第一章 勾股定理 问题解决策略：反思 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理在立体图形最短路程中的应用，从圆柱蚂蚁爬行问题导入，衔接平面最短路径知识，通过立体展开为平面、构造直角三角形的学习支架，引导学生掌握转化方法。 其亮点在于采用结构化问题解决策略，结合圆柱、台阶、正方体等实例，培养几何直观、推理意识与模型观念。通过实例探究和步骤总结，帮助学生发展空间观念和应用能力，教师可利用清晰流程和多样化例题提升教学效果。

北师版八年级上册 问题解决策略：反思 第一章 勾股定理 新知探索 如图所示，一个圆柱的高为 12 cm，底面圆的周长为 18 cm。在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ B A 理解问题 （1）在这个问题中，已知条件有哪些？ 你认为已知条件足够解决这个问题吗？ 已知圆柱高 12 cm、底面圆周长 18 cm及 A、B 点位置。条件够，可确定展开图长和宽求最短路程。 圆柱中的最短路径 （2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 B A B A B A 路线有无数条 圆柱中的最短路径 拟定计划 （1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ B A 以前研究平面最短路线，依据 “两点之间线段最短”。而本题是在研究圆柱曲面。 （2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？ 需将圆柱曲面展开成平面求解。 圆柱中的最短路径 B A 实施计划 （1）如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱 的对应关系。 （2）在图中标出点 B 的位置。 （3）在图中确定 A，B 两点之间最短的路线，并计算它的长度。 A B 18 12 9 15 圆柱中的最短路径 立体图形上的最短路程 （1）先将立体图形的表面展开；（立体→平面） （2）再作两点之间的连线；（构造直角三角形） （3）运用勾股定理求出两点之间的距离。 立体图形 平面图形 直角三角形模型 展开 勾股定理 总结（立体图形上的最短路程） 1. 圆柱 2. 棱柱（以长方体为例） 总结（立体图形上的最短路程） 综合提升 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 9，3 和 1，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁， 想到 B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶表面爬行的 最短路程是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 15 A B 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 = 12 9 D 3. 台阶问题 总结（立体图形上的最短路程） 问题解决策略 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 　　1． 如图，一个圆柱体的高为20 cm，底面周长为30 cm.一只蚂蚁在 点A处，它要吃到点B处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 ⁠cm. 25 课堂练习 　　2． 如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短 距离为 ⁠． 13 m 　　3． 如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ ＝2，一只蚂蚁从点P出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短 路程是（　C　） A． 6 B． 8 C． 10 D． 12 C 　　4． 如图，有一圆柱形物体高9 cm，底面圆的周长为48 cm，在外 侧距下底1 cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的上端内侧距上底2 cm的 点F处有一苍蝇，求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长． 　　解：根据题意，如图，将圆柱形物体的侧面展开，线段SF是蜘蛛 由S到F的最短路程． 　　所以FA＝9－1＋ 　　2＝10(cm)， 　　SA＝ ×48＝24(cm)． 　　所以SF2＝FA2＋SA2＝102＋242＝676. 　　所以SF＝26 cm. 　　答：蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长为26 cm. 　　5． 我国古代有这样一道数学题：“枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题 目大意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱 的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周后其末 端恰好到达点B处，问题中葛藤的最短长度是 ⁠尺． 25 　　6． 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂 蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 　　解：不同表面的最短线路展开后如图所示，有两种情况． 　　如图1，AB2＝122＋(8＋8)2＝400. 　　如图2，AB2＝82＋(12＋8)2＝464. 　　因为464＞400，所以AB的最小值为20. 　　所以蚂蚁要爬行的最短路程是20 cm. $