1.2.1 命题课时1教学设计-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“命题”核心知识点，涵盖概念、真假判断及推出关系。通过复习初中命题概念导入，建立新旧知识联系，以具体实例为支架，引导学生从直观认知过渡到抽象理解。 特色在于结合集合语言与Venn图描述推出关系，通过实例辨析“若p则q”结构，强化真命题证明与假命题举反例的逻辑推理训练，分层次作业设计适配不同学情。助力学生发展逻辑推理素养，为教师提供清晰教学流程与可操作的分层练习。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.2.1 命题 教学目标 1. 通过实例分析，知道命题的概念，了解命题的结构，会在简单情境下判断命题的真假，并会说明理由. 2. 会用集合语言描述推出关系，会在简单情境下判断两个陈述句是否满足推出关系，理解推出关系满足传递性. 3. 经历严谨推理证明真命题与举反例说明假命题的学习过程，体会数学求真、明理的精神，发展逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点： 理解命题的概念，会判断简单情境下命题的真假,会用集合语言描述命题的推出关系. 教学难点： 判断命题真假时，如何对真命题进行说理论证，以及举反例说明命题是假命题. 教学过程 （一）复习回顾，温故知新 问题1 在初中，我们已经学过命题，什么是命题？请举例说明. 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）.命题通常用陈述句表示. 例如：等底等高的两个三角形面积相等. 【设计意图】学生在回顾旧知过程中，唤起他们原有认知结构中的“命题”概念，为进一步的学习找到最近发展区. （二）概念辨析，促进理解 1.命题真假判断 问题2 什么是真命题？什么是假命题？请举例说明. 其含义判断为真的命题叫做真命题，其含义判断为假的命题叫做假命题． 例如：“2是偶数”是真命题；“是有理数”是假命题. 例1 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ （1）个位数字是的自然数能被整除; （2）凡直角三角形都相似; （3）请起立; （4）若两个角互为补角，则这两个角不相等; （5）若两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等; （6）你是高一学生吗? （7）. 解 （1）这是一个真命题. 因为个位数字是的自然数可写成的形式()，而，显然它是的奇数倍，所以个位数字是的自然数能被整除. （2）这是一个假命题. 例如当一个直角三角形的三个内角分别为45°、45°、90°，而另一个直角三角形的三个内角分别为30°、60°、90°时，这两个直角三角形不相似. （3）“请起立”不是陈述句，无法判断其真假，因此它不是一个命题. （4）这是一个假命题. 当两个角的大小都是90°时它们既是互补的，又是相等的. （5）这是一个基本事实，简称为“边边边”或“SSS”，是真命题，常用它来证明两个三角形全等. （6）“你是高一学生吗？”是疑问句而不是陈述句，无法判断其真假，因此它不是命题. （7）不等式中，的取值是不确定的，是可以变化的，当的取值为4时，“”是正确的，而当的取值为1时，“”是错误的，其真假无法判断，因此它不是命题. 由以上分析可知：（1）（5）是真命题，（2）（4）为假命题. 命题通常用陈述句表述. 而（3）（6）（7）这种无法判断其真假的语句就不是命题. 问题3 观察例1中（4）（5）两个命题，它们的结构有什么共同特征？ 它们可以写成“若，则”的形式，也可以写成“如果，那么”的形式. 问题4 例1（1）（2）两个命题，能否改写成“若，则”的形式？ 例1中命题（1）（2）都可以分别改写为这种形式， （1）可改写为：“若一个自然数的个位数字是，则它能被整除”. （2）可改写为：“若两个三角形都是直角三角形，则它们相似.” 【说明】在形如“若，则”的命题中，陈述句称为条件，称为结论. 一些命题改为“若，则”的形式后，更便于我们判断其真假. 问题5 由例1中命题（1）（2）（4）（5）的真假性分析， (1)个位数字是的自然数能被整除; (2)凡直角三角形都相似; (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等; (5)若两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等; 同学们能否概括出判断一个命题真假的方法？ “若，则”是真命题，是指所有满足条件的对象都满足结论，没有例外,故要判断一个命题是真命题，一般要给出证明. “若，则”是假命题，是指存在满足条件的对象，它不满足结论，所以，要确定这类命题是假命题，举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了，这种方法在数学上称为举反例. 例2 判断下列命题的真假，并说明理由： (1)能被整除的自然数的个位数字是； (2)两个奇数的和是偶数. 分析: (1)这是一个假命题. 可举反例如下：10能被5整除，但其个位数是0； (2)这是一个真命题. 证明一个命题为真命题，通常要给出严格的证明. 证明：设两个奇数为， 可以得到， 显然其中，因此两个奇数的和是一个偶数. 【设计意图】通过命题形式与结构的分析，知道命题的条件和结论，从而会判断命题的真假，并会说明理由. 2 子集与推出关系 定义 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 问题6 前面我们已经学习了集合，学会了使用集合语言准确简洁地表示所要研究的对象及其关系. 怎样借助集合语言表示推出关系？ 记满足，满足，则 ①“”用集合语言描述为“”，即有. （Venn图示如图1） 图1 ②子集关系与推出关系的对应见下表： 子集关系 推出关系 ， 不成立 例3 将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断“”是否成立. (1)对顶角相等. (2)凡是素数都是奇数； (3)等腰三角形的两底角相等； (4)有一个内角是的等腰三角形是等边三角形. 解 (1)若两个角是对顶角，则这两个角相等. 这是一个真命题. 所以，“”成立. (2)若是素数，则是奇数. 这是一个假命题，因为2是素数，但它是偶数. 所以，“”不成立. (3)若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等. 这是一个真命题，所以，“”成立. (4)这是一个真命题. 如果一个等腰三角形的一个内角为，则这个三角形是等边三角形. 当这个的内角是顶角时，两个相等的底角之和为，则两个底角都是，因此该三角形是等边三角形；当这个的内角是底角时，则另一个底角也是，则其顶角是，因此该三角形也是等边三角形. ③因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性， 记满足，若且，则， 即有且，则.（Venn图示如图2） 图2 例4 求证：如果一元二次方程满足，那么这个方程有两个不同的实数根. 证明：对于一元二次方程， 因为，则，从而得到， 所以一元二次方程有两个不同的实数根. 【说明】这里我们设，，， 逻辑推理的顺序为：若且，则. 【设计意图】学会用集合语言描述推出关系，会在简单情境下判断两个陈述句之间的推出关系，理解推出关系满足传递性，这是逻辑推理的基础. （三）课堂练习，迁移应用 1.已知下列两组陈述句: (1). (2)是偶数，都是偶数; 其中满足关系“”的,题号是 ; 满足关系“”的题号是 . 分析: (1)由可得到，得到. 反之，推不出因为，满足，此时 所以满足关系“”. (2)是偶数，得不到,都是偶数，如,，二者之积为偶数，但为奇数. 反之，都是偶数可推出是偶数，满足关系. 所以，满足关系“”的题号是 （1） ; 满足“”关系的题号是 （2） . 2.求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形. 已知：四边形中，AB//CD，， 求证：四边形是平行四边形. 证明：因为AB//CD，则，又， 可得到， 从而得到AD//BC，根据平行四边形的判定定理， 得到四边形是平行四边形. （四）课堂小结，认知升华 本节课学了哪些数学知识？感悟到什么数学思想方法？ 1． 命题；命题的真假；子集与推出关系. 2．数学语言：文字语言；集合语言；图示语言. 3．数学思想：数形结合、转化化归. 4．数学素养：逻辑推理． （五）布置作业，巩固提高 （A组 基础性作业） 1．举几个生活中的命题的例子，并判断其真假． 2．判断下列语句是否为命题： （1）有的正方形是三角形； （2）任意一个三角形的内角和都为180°； （3）1是自然数吗？ （4）； （5），且． 3．判断下列命题的真假，并说明理由： （1）所有偶数都不是素数； （2）是的真子集； （3）如果集合是集合的子集，那么不是的子集． 4．用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： （1）：是等边三角形，：是轴对称图形； （2）：，：． （B组 提高性作业） 5. 为了说明“素数一定是奇数”是假命题，可举反例：_______________________. 6．判断下列命题的真假，并说明理由： （1）如果、都是奇数，那么是偶数； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； （3）如果，那么． 7．判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若，，则； （2）若、，则关于的方程的解为． 8.命题“若，则”是真命题还是假命题？说明理由. （C组 拓展性作业） 9.已知两个命题：函数的图像与轴交于不同的两个点； 不等式对一切实数都成立. 若有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 参考答案： （A组 基础性作业） 1. 略. 2. （1）是; （2） 是; （3） 不是; （4） 是; （5） 是. 3. （1）假命题; （2） 真命题; （3） 假命题. 4. （1）; （2） . （B组 提高性作业） 5. 2是素数，但2是偶数. 6. (1)该命题是真命题. 、都是奇数，则，那么 ， 故是偶数. (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； 该命题是假命题. 等腰梯形满足一组对边平行，且两条对角线相等，但不是平行四边形. (3)该命题为真命题. . 7. （1）该命题为真命题；集合C中的任何一个元素都是集合B中的元素，且至少含有一个元素不在集合B中，由于，则集合B中的任何一个元素都不在集合A中，故集合C中的任何一个元素不在集合A中. （2）该命题为假命题，当时，原方程无解. 8. 该命题是真命题. ， 故. （C组 拓展性作业） 9.函数的图像与轴交于不同的两个点，则 ，求解得，对应集合， 不等式对一切实数都成立, 则，对应集合. 有且仅有一个是真命题， 则为真命题且为假命题；或为真命题且为假命题， 故. 结语：爱因斯坦认为，推理是人类智慧的结晶，是科学发展的基石。它既是寻找答案的利器，又是破解难题的关键，更是维护真理的有力保障。我们要学会用逻辑推理的方法揭示事物的内在联系，辨别信息的真伪，同时培养逻辑思维的严谨性和缜密性。 1 学科网（北京）股份有限公司 $