5.2.3 函数的最值课件--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数的最值”核心知识点，课堂导入通过2025年上海九月高温日气温数据（引例1）和回顾二次函数求最值例题（引例2），搭建从具体到抽象的学习支架，连接现实情境与已有知识。 其亮点在于概念形成通过真假命题辨析（如问题3判断函数最值的正误）深化定义理解，例题解析结合函数图像与分类讨论（如例3对|x-1|在不同区间的最值分析），体现数学眼光（几何直观）、数学思维（逻辑推理）。小结梳理函数性质体系，帮助学生构建知识网络，提升抽象能力与推理意识，教师可借助结构化资源提高教学效率。

5.2.3 函数的最值 1 一、引例 引例1 2025年九月，是上海有正式气象观测记录以来高温日最多的一个九月，共有 8个高温日，图1展示的是这8天的每日最高气温. 图1 问题1 根据图1判断，在这8天的气温数据中， 第3日的气温是否最高？判断依据是什么？ 是，因为这8天中任意一天的气温都不高于第 3日的气温37度，即表示第3日气温的点是图象 的最高点之一. 同时还注意到，第4日和第8日 两天的气温也同样达到37度. 2 一、引例 引例2 在教材第2.3.1节中，我们学习过如下这样一道例题： 问题2 ①由上述题目可知， ，那么4是否是二次函数 的最大值？②已知 ，那么对于任意 ， 与 有何大小关系？设 二次函数 的值域为 ， 与 有何关系？ 3 一、引例 引例2 在教材第2.3.1节中，我们学习过如下这样一道例题： 问题2 ①由上述题目可知， ，那么4是否是二次函数 的最大值？ 是，因为 并且 . 4 一、引例 引例2 在教材第2.3.1节中，我们学习过如下这样一道例题： 问题2 ②已知 ，那么对于任意 ， 与 有何大小关系？设 二次函数 的值域为 ， 与 有何关系？ 对任意 ， ； ，且 是 中的最大元素. 5 定义 函数 在定义域内的 处的函数值是 ，对于定义域内任意给 定的 ，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最大值； 二、概念形成 相反，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最小值. 问题3 判断下列命题的真假： ①已知函数 ，记 ，因为 ，所以该函数的 最小值为 . ②已知函数 ， ，因为 ，所以该函数的最大值为4. ③函数 的最大值为1. ④函数 既有最大值，又有最小值. 6 相反，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最小值. 定义 函数 在定义域内的 处的函数值是 ，对于定义域内任意给 定的 ，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最大值； 问题3 判断下列命题的真假： ①已知函数 ，记 ，因为 ， 所以该函数的最小值为 . 假命题. 如图2，虽然 ，但 ，与定义 中的“任意”矛盾，所以 不是该函数的最小值. 图2 二、概念形成 7 定义 函数 在定义域内的 处的函数值是 ，对于定义域内任意给 定的 ，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最大值； 相反，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最小值. 问题3 判断下列命题的真假： ②已知函数 ， ，因为 ，所以该 函数的最大值为4. 假命题. 记 ， ，如图3，因为不存在 使得 ，即4不在该函数的值域中. 图3 二、概念形成 8 定义 函数 在定义域内的 处的函数值是 ，对于定义域内任意给 定的 ，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最大值； 相反，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最小值. 问题3 判断下列命题的真假： ③函数 的最大值为1. 真命题. 记 ，如图4，对于任 意 ， 都成立，且 . 图4 二、概念形成 9 定义 函数 在定义域内的 处的函数值是 ，对于定义域内任意给 定的 ，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最大值； 相反，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最小值. 图4 图2 图1 二、概念形成 10 定义 函数 在定义域内的 处的函数值是 ，对于定义域内任意给 定的 ，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最大值； 相反，如果 都成立，那么 就叫做函数 的最小值. 问题3 判断下列命题的真假： ④函数 既有最大值，又有最小值. 真命题. 如图5，任取 ，有 ， 那必然有 . 另外，显然 恒成 立以及 恒成立，所以1既是该函数的 最大值又是该函数的最小值. 图5 二、概念形成 11 三、例题解析 例1 求函数 ， 的最大值与最小值. 解：由于 ， 且当 时上述不等式中的等号可以取到， 因此函数的最小值为 . 图6 如图6，由二次函数的单调性可知，该函数无最大值. 将代数式变形后，利用定义和函数的单调性研究函数的最值. 三、例题解析 例2 求函数 ， 的最大值与最小值. 解：如图7，由于函数 在闭区间 上是严格减函 数，因此其最大值在左端点 处取到，其值为2； 图7 利用函数的单调性研究某些函数的最值. 而最小值在右端点 处取到，其值为1. 因此 在区间 上是严格增函数， 三、例题解析 例3 已知 ，求函数 ， 的最大值. 解：对于函数 ，当 时， ； 当 时， . 图8 在区间 上是严格减函数. 情形一：当 时， 在区间 上是严格增函数，如图8，此时函数的 最大值为1. 三、例题解析 图9 情形二：当 时， 在区间 上是严格减函数，在区间 上是 严格增函数，如图9和图10，从而此时函数的最大值为 和 中的较大 者. 因此，当 时，最大值为 ；当 时，最大值为1. 例3 已知 ，求函数 ， 的最大值. 解： 图10 综上所述，当 时，该函数的 最大值为 ；当 时， 该函数的最大值为1. 借助函数图象分析函数的最值可以 使要解决的问题变得更直观、形象. 四、课堂练习 教材第135页练习5.2(5). 16 五、课堂小节 函数的概念、性质及应用 函数的概念及表示方法 函数的基本性质 函数的应用 函数的奇偶性 函数的单调性 函数的最值 (1)函数最值的定义 数学抽象 (2)函数最值问题的求解 逻辑推理 数学运算 六、课后作业 [基础练习] 1. 教材第136页习题5.2(A组)第7题. 2. 教材第136页习题5.2(A组)第8题. 3. 教材第136页习题5.2(A组)第9题. 4. 教材第136页习题5.2(B组)第7题. [能力拓展](选做) 1. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且有最小值 , 求证：函数 有 最大值 . 18 六、课后作业 [能力拓展](选做) 2. 判定函数 ， 不存在最大值可以使用下面的命题： 记函数 ， 的值域为 ，那么任意 ，总存在 ，使得 . 该命题的可视化说明如下图： (以单调函数为例，实际 未必单调) 例：函数 ， 无最大值可以如下判定：任意 ，总存在 ，此时 ， 因此函数 ， 无最大值. (1)用自己的话简单解释，为什么该命题成立，函数就不 存在最大值？ (2)试说明函数 ， 与函数 ， 均不存在最大值. 19 $