2.3.2 三角不等式课件--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件围绕三角不等式展开，通过沪苏湖高铁情境导入，结合温故知新环节复习有理数加法法则，以问题“当？时，|a + b| = |a| + |b|”搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，通过数学软件探究几何意义、分类讨论与平方作差法证明（数学思维），结合数轴距离解释（数学眼光）与地图距离问题（数学语言），培养学生逻辑推理与应用能力，教师可借助系统流程提升教学效率。

三角不等式 1 联调联试 沪苏湖高铁 1 创设情境 3 大大缩短通行距离，促进经济发展 1 创设情境 4 温故知新 5 探究1:根据实数绝对值的几何意义，使用数学软件，探究与 之间的关系. 2 探究新知 6 2 探究新知 探究1:根据实数绝对值的几何意义，使用数学软件，探究与 之间的关系. 7 2 探究新知 探究1:根据实数绝对值的几何意义，使用数学软件，探究与 之间的关系. 8 探究2: 对于任意给定的实数,你能从代数角度证明吗？ 2 探究新知 9 方法1: 因为 等价于, 且等号当且仅当时成立. 2 探究新知 即, 也即， 所以 ， 10 方法2： 分类讨论 当中至少一个为零时，显然= 当时，= 当时，= 当时，不妨设, 则= 或 综上所述， 且等号当且仅当时成立. 2 探究新知 11 探究2: 对于任意给定的实数,你能从代数角度证明吗？ 方法1. 方法2. 2 探究新知 因 果 绝对值 不等式 三角 两个实数和的绝对值 小于等于它们绝对值的和. 三角不等式 定理： 对于任意给定的实数,有 , 且等号当且仅当时成立. 13 三角不等式 剖析定理 一个数的绝对值 两个数的绝对值 “和的绝对值”小于等于“绝对值的和” 分析: = 例题1.已知为实数,求证: . 3 例题讲解 15 证明: 因为由三角不等式， 有 即 所以. 例题1.已知为实数,求证: . 3 例题讲解 等式 不等式 16 3 例题讲解 探究3： 类比三角不等式，两个实数差的绝对值与它们绝对值的差有什么关系？ 3 例题讲解 例题2. 已知为实数,求证:, 并指出等号成立的条件. 证明： 等价于 由三角不等式，有  所以， 且等号当且仅当 即时成立. 探究4:用 替代三角不等式中的𝑎，用 替代𝑏,尝试用一些代数式替换 和 ，,会得到怎样的不等式？  深度探究 结论 如： 深度探究 得到， 得到， 所以 如： 所以 20 如： 深度探究 得到 还可以进一步推广吗？ 所以 21 例题3.证明:对所有实数恒成立,并求等号成立时的取值范围. 方法一： 证明:因为,由三角不等式，有 = 所以 等号当且仅当时成立 因此，对所有实数恒成立, 且当且仅当时,等号成立. 3 例题讲解 22 例题3.证明:对所有实数恒成立,并求等号成立时的取值范围. 3 例题讲解 方法二：分类讨论 证明：当时， 当时， 当时， 所以, 且当且仅当时,等号成立. 例题3.证明:对所有实数恒成立,并求等号成立时的取值范围. 3 例题讲解 几何意义： 表示数轴上实数对应的点到3对应的点的距离与到5对应的点的距离之和，其最小值就是3对应的点与5对应的点之间的距离，也就是2. 1.教材练习2.3（3） 已知为实数,满足, 证明下列各式: 4 课堂练习 2.将上海、湖州、杭州三地在地图上的位置看作平面直角坐标系上的三个点 , 记, , , 求证： 25 爱学习的小明同学想求的最小值.你能帮他解决这个问题吗？ 思考 26 [基础训练]教材习题2.3 A组7-8，B组5． [能力拓展]见作业练习单 [开放性题目(选做)] 请从以下题目中选择一题,在一周内完成. (1)试求的最小值.尝试寻找求的最小值的一般方法. (2)通过查阅网络资料等方式，了解数学中的各种“距离”,尝试以此为题撰写一篇数学小报告,小组交流互评,一周内提交. 5 作业布置 27 5 课堂小结 三角不等式 发现 数形结合 分类讨论 转化化归 逻辑推理 数学运算 28 变形 推广 应用 证明 求最值 证明 方法一 方法二 等式与不等式 等式与不等式的性质 不等式的求解 基本不等式及其应用 及其应用 不等式 平均值 不等式三角 我国汉代数学典籍《九章算术》中提出了世界上最早的有理数加减运算法则，揭示了在正负数的四则运算中，实际参与运算的是它们的绝对值.愿我们同学可以体会中国古代数学家的创新精神，传承优秀品质，勇攀学习高峰！ 结语 29 谢 谢 观 课 请多指教 30 EV录屏5.2.3软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $