5.2.3 函数的最值（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦函数最值的概念及求法，通过生活中“小明短跑用时最少”和数学中“x+1/x最小值”问题导入，衔接函数单调性等前序知识，为后续函数应用搭建学习支架，形成完整知识脉络。 其亮点在于以问题驱动教学，情景引入培养数学眼光，新知探究中“判一判”提升数学思维的推理意识，典例分析结合图像、单调性等方法强化数学语言表达。小结整合定义、方法与核心素养，学生能提升抽象能力与解题技能，教师可直接使用典型案例高效备课。

5.2.3 函数的最值 第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解函数最值的概念. 会求简单函数的最值. 情景引入 1.生活中的最值问题 如何判断小明“用时最少”呢？ 问题1 小明同学在100米短跑测试中是全班跑得最快的同学之一，如何判断这个结果？ 小明同学在100米短跑测试中用时最少 全班同学的“用时”≥小明同学的用时（最少用时） 情景引入 2.数学中的最值问题 问题2 当x>0时，x+的最小值是多少？何时取到最小值？ 解 x>0，由平均值不等式，得x+=2, 所以x+的最小值是2，且最小值只有当x=1时取到. 情景引入 2.数学中的最值问题 问题2 当x>0时，x+的最小值是多少？何时取到最小值？ 为什么可以说最小值是2呢？ x>0时，x+≥2>1,可以说最小值是1吗？为什么？ 1不是代数式的值，所以，最小值不是1 新知探究 函数的最值 问题3 “对于定义在D上的函数y=f(x)，M是函数y=f(x)的最小值”，如何用符号语言描述呢？ M=f(x0) (x0∈D）)且任取x∈D，f(x) ≥M. 定义 函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0) ，对于定义域内任意给定的x，如果 f(x)≥f(x0) 都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最小值（minimum） 新知探究 函数的最值 定义 函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0) ，对于定义域内任意给定的x，如果 f(x)≥f(x0) 都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最小值（minimum） 定义中的“任意”改成“存在”可以吗？ f(x0) 是函数值域的所有元素中最小的一个值 所有 不能 新知探究 函数最值 问题4 类比函数最小值的定义，函数最大值如何定义？ 定义 函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0) ，对于定义域内任意给定的x，如果 f(x)≤f(x0) 都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最大值（maxium） f(x0) 是函数值域的所有元素中最大的一个值 新知探究 【判一判】判断下列说法是否正确，请说明理由， （1）定义在R上的函数y=f(x)，恒有f(x)≤2，则此函数的最大值是2. （2）函数y=f(x)的值域是{-1}∪[2,+∞)，则此函数的最小值是-1. （3）设函数y=f(x)的定义域是D，若存在x0∈D，使得任意x∈D，且x≠x0，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数y=f(x)的最大值. “2”不是函数值，比如：函数y=1. “-1”是值域中的一个元素，且是最小的值 √ √ 典例分析 例1 求下列函数的最大值或最小值： (1)y=2x²-3x+1,x∈R; (2)y=2x²-3x+1,x∈[-2,2]. 解(1)由于y=2x²-3x+1=2≥-,且当x=时上述不等式中的等号可以取到，因此该函数的最小值为-. 由二次函数的单调性可知，该函数无最大值. 典例分析 例1 求下列函数的最大值或最小值： (2)y=2x²-3x+1,x∈[-2,2]. 解(2)由(1)中的推导，y=2x²-3x+1=2≥，因∈[-2,2],故该函数的最小值仍为. 此外，当x∈[,2]时，≤;而 当x∈[-2,]时，.这样就有y≤2=15; 而当x=-2时，上述不等式中的等号可以取到. 这说明该函数的最大值为15. 典例分析 对于定义在闭区间[a,b]上的单调函数y=f(x),它的最大值和最小值一定能在区间的端点a和b处取到.因此，对于具有单调性的函数，可以借助其单调性来求得其最值. 典例分析 例2 求函数y= x∈[1,2]的最大值与最小值. 解 函数y=在区间[1,2]上是严格减函数，因此其最大值在左端点x=1处取到，其值为2,而最小值在右端点x=2处取到，其值为1. 典例分析 例3 已知a<2,求函数y=|x-1|,x∈[a,2]的最大值. 解：对于函数y=|x-1|,当x≥1时，y=x-1;而当x≤1时，y=-x+1. 因此y=|x-1|在区间(1,+∞)上是严格增函数，在区间[一∞,1]上是严格减函数. 情形一：当1≤a<2时，y=|x-1|在区间[a,2]上是严格增函数，此时函数的最大值为1. 情形二：当a<1时，y=|x-1|在区间[a,1]上是严格减函数，而在区间[1,2]上是严格增函数.从而此时函数的最大值为|2-1|与|a-1|中的较大者.因此，当a<0时，该函数的最大值为|a-1|=1-a;而当0≤a<1时，该函数的最大值为1. 综上所述，当a<0时，该函数的最大值为1-a; 当0≤a<2时，该函数的最大值为1. 典例分析 利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 求函数最值 题型一 题型探究 1.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值. 作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]. 所以函数的最大值为3，最小值为－3. 求函数最值 题型一 题型探究 分类讨论求二次函数的最值 2.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a). 解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. (1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. 求函数最值 题型一 题型探究 2.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a). (3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1. (4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 题型探究 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素. (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养. 利用函数最值求参数 题型二 题型探究 3.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A.[1，＋∞) B.[0,2] C.(－∞，2] D.[1,2] √ 解析　f(x)＝(x－1)2＋2， ∵f(x)min＝2，f(x)max＝3， 且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3， ∴1≤m≤2. 利用函数最值求参数 题型二 题型探究 4.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝_____，b＝_____. －2 0 解析　y＝－(x－3)2＋18， ∵a<b<3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增， 即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7， 得a＝－2. 应用 题型三 题型探究 5.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{x＋2，10－x} (x≥0)，则f(x)的最大值为_____. 6 解析　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象. 根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分. 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6). 所以f(x)的最大值为6. 课堂小结 逻辑推理 逻辑推理 数学抽象 直观想象 数学建模 函数的最值 函数的最大（小）值与函数图像最高（低）点的纵坐标相对应 图像语言 符号语言 描述性语言 数学抽象 函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0) ，对于定义域内任意给定的x，如果 f(x)≥f(x0) 都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最小值（minimum） 如果 f(x)≤f(x0) 都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最大值（maxium） 图像、配方、单调性 函数值域中最小或最大与元素的值 感谢聆听! 解　y＝|x＋1|－|x－2|＝ 综上，M(a)＝ m(a)＝ 所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标， $