2.1.3 不等式的性质课件--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦“不等式的性质”，通过复习旧知引入课题，从实际问题（如沪嘉高速限速、三角形边关系）和初中不等式概念出发，搭建新旧知识桥梁，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以类比等式性质猜想不等式性质，培养推理意识，通过作差比较法严谨证明性质，发展逻辑思维，结合酒精浓度等实例体现应用意识。课堂小结梳理知识体系，助力学生构建认知框架，教师可借此提升教学效率。

2.1.3不等式的性质 1 [问题1]你能用不等式表示下列问题中的不等关系吗？ 复习旧知 引入课题 2 [问题2]初中学习过哪些不等式的相关概念？ 复习旧知 引入课题 3 1.不等号： 用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式 . 2.不等式： 复习旧知 引入课题 4 [问题3] 如何确定两个实数的大小？ 探究性质 猜想论证 5 判断两个实数大小的充要条件： 作差比较法. 探究性质 猜想论证 6 探究性质 猜想论证 7 传递性 加法性质 乘法性质 [问题4] 等式有哪些性质？ 探究性质 猜想论证 8 传递性 加法性质 乘法性质 [问题5] 类比等式的性质，你能猜想不等式类似的性质吗？ 探究性质 猜想论证 9 传递性 加法性质 乘法性质 [问题5] 类比等式的性质，你能猜想不等式类似的性质吗？ 探究性质 猜想论证 10 探究性质 猜想论证 11 探究性质 猜想论证 12 在不等式的两边加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变. 探究性质 猜想论证 13 探究性质 猜想论证 14 探究性质 猜想论证 15 探究性质 猜想论证 16 例题讲解 应用巩固 17 例题讲解 应用巩固 18 将不等式中的任意一项改变符号后，可以从不等式的一边移到不等式的另一边. 例题讲解 应用巩固 19 例题讲解 应用巩固 20 例题讲解 应用巩固 不等式的 同向可加性 21 例题讲解 应用巩固 22 例题讲解 应用巩固 23 例题讲解 应用巩固 24 例题讲解 应用巩固 25 当这两个数都为正数或者都为负数时， [问题7] 较大的数的倒数是否一定比较小的数的倒数小？ 较大的数的倒数一定比较小的数的倒数小； 当这两个数一正一负时，不成立. 例题讲解 应用巩固 不一定. 26 例题讲解 应用巩固 [问题7] 较大的数的倒数是否一定比较小的数的倒数小？ 不一定. 27 例题讲解 应用巩固 28 例题讲解 应用巩固 29 例题讲解 应用巩固 30 课堂练习 迁移应用 31 课堂练习 迁移应用 32 判断两个实数大小的充要条件 不等式的 基本性质 不等式性质的应用 课堂小结 厘清思路 作差比较法. 传递性 加法性质 乘法性质 同向可加性等常用性质 33 课后作业 分层提高 34 不等式是探索数学中变化与恒定关系的钥匙，愿严谨的逻辑成为我们思考的坚实基石，引领我们走向更广阔的数学世界. 结束语 35 （3）在25℃的室温下，中性溶液的 ，酸性溶液的 . 中国第一条高速公路——沪嘉高速，目前限速为 ； 三角形 的两边之和大于第三边； 在25℃的室温下，中性溶液的 值等于 ，酸性溶液的 值小于 . 答 （1）设车辆通过沪嘉高速时的速度为 ， ； （2） ； 其中符号 （读作 大于等于 ）表示 或 ； 符号 （读作 小于等于 ）表示 或 . 对于任何两个给定的实数 、 ，或者 ，或者 ，或者 ， 三者中有且只有一种情况成立. 大于号 ，小于号 ，大于等于号 ，小于等于号 都称为不等号． 如果 是零，就称 等于 ，记为 . 定义 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 对于两个实数 和 ， 于是 ，即 . 对于任意给定的两个实数 、 ， . 证明：因为 ，所以 . 由于 乘以一个正数是一个负数， 于是 ，即 . 因为 ，所以 .由于 乘以一个负数是一个正数， 设 、 、 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 如果 ，那么 . 如果 ，那么 . 如果 ，且 ，那么 . 如果 ，且 ，那么 . 如果 ，那么 . 不等式的性质（ 、 、 ） 如果 ，那么 . 当 ， ， 时， 满足 ，但不满足 . 等式的性质（ 、 、 ） 如果 ，那么 . 如果 ，那么 . 如果 ，且 ，那么 . 如果 ，且 ，那么 . 如果 ，那么 . 如果 ，且 ，那么 ； 如果 ，且 ，那么 . 不等式的性质（ 、 、 ） 等式的性质（ 、 、 ） 如果 ，那么 . 如果 ，那么 . 如果 ，且 ，那么 . 同理，由 ，有 . 证明 因为 ，所以 . 因为两个正数的和是正数， 于是 ，即 . 传递性：设 、 、 均为实数，如果 ，且 ，那么 . 传递性：设 、 、 均为实数，如果 ，且 ，那么 . 加法性质：设 、 、 均为实数，如果 ，那么 . 证明 因为 ， 又因为 ，所以 于是 ，即 . 加法性质：设 、 、 均为实数，如果 ，那么 . 当 时， 乘法性质：设 、 、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ； 如果 ，且 ，那么 . 所以 ； 所以 . ， ， 证明 因为 ，且 ，即 . 当 时， 乘法性质：设 、 、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ； 如果 ，且 ，那么 . 例1 证明：如果 ，那么 ；反之亦然. 要想证 ，只需证 因为 分析： 反过来，要想证 ，只需证 因为 所以 . 例1 证明：如果 ，那么 ；反之亦然. 所以 . 于是 ， 方法一： 证明 因为 ，所以 ， 反过来，因为 ，所以 ， 于是 ， 在不等式两边同加 ，即得 . 在不等式两边同加 ，即得 . 方法二： 证明 因为 ，利用不等式的加法性质， 反过来，若 ，仍利用不等式的加法性质， 例1 证明：如果 ，那么 ；反之亦然. 例2 已知 ， ，求证： . 因为 分析： 要想证 ，只需证 证明 因为 ， ，所以 ， . 于是 ， 所以 . 例2 已知 ， ，求证： . [问题6]当 ， 时，它们的差是否存在类似的不等关系呢？ [猜想1] 如果 ， ，那么 . 不正确. [猜想2] 如果 ， ，那么 . 例如 ， ，但是 . 因为 . 分析： 要想证 ，只需证 猜想2：如果 ， ，那么 . 方法一： 证明 因为 ， ，所以 ， . 于是 ， 即 . 例3 已知 ， ，求证： . 例3 已知 ， ，求证： . 方法二： 证明 因为 ，所以 ，又因为 ， 由不等式的同向可加性可得， . 例2 已知 ， ， 求证： . 例2 已知 EMBED Equation.DSMT4 求证： . 思考：你能写出“若 ，则 ”的一个充要条件吗？ （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， . 因为 例4 已知 ，求证： . 分析： 要想证 ，只需证 例4 已知 ，求证： . 证明 方法一：因为 ，所以 ， ， . 方法二：因为 ，所以 .由不等式的乘法性质， 于是 ，所以 . 在不等式 的两边同时乘 ，得 ，即 . 例5 已知 ， ，求证： . 证明 因为 ，利用例4的结论，有 . 从而由不等式的传递性得到 . 又因为 ，由不等式的乘法性质，有 及 ， 例4 已知 求证： 1. 设 、 、 、 为实数，判断下列命题的真假，并说明理由. （1）如果 ， ，那么 ； （2）如果 ，那么 ； （3）如果 且 ，那么 ； （4）如果 ， ，那么 ； 2.设 ，求证： 是 的充要条件． 其酒精浓度为 .为增加酒精浓度，在原溶液中加入 事实，请提炼出关于不等式的命题，并加以证明. [基础练习] 教材P 34页习题2.1A组7 (3) (4) (5)，9，10，13，14. [能力拓展]（选做） 1.已知 ， ，求证： . 2.原有酒精溶液 (单位: g )，其中含有酒精 (单位: g )， 酒精 (单位: g )，新溶液的浓度变为 .根据这一 $