4.2.2 指数函数的性质课件--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图像特征与性质，通过复习指数函数定义及幂函数“从特殊到一般”的研究方法导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生迁移探究思路。 其亮点在于以问题驱动探究，观察具体函数图像培养直观想象，通过代数证明（如单调性、反证法）发展逻辑推理，结合细菌繁殖实例渗透数学建模。采用归纳法与分层例题，小结整合知识体系，助力学生深化理解，方便教师高效教学。

4.2.2指数函数的性质 1 指数函数 4.2 指数函数的性质 2 2 复习旧知 温故求新 （1）指数函数的定义： （2）在幂函数的学习中，我们如何研究幂函数的图像和性质？ 从特殊到一般，利用具体的幂函数图像，归纳幂函数的图像特征，并在图像表示的基础上，用代数运算的方法研究幂函数的性质. 3 探究性质 理解辨析 4 探究性质 理解辨析 5 探究性质 理解辨析 6 探究性质 理解辨析 7 探究性质 理解辨析 8 探究性质 理解辨析 9 探究性质 理解辨析 正确 反证法证明 10 探究性质 理解辨析 11 探究性质 理解辨析 12 探究性质 理解辨析 13 探究性质 理解辨析 14 探究性质 理解辨析 15 16 探究性质 理解辨析 17 探究性质 理解辨析 18 例题讲解 巩固新知 19 例题讲解 巩固新知 20 例题讲解 巩固新知 21 例题讲解 巩固新知 22 例题讲解 巩固新知 23 例题讲解 巩固新知 24 25 课堂练习 迁移应用 教材P95-96 练习4.2（2）（3） 26 课堂小结 幂函数、指数函数与对数函数 幂函数 指数函数 对数函数 幂函数的定义与图像 幂函数的性质 指数函数的定义与图像 指数函数的性质 对数函数的定义与图像 对数函数的性质 具体的指数函数的图像 从特殊到一般 指数函数的图像特征 指数函数的性质 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学建模 27 当底数固定，且，时，等式，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的指数函数. 【问题1】观察指数函数 和 以及 和 的图像，它们具有哪些共同特征？ （2）当 时， . 指数函数 图像特征 函数性质 （1）图像都在 轴上方，无限趋近于 轴，但永不相交. （1）定义域为R，函数值恒正. （2）过点 . 【问题2】指数函数 和 的图像， 由左至右是如何变化的？ 图像特征 函数性质 指数函数 （3）由左至右图像上升. 如何证明？ 对于指数函数 ，若 ，则 . 证明：当 时，若 ，则 . 由幂的基本不等式， 有 ，即 . 由 ，因此 . 此时，称指数函数 （ ）在R上是严格增函数. 【问题3】 指数函数 图像特征 函数性质 （3）由左至右图像上升. （3）在R上是严格增函数. 因此，假设不成立，即 . 【思考】对于指数函数 ，若 ，则 是否正确？ 证明：假设 ， ① 当 时，由 ，得 ，与题设矛盾； ② 当 时，因为指数函数 在R上是严格 增函数，所以 ，与题设矛盾. 图像特征 函数性质 （3）由左至右图像下降. 指数函数 （3）在R上是严格减函数. 图像特征 函数性质 （3）由左至右图像下降. 指数函数 指数函数的单调性： 当 时，指数函数 在R上是严格增函数； 当 时，指数函数 在R上是严格减函数. 当 时，其函数值大于1； 当 时，其函数值小于1且大于0. 幂的基本不等式：当 时， ； 当 时， ， 则 ，即 . 指数函数 当 时，其图像位于直线 的上方； 当 时，其图像在直线 的下方，且在 轴的上方. 当 时，其函数值小于1且大于0； 当 时，其函数值大于1. 指数函数 当 时，其图像在直线 的下方，且在 轴的上方； 当 时，其图像位于直线 的上方. 【思考】指数函数 和 的图像之间有什么关系？ 【问题4】指数函数 和 ( 且 )的图像之间有什么关系？ 由特殊到一般，指数函数 和 的图像关于 轴对称. 由指数幂的运算性质 ，容易看到，若 为指数函数 图像上的一点，那么 为指数函数 图像上的点，反之亦然. 由于 以及 两点关于 轴对称，因此指数函数 及 的图像关于 轴对称. 例1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ( 且 ). 解（1）由于底数 大于 的指数函数 在R上是严格增函数，因此 . 例1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ( 且 ). 解（2）由于 ，且底数 小于 的指数函数 在R上是严格减函数，因此 . 例1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ( 且 ). 解（3）当 时，指数函数 在R上是严格减函数，故 ； 当 时，指数函数 在R上是严格增函数，故 . 例2. 求下列关于 的不等式的解集： （1） ； （2） （ ）. 解（1）将 写成 ，因为指数函数 在R上是严格增函数，所以 ，故原不等式解集为 . 例2. 求下列关于 的不等式的解集： （1） ； （2） （ ）. 解（2）当 时，指数函数 在R上是严格减函数， 因此有 ，整理得 ，解得 ， 故原不等式解集为 . 所以； 例3 统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为.试建立该物种的种群数量增长模型，并预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的多少倍.(结果精确到个位) 分析：设经过1年后，该种群数量为，它由两部分组成，一部分是现有种群数量为，另 一个部分是增加的种群数量， 所以； 同样地，经过2年后，该种群数量为，它由两部分组成，一部分是1年后的种群 数量为，另一个部分是增加的种群数量， 解：设经过1年后，该种群数量为； 经过2年后，该种群数量为 ； …… 以此类推，经过（为正整数）年后，该种群数量为. 当时，该种群数量为． 因此，若不加控制，该种群的数量在30年之后约为现在的237倍，从而可能极大地 破坏当地生态系统的稳定，这说明指数函数可以用于预测种群数量，便于及早进行干预. 在实际问题中，经常会遇到类似于例3的“指数增长”模型：设原有量为，每次的 增长率为，经过次增长，该量增长到，则，（为正整数）． $