2.1.3 不等式的性质 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“不等式的性质”核心知识点，通过生活（限速）、数学（三角形边关系）、科学（pH值）实例引入不等关系，复习初中不等式概念，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于类比等式性质猜想不等式性质，通过反例修正乘法性质培养逻辑推理，作差比较法与多证法提升数学抽象，分层作业落实因材施教。助力学生发展理性思维，为教师提供系统教学方案，提升课堂效率。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.1.3不等式的性质 教学目标 1.理解掌握不等式的性质，并会证明及应用，掌握作差比较法； 2.通过证明不等式的性质，体会类比、归纳、猜想、验证等数学思想方法，提升逻辑推理、数学抽象等核心素养. 教学重难点 教学重点：掌握判断两个实数大小的基本方法，类比、猜想、证明不等式的基本性质． 教学难点：不等式基本性质的证明及其应用． 教学过程 1、 复习旧知，引入课题 [问题1]你能用不等式表示下列问题中的不等关系吗？ （1） 中国第一条高速公路——沪嘉高速，目前限速为； （2） 三角形的两边之和大于第三边； （3） 在25℃的室温下，中性溶液的值等于，酸性溶液的值小于. 答 （1）设车辆通过上海外环隧道时的速度为，； （2）； （3）在25℃的室温下，中性溶液的，酸性溶液的. 设计意图：以生活、数学、科学中的不等关系为例，引出不等号及不等式的相关概念. [问题2]初中学习过哪些不等式的相关概念？ 大于号，小于号，大于等于号，小于等于号都称为不等号． 其中符号（读作大于等于）表示或；符号（读作小于等于）表示或. 用不等号连接的两个表达式，称为不等式. 对于任何两个给定的实数、，或者，或者，或者，三者中有且只有一种情况成立. 设计意图：通过复习不等式的相关概念，帮助学生唤醒已有认知，为深入学习不等式的性质奠定基础。 二、探究性质，猜想论证 [问题3] 如何确定两个实数的大小？ 定义 如果是正数，就称大于，记为；如果是负数，就称小于，记为；如果是零，就称等于，记为. 判断两个实数大小的充要条件 对于两个确定的实数和： ； ； . 对于任意给定的两个实数、，. 证明 因为，所以.由于乘以一个正数是一个负数， 于是，即. 因为，所以.由于乘以一个负数是一个正数， 于是，即. 设计意图：通过定义得出判断两个实数大小的充要条件，为不等式性质的证明提供了重要的方法，即作差比较法. [问题4]等式有哪些性质？ 设、、均为实数. 传递性 如果，且，那么. 加法性质 如果，那么. 乘法性质 如果，那么. [问题5] 类比等式的性质，你能猜想不等式类似的性质吗？ 等式的性质（、、） 不等式的性质（、、） 传递性 如果，且，那么. 如果，且，那么. 加法性质 如果，那么. 如果，那么. 乘法性质 如果，那么. 猜想：如果，那么. 当，，时， 满足，但不满足. 你将如何修正这个猜想呢？ 等式的性质（、、） 不等式的性质（、、） 传递性 如果，且，那么. 如果，且，那么. 加法性质 如果，那么. 如果，那么. 乘法性质 如果，那么. 如果，且，那么； 如果，且，那么. 传递性：设、、均为实数，如果，且，那么. 证明 因为，所以.同理，由，有.因为两个正数的和是正数，于是，即. 加法性质：设、、均为实数，如果，那么. 证明 因为，又因为，所以， 于是，即. 加法性质表明：在不等式的两边加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变。 乘法性质：设、、均为实数，如果，且，那么； 如果，且，那么. 证明 因为，且，即. 当时，，所以； 当时，，所以. 设计意图：通过类比的思想，学生能够自然将等式的传递性和加法性质，迁移到不等式的传递性和加法性质.在不等式乘法性质猜想中，借助反例辨析、代数证明，让学生掌握乘法性质，同乘正数时不等号方向不变，同乘负号时不等式方向改变，强化了分类讨论与严谨推理的意识，为后续求解不等式奠定坚实的逻辑基础。 三、例题讲解，应用巩固 例1 证明：如果，那么；反之亦然. 方法一： 证明 因为，所以，于是，所以. 反过来，因为，所以，于是，所以. 方法二： 证明 因为，利用不等式的加法性质，在不等式两边同加，即得. 反过来，若，仍利用不等式的加法性质，在不等式两边同加，即得. 设计意图：两种方法分别通过作差比较法、不等式的加法性质，推导出不等式移项的等价变形，进一步加强对作差比较法及不等式加法性质的理解和应用. 例2 已知，，求证：.（同向可加性） 证明 因为，，所以，. 于是，所以. 设计意图：运用作差法证明不等式的同向可加性，强化代数推理能力，为后续学习不等式组和放缩法奠定基础. [问题6] 当，时，它们的差是否存在类似的不等关系呢？ 猜想1：如果，，那么. 不正确.例如，，但是. 猜想2：如果，，那么. 例3 已知已知，，求证：. 方法一： 证明 因为，，所以，. 于是，即. 方法二： 证明 因为，所以，又因为，由不等式的同向可加性可得，. 设计意图：掌握不等式证明的多种方法，特别是运用同向可加性的技巧，培养学生灵活运用知识和逻辑推理的能力. [问题7] 较大的数的倒数是否一定比较小的数的倒数小？ 不一定. （1） 当时，； （2） 当时，； （3） 当时，. 思考：你能写出“若则”的一个充要条件吗？ 例4 已知，求证：. 方法一： 证明 因为，所以，，.于是，所以. 方法二： 证明 因为，所以.由不等式的乘法性质，在不等式的两边同时乘，得，即. 设计意图：深化对不等式乘法性质的理解，探究倒数运算对不等号方向的影响.通过正、负两种情况的分类讨论，培养学生分类比较、逻辑推理的数学思维. 例5 已知，，求证：. 证明 因为，利用例4的结论，有. 又因为，由不等式的乘法性质，有及，从而由不等式的传递性得到. 设计意图：引导学生灵活运用不等式的性质进行分式不等式的证明，避免复杂的作差变形.通过该方法，重点培养学生逆向思维、放缩与链条式推理的能力，提升其选择最优证明策略的意识. 四、课堂练习，迁移应用 1. 设、、、为实数，判断下列命题的真假，并说明理由. （1）如果，，那么； （2）如果，那么； （3）如果且，那么； （4）如果，，那么； 2.设，求证：是的充要条件． 设计意图：本组习题旨在综合检验和巩固学生对不等式性质的理解与应用，通过辨析命题真假、说明理由、完成证明等任务，强化分类讨论、举反例、代数推理等关键能力. 五、课堂小结，厘清思路 六、课后作业，分层提高 [基础练习]教材P34页习题2.1A组7(3)(4)(5)，9,10,13,14. 1.设、、、为实数，判断下列命题的真假，并说明理由. （1）若，，则； （2）若，则； （3）若，则. 2.证明：“且”是“且”的充要条件. 3.设是实数，比较与的值的大小. 4.已知，.求证：. 5.已知，求证：. [能力拓展]（选做） 1.已知，，求证：. 2.原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g）， 其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g）， 新溶液的浓度变为.根据这一事实，请提炼出关于不等式的命题，并加以证明. 设计意图：面对不同的学生布置不同层次的作业任务，实现因材施教. 学科网（北京）股份有限公司 $