第一章 勾股定理【章末复习】-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理勾股定理及逆定理知识，通过知识架构图呈现直角三角形下勾股定理（验证、求边）与逆定理（判定、勾股数）的逻辑脉络，结合对比表格明确两者区别联系，借助面积法推导过程建立知识内在关联。 其亮点在于分层设计"学以致用"题型，从基础的已知两边求第三边到综合的最短路线、折叠方程思想问题，融入转化与方程思想，培养学生推理意识与空间观念，助力学生巩固知识，教师可精准开展针对性复习教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 章末复习 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册 第一章 勾股定理 全章复习练习题 一、全章核心知识点（必考背诵） 1.1 探索勾股定理 1. 勾股定理（直角三角形专属） 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 设直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$，公式：$$a^2+b^2=c^2$$。 关键前提：必须是直角三角形！斜边是最长的边，对应直角对边。 2. 公式变形（高频计算） $$a^2=c^2-b^2$$，$$b^2=c^2-a^2$$ 3. 常见勾股数（直接背诵，提速做题） 基础组：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17 性质：勾股数的正整数倍仍然是勾股数（如6、8、10是3、4、5的2倍）。 1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理逆定理） 1. 逆定理（判定直角三角形） 在三角形中，若$$a^2+b^2=c^2$$三边长满足 ，则这个三角形是直角三角形，且$$c$$边所对的角为直角。 2. 勾股数定义：满足勾股定理的三个正整数，叫做一组勾股数。 注意：小数、分数满足公式，不能叫勾股数，但可以判定直角三角形。 1.3 勾股定理的应用 1. 常见必考模型 ① 折叠问题：利用折叠前后边长相等，构造直角三角形列方程； ② 最短路径问题：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短，用勾股定理求长度； ③ 航海、梯子、台风、测距问题：抽象出直角三角形求解。 2. 解题核心思想：无直角→构造直角三角形，有边长未知→设未知数，利用勾股定理列方程求解。 全章高频易错点汇总 1. 乱用定理：非直角三角形，不能用勾股定理； 2. 分不清斜边：计算时必须保证最长边为c，逆定理判定必须验证短边平方和=长边平方； 3. 忽略分类讨论：已知直角三角形两边长，求第三边，要分“两边都是直角边”“一边直角边、一边斜边”两种情况； 4. 勾股数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数。 --- 二、全章基础过关练习（100分） （一）填空题（每空3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，直角边为a、b，斜边为c，则三边关系是________。 2. 直角三角形中，________是最长的边。 3. 边长为6、8、10的三角形________（是/不是）直角三角形。 4. 已知Rt△两边长为3、4，则第三边长为________。 5. 勾股数5、12、________。 6. 若三角形三边长满足$$a^2+b^2=c^2$$，则该三角形是________三角形。 7. 勾股定理适用于________三角形，逆定理用于________直角三角形。 8. 立体图形最短路径问题，需要将立体图形________为平面图形求解。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 5、12、13 D. 4、5、6 2. 直角三角形两直角边为5、12，则斜边为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. 三角形三边长为3、4、6，该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 已知直角三角形斜边为10，一条直角边为6，另一条直角边为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 4 5. 下列说法正确的是（ ） A. 任意三角形都满足勾股定理 B. 勾股数可以是小数 C. 勾股逆定理可判定直角三角形 D. 直角三角形斜边最短 （三）基础计算题（每题8分，共24分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，求斜边c的长。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，a=7，求直角边b的长。 3. 判断三边长为9、12、15的三角形是否为直角三角形。 （四）分类讨论题（12分） 已知直角三角形的两边长为6、8，求第三边的长度。 （五）简单应用题（14分） 一架梯子长25米，斜靠在墙上，梯子底端离墙7米，求梯子顶端距离地面的高度。 --- 三、全章参考答案与解析 （一）填空题 1. $$a^2+b^2=c^2$$ 2. 斜边 3. 是 4. 5或$$\sqrt{7}$$ 5. 13 6. 直角 7. 直角、判定 8. 展开 （二）选择题 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 解析3：$$3^2+4^2=25，6^2=36$$，25<36，长边平方更大，为钝角三角形。 （三）基础计算题 1. 解：由勾股定理得：$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$ 答：斜边c长为15。 2. 解：由勾股定理变形得：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$ 答：直角边b长为24。 3. 解：最短两边平方和：$$9^2+12^2=81+144=225$$ 最长边平方：$$15^2=225$$ 满足$$a^2+b^2=c^2$$，∴该三角形是直角三角形。 （四）分类讨论题 解：分两种情况： ① 6、8均为直角边：第三边（斜边）$$=\sqrt{6^2+8^2}=10$$； ② 8为斜边，6为直角边：第三边$$=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$$。 综上：第三边长为$$2\sqrt{7}$$10或。 （五）简单应用题 解：由题意得：梯子长为斜边$$c=25$$米，底端距墙直角边$$a=7$$米。 设顶端高度为$$b$$，由勾股定理： $$b=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$（米） 答：梯子顶端距离地面高度为24米。 02 知识架构 勾股定理 勾股定理 的逆定理 直角三角形 验证方法 已知两边求第三边 判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直 03 知识梳理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 勾股定理的应用条件 03 知识梳理 勾股定理逆定理与勾股数 勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 03 知识梳理 勾股定理与勾股逆定理的比较 勾股定理 逆定理 区别 以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有a2+b2=c2关系式成立. 一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2为条件,得出这个三角形是直角三角形的结论. 联系 都与三角形三边有关都与直角三角形有关 04 问题导学 验证勾股定理 04 问题导学 验证勾股定理 05 学以致用 题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。 1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 。2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 。 25 7或25 05 学以致用 题型二 勾股定理的逆应用 1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，52、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD． A 证明： ∴AD⊥BD. 05 学以致用 题型三 最短路线问题 如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 05 学以致用 题型四 主要数学思想-------方程思想 如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解：由折叠可知AD=AF=10cm 在Rt△ABF中∴BF=6,FC=4 设CE为Xcm，DE=EF=8-x 在Rt△EFC 中 求出X=3 答：CE长3cm. 05 学以致用 题型五 勾股定理与面积 直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为? 解：由于△ABC ≌△CDF(利用一线三直角学生自己证明为何全等） ∴AB=CD b =CF =CD +DF =5+11=16 ∴b的面积是16. 考点1 勾股定理 （第1题） 1. 如图，在四边形 中， ， ， ，，则 的长为( ) B A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 返回 中考考法 13 （第2题） 2. 如图，在长方形 中， ， ，将此长 方形折叠，使点与点 重合，折 痕为，则 的长度为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 14 3. ［2025烟台期中］有一个边长为1的正方形，经过一次“生 长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中三 个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后， 如图②.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计 算“生长”了10次后的图形中所有正方形的面积之和为( ) A ① ② A. 11 B. 55 C. 66 D. 返回 中考考法 15 考点2 直角三角形的判定 4. 下列由三条线段，，构成的三角形 中： ；，， ； ；， ， 为大于1的整数 ，其中是直角三角形的是( ) B A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 返回 中考考法 16 5. 如图，在 的网格中，每个小正方 形的边长均为1，点，， 都在格点上， 则下列结论错误的是( ) C A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线 的距离是2 返回 中考考法 17 6.如图，在四边形中， ， ，，， . （1）连接，求 的长； 【解】因为在中， ， ，，所以 ，所以 . 中考考法 18 （2）求 的面积. 因为，， ， 所以 ， 所以是直角三角形，且 ， 所以 的面积为 . 返回 中考考法 19 考点3 勾股数 7. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如 的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满 足该方程的正整数的解称为勾股数.如 就是一组 勾股数. （1）请你再写出两组勾股数：________，_______________ _________； （答案不唯一） 中考考法 20 （2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图 曾指出：如果表示大于1的整数，， ， ，那么以，， 为三边长的三角形为直角三角形， 即 为勾股数.请你加以说明. 【解】因为，所以 为勾股数. 返回 中考考法 21 考点4 勾股定理的应用 8.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为 的楼顶上.师傅在楼底水平面上距离楼房 9米的处拉紧绳子（绳长 ），并标记， 然后沿方向向前走7米到 处，拉紧绳 子（绳长），量得绳长比绳长 长5米，求楼的高度 . 中考考法 22 【解】设米，则 米. 在 中， ，在 中， 解得.所以. 所以楼的高度 为12米. ，所以 ， 返回 中考考法 23 思想1 转化思想 （第9题） 9.如图，这是一个台阶的示意图，每 一层台阶的高是、长是 、 宽是，一只蚂蚁沿台阶从点 出 发爬到点 ，其爬行的最短线路的长 度是_____ . 130 返回 中考考法 24 思想2 方程思想 （第10题） 10.［2025泰州期中］如图，已知三角形 纸片， ， ， ，沿过点 的直线将纸片折叠，使 点落在边上的点 处；再折叠纸片， 使点与点重合，折痕与的交点为 ， 则 的长是___. 中考考法 25 （第10题） 【点拨】由折叠的性质可得 ， ，， .因为 ，所以 ，所以 ，所以 .设 ，则.在 中，由 勾股定理得，即 ，解得 ，所以 . 返回 中考考法 26 05 课堂小结 勾股定理 定义 （1）求第三边 （2）判断三角形是否是直角三角形 （3）线路最短问题 （4）方程思想 （5）勾股定理与面积 运用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形的三边长满足两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形. $