用 1．下列图形中，是函数图像的是 2．某种笔记本的单价是5元，买()个笔记本需要元．试分别用三种法表示函数． （五）课堂小结,布置作业 1．学习了函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法）及各自的特点； 2．学习了函数解析法中的分段表示法，了解了取整函数； 3．从形到数抽象出了函数图像的严格定义，并从形的角度进一步理解了函数的定义，体会了数形结合的思想方法． 作业分为基础练习、拓展与思考、探究与实践三部分，详见《作业练习》 学科网（北京）股份有限公司 $