2.3.1 平均值不等式及其应用教学设计--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦两个正数的算术平均值、几何平均值概念及平均值不等式，通过矩形与正方形的周长、面积问题导入，联系不等式性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 融合毕达哥拉斯学派算术/几何中项史料与欧几里得几何模型，以形数结合和从特殊到一般推理（特殊数据猜想再证明）发展逻辑推理、几何直观素养，如用半圆模型阐释不等式几何意义，助学生深化理解，为教师提供结构化教学思路。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.3.1平均值不等式及其应用（第一课时） 教学目标 1. 理解两个正数的算术平均值、几何平均值的概念及其意义；理解并掌握平均值不等式与常用不等式，注意其应用前提及其中取等号的条件； 2. 利用不等式的性质中所学知识，历经从特殊到一般的思想方法，对平均值不等式与常用不等式进行严格的推理证明； 3. 结合数学史料，将平均值不等式与常用不等式建立形与数的联系，积累从具体到抽象的活动经验，借助几何直观理解两个不等式的意义. 教学重难点 教学重点： 1. 理解两个正数的算术平均值、几何平均值的概念及其意义; 2. 理解平均值不等式及其中取等号的条件. 教学难点： 掌握平均值不等式与常用不等式，注意其应用前提及其中取等号的条件. 教学过程 1、 创设情境 引入课题 当有一个矩形，它的两边边长分别表示为a与b时，能否找到一个与此矩形周长相同的正方形？它的边长是多少？ 答：边长为的正方形. 当有一个矩形，它的两边边长分别表示为a与b时，能否找到一个与此矩形面积相同的正方形？它的边长又是多少？ 答：边长为的正方形. 公元前6世纪，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中，将定义为正数的算术中项，将定义为正数的几何中项. 而我们今天，则称是正数的算术平均值，称是正数的几何平均值. 当a、b分别表示对同一个量进行两次测量所得的数值时，其算术平均值可理解为这两次测量值的平均. 当a、b分别表示一个矩形的两条边的边长时，其几何平均值可以理解为与此矩形面积相同的正方形的边长. 二、探究定理 深化理解 [问题1] 两正数的算术平均值与几何平均值，有怎样的大小关系？ 先代入一些特殊数据进行猜想，若时，两数的算术平均值，几何平均值，算术平均值大于几何平均值，即；若时，两数的算术平均值，几何平均值，算术平均值等于几何平均值，即，因此我们猜想：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值. 即时，，且等号当且仅当时成立. [问题2] 如何证明猜想： 时， ，且等号当且仅当时成立？ 回顾之前在2.1.3不等式的性质中的学习，为比较两个表达式的大小，常用的方法是判定这两个表达式的差的符号. 由此，在的条件下，我们尝试将与作差来进行比较. 证明：时， ， 当，即时，，此时； 当，即时，，此时. 所以 ，且等号当且仅当时成立. 这个不等式阐述了两正数算术平均值与几何平均值的大小关系，因此称其为平均值不等式. 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立. 刚才从代数的角度，对平均值不等式进行了阐述与研究，接下去，从几何的角度来看这个不等式的意义所在. 欧几里得在《几何原本》卷六命题13中给出了两条已知线段之间的几何中项的作图法，如图一 ：以AB为直径作一半圆，C为直径AB上一点，过点C作CD⊥AB，交半圆于点D.此时CD即为线段AC和CB的几何中项. 图 1 [问题3] 能否借助这个模型，找到相关量，构造出平均值不等式的几何意义？ 如图二，若设AC=a, CB=b,则CD=，因为半圆的直径AB=，因此对应的半径OD=，在直角三角形OCD中，OD为斜边，CD为直角边，因此，当点C向左侧运动重合于点O时，AC= CB，CD即为半圆的半径，此时，综上. 因此，我们得到了平均值不等式的几何意义. 图2 3、 例题讲解，应用巩固 平均值不等式同时具有代数与几何意义，那么它的应用，又体现在哪些方面？ 例题1. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 解析：观察所要证明的不等式的结构，可先将平均值不等式等价地转化成的形式，再将题目中的x与a对应，将与b对应，即可对本题来进行证明. 证明：因为由平均值不等式得，，且等号只有当，即时才成立. 由于，因此. 所以，当且仅当时， 思考：若这道证明题没有“”这个条件，“”这个结论还成立吗？ 例题2. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 解析：根据这个条件我们可以推出，同号，因此可得到且，依然根据平均值不等式这个形式，将与a对应，将与b对应，即可对本题来进行证明. 证明：因为，所以同号，因而且， 由平均值不等式，得：， 且，即时才成立. 思考：与具有怎样的关系？能否发现例题1与例题2之间的联系？ 由于平均值不等式两边都为正数，因此将其两边平方会得到不等式.显然，对于任意的正数，不等式成立. 那么 [问题4] 对于任意的实数，不等式，还成立吗？ 我们依然可以采用从特殊到一般的思想方法，先代入特殊数据来判断一下. 若时， ，，不等式成立； 若时，，，不等式也成立； 因此，我们猜想，对于任意的实数，不等式，依然成立. [问题5] 如何证明猜想：对于任意的实数，不等式成立？ 在学习2.1.3不等式的性质时，推出过这样一个定理，对任意给定的实数，总有，且等号当且仅当时成立. 在这个常用不等式两边，同时加上， 得：，从而，即，所以原不等式成立，且等号当且仅当时成立. 定理：对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立. [问题6] 常用不等式是否也有它的几何意义？ 根据欧几里得在《几何原本》卷二命题5中的矩尺形模型，如图3，可以直观地看到，在周长相等的情况下，两边边长分别表示为a与b的矩形ABCD的面积，比边长为的正方形MNOL的面积，差了一个小正方形GCHL的面积，，因此；当点B向左侧运动重合于点M时, 小正方形GCHL越来越小直到消失，即当，矩形ABCD成为正方形时，与正方形MNOL面积相等，因此， 综上. 这正是常用不等式的几何意义. 图3 欧几里得的矩尺形模型 例题3.设，求二次函数的最大值. 根据常用不等式，可将看成是不等式中的a，将看成是不等式中的b，推得，于是，当，即时，取得最大值 4. 四、课堂练习 迁移应用 完成教材P48 练习2.3(1) 5、 课堂小结 布置作业 本节课，我们学习了两正数的算术平均值与几何平均值，为研究它们的大小关系，采用从特殊到一般的思想方法，得到了平均值不等式与常用不等式，并对它们进行了严格的推理证明；结合数学史料，将平均值不等式与常用不等式建立了形与数的联系，帮助我们更好地理解了这两个不等式的意义；并利用这两个不等式解决了简单的数学问题.发展了逻辑推理、数学抽象、直观想象的核心素养. 不同的使用前提条件 不等式 相同之处 当且仅当时 等号成立. 使用时，一定要注意两个不等式不同的使用前提条件以及取等号的条件. 思考：若将条件改为“”，平均值不等式还成立吗？ 课后作业 完成作业练习单上的习题，详见作业练习单. 学科网（北京）股份有限公司 $