第06讲 不等式的求解（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）(1)

第06讲 不等式的求解（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：一元二次不等式 知识点02：分式不等式的解法 知识点03：简单绝对值不等式的解法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：解不含参数的一元二次不等式 题型02：解含参数的一元二次不等式 题型03：由一元二次不等式的解确定参数 题型04：分式不等式的求解 题型05：含绝对值不等式的求解 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 【例1】解一元二次不等式 。 【知识点02】分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 【例2】解分式不等式 。 【知识点03】简单绝对值不等式的解法 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【例3】解绝对值不等式 。 【题型01】解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（25-26高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为________． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知．证明：中至少有一个不小于1. 【变式1-3】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型02】解含有参数的一元二次不等式 【典例2-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为________________． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为________． 【变式2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【变式2-3】设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【题型03】由一元二次不等式的解确定参数 【典例3-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）若关于x的不等式的解集是，则________． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知不等式的解集是，求不等式的解集. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期末）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【题型04】分式不等式的求解 【典例4-1】（2026高一上·上海·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________． 【变式4-2】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【题型05】含绝对值不等式的求解 【典例5-1】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）设，方程的解集是___________． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）（1）解不等式； （2）解不等式； 【变式5-3】解下列含绝对值的不等式： (1)； (2)． 知识点01 一元二次不等式 1. 标准形式（） 2. 解题核心步骤 ① 标准化：将二次项系数化为正数，若，同乘并反转不等号； ② 求根：解方程 ； ③ 判区间：开口向上时遵循口诀：大于取两边，小于取中间。 3. 判别式分类结论（） 判别式： ：两根不等，解集为两段区间； ：重根，解集为，解集为； ：无实根，恒成立（解集），无解。 知识点02 分式不等式的解法 1. 核心原则：严禁直接交叉相乘，利用符号等价转化为整式不等式，必须保留分母不为零限制。 2. 等价转化公式 3. 关键细节：带等号时，分母为0的点必须剔除，避免增根。 知识点03 简单绝对值不等式的解法 1. 基础模型（） 2. 复合型解法 将视为整体，套用上述模型去绝对值，转化为一元一次不等式求解。 3. 双边界型： 拆解为不等式组求解：，最终取交集。 知识点04高频易错点汇总（全面扩充） 一元二次不等式 1. 负系数化正时，忘记反转不等号； 2. 忽略 特殊情况，机械套用区间口诀； 3. 区间端点开闭判断错误，重根未合理取舍。 分式不等式 1. 未知数分母直接交叉相乘，变形不等价； 2. 带等号题型未剔除分母为0的点，产生增根。 绝对值不等式 1. 混淆“小于取中间、大于取两边”口诀； 2. 端点开闭易错，双边界不等式忘记取交集； 3. 忽略绝对值天然非负的性质。 一、填空题 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）关于的不等式的解集__________． 2．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________. 3．（25-26高一上·上海·期末）关于的不等式的解集为______. 4．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，全集，则__________. 5．（25-26高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则实数______． 7．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 8．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）若关于的不等式的解集是，则的解集是_____． 9．（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 10．（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围为____________ 12．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若关于的方程有且仅有3个实数根，则的取值范围是___________． 二、单选题 13．不等式的解集为（） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·上海·阶段检测） ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 18．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 20．（1）已知关于x的不等式的解集是，求a，b的值； （2）解关于x的不等式. 21．（25-26高一上·上海·期中）设 (1)当，时，解不等式； (2)若不等式的解集为，求、的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 不等式的求解（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：一元二次不等式 知识点02：分式不等式的解法 知识点03：简单绝对值不等式的解法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：解不含参数的一元二次不等式 题型02：解含参数的一元二次不等式 题型03：由一元二次不等式的解确定参数 题型04：分式不等式的求解 题型05：含绝对值不等式的求解 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】一元二次不等式 1、一元二次不等式的概念 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 2、用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 3、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 【例1】解一元二次不等式 。 解：第一步：标准化变形，将二次项系数化为正数，不等式两边同乘，不等号反向 第二步：简化不等式，两边同除2 第三步：计算判别式 第四步：求解对应一元二次方程的根 解得： 第五步：根据“大于取两边”写解集 该不等式解集为： 答案： 【知识点02】分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 【例2】解分式不等式 。 解：根据分式不等式等价转化规则，原式可转化为不等式组： 第一步：求解方程 的根 解得： 第二步：根据二次不等式解集规则， 解集为 或 第三步：结合限制条件 ，舍去 最终不等式解集为： 答案： 【知识点03】简单绝对值不等式的解法 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【例3】解绝对值不等式 。 解：根据绝对值不等式核心公式 ，去绝对值转化为： 第一步：不等式三边同时加1 第二步：三边同时除以2，化简得解集 该不等式解集为： 答案： 【题型01】解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（25-26高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由可推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为________． 【答案】 【分析】变形后，结合一元二次不等式的解法即可直接得到答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知．证明：中至少有一个不小于1. 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法思想，解一元二次不等式组即可证明. 【详解】反证法：假设中3个数都小于1， 则有， 由可得，，解得， 由，解得， 由可得，，解得， 因为， 所以无解，即假设不成立， 所以中至少有一个不小于1，命题得证. 【变式1-3】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)、(2)、(3)、(4) 【分析】（1）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. （2）移项化简，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. （3）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. （4）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）可以转化为 的解集为：. （2）移项可得， 的解集为 （3）化简可得， 的解集为 （4）移项可得， 的解集为 【题型02】解含有参数的一元二次不等式 【典例2-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为________________． 【答案】 【分析】根据的范围，判断根的大小关系，结合二次函数开口方向即可得解. 【详解】， 因为，方程的两根为，且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式2-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式2-3】设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型03】由一元二次不等式的解确定参数 【典例3-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的解集为，分和进行讨论即可求出实数的取值范围. 【详解】由关于的不等式，即的解集为， 当，即时，，不等式解集为， 当，即时，不等式解集不为， 因此可得， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）若关于x的不等式的解集是，则________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集可得对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以的两根分别为， 所以，即， 故答案为： 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】 【分析】先根据解集列式计算求参数，再解一元二次不等式计算求解. 【详解】不等式的解集是， 则且， 所以， 则不等式， 所以不等式的解集为. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期末）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解； (2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是； （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是． 【题型04】分式不等式的求解 【典例4-1】（2026高一上·上海·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】，即为，即， 解得， 故解集为. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据解不等式的步骤，移项，通分，解一元二次不等式即可. 【详解】由，得，所以， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【变式4-3】（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合，再根据得出再列出关于实数m的不等式组，解出即可； （2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数m的不等式组，解出即可. 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 【题型05】含绝对值不等式的求解 【典例5-1】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】由可得或， 所以由绝对值的几何意义可知或， 所以不能推出，能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）设，方程的解集是___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，等式成立； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，等式成立， 综上，方程的解集为． 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）（1）解不等式； （2）解不等式； 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据不等式的可乘方性，在的前提下，将不等式两边同时平方，转化为一元二次不等式求解即可； （2）通过移项，通分，将分式不等式转化为一元二次不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得①. 由不等式的可乘方性，将不等式两边同时平方可得， 即，即，解得或②. 由①②可得， 所以不等式的解集为； （2）因为，所以， 即， 上式可化为，即，解得， 所以不等式的解集为. 【变式5-3】解下列含绝对值的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式两边同时平方，转化为二次不等式求解； （2）利用零点分类讨论去掉绝对值符号，即可求解. 【详解】（1）由，有，得， 即，由，解得， 所以不等式解集为. （2）不等式， 等价于或或 解得或或，即， 所以不等式解集为. 知识点01 一元二次不等式 1. 标准形式（） 2. 解题核心步骤 ① 标准化：将二次项系数化为正数，若，同乘并反转不等号； ② 求根：解方程 ； ③ 判区间：开口向上时遵循口诀：大于取两边，小于取中间。 3. 判别式分类结论（） 判别式： ：两根不等，解集为两段区间； ：重根，解集为，解集为； ：无实根，恒成立（解集），无解。 知识点02 分式不等式的解法 1. 核心原则：严禁直接交叉相乘，利用符号等价转化为整式不等式，必须保留分母不为零限制。 2. 等价转化公式 3. 关键细节：带等号时，分母为0的点必须剔除，避免增根。 知识点03 简单绝对值不等式的解法 1. 基础模型（） 2. 复合型解法 将视为整体，套用上述模型去绝对值，转化为一元一次不等式求解。 3. 双边界型： 拆解为不等式组求解：，最终取交集。 知识点04高频易错点汇总（全面扩充） 一元二次不等式 1. 负系数化正时，忘记反转不等号； 2. 忽略 特殊情况，机械套用区间口诀； 3. 区间端点开闭判断错误，重根未合理取舍。 分式不等式 1. 未知数分母直接交叉相乘，变形不等价； 2. 带等号题型未剔除分母为0的点，产生增根。 绝对值不等式 1. 混淆“小于取中间、大于取两边”口诀； 2. 端点开闭易错，双边界不等式忘记取交集； 3. 忽略绝对值天然非负的性质。 一、填空题 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）关于的不等式的解集__________． 【答案】 【分析】应用绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，所以，即， 关于的不等式的解集. 2．（25-26高一上·上海·期末）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法计算即可. 【详解】由题意可知， 解之得. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·期末）关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再由一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为等价于，由得， 即的解集为， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，全集，则__________. 【答案】 【分析】首先解绝对值不等式化简集合，再根据补集的定义计算可得. 【详解】由，可得，解得， 所以，又全集， 所以. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【答案】 【分析】就、、分类讨论后可得x的取值范围. 【详解】当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【详解】因为，说明一元二次不等式的解集就是，即和是对应方程的两个实根， 根据韦达定理得，因此， 验证： 因式分解得，解集确实为，符合. 7．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海松江·阶段检测）若关于的不等式的解集是，则的解集是_____． 【答案】 【分析】分析可知关于的方程的解集是，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 可知关于的方程的解集是，且， 可得，即， 则即为， 且，可得，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 10．（25-26高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先利用韦达定理求、，再对分式不等式因式分解后用穿根法求解. 【详解】由不等式的解集为，可知1和2是方程的根. 根据韦达定理，，，解得，. 将、代入不等式，得,即. 用穿根法分析： 根为，，，. 区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足； 区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足； 区间：整体为正，满足. 故解集为. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围为____________ 【答案】 【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若关于的方程有且仅有3个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对方程分类讨论：情形①当时，解得或；情形②当时，化简得到，当，实数根为；对情形①、情形②根的情况进行分析即可求解得到的取值范围是. 【详解】情形①当时，原方程去绝对值得到， 化简得到，解得或； 情形②当时，原方程去绝对值得到， 化简得到； 该方程要有实数根，需要， 即，得到或； 实数根为：； 需要方程有且仅有3个根，下面对情形①、情形②根的情况进行分析： （1）当情形①方程有2个实根则，即，情形②只有1个实根则或，没有满足条件的值； （2）当情形①方程有2个实根则，即，且情形②其中即（或），有一个实根满足时， 则，所以，得到或，所以得到； （3）当情形①方程有1个实根则，即， 情形②方程有2个实根则， 即，解得， 又因为，得到或； 所以得到或； 综上所述：的取值范围是. 二、单选题 13．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，转化为等价不等式组，进而求得不等式的解集，得到答案. 【详解】由题意，不等式等价于或或， 解得或或，即， 即不等式的解集为. 故选：C. 14．（24-25高一上·上海·阶段检测） ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由一元二次不等式求解，结合集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，解得或，记为或， 令， 则是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，再结合不等式的性质即可得出答案. 【详解】因为， 所以不等式等价于不等式. 故选：D. 16．（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得，结合分析判断即可. 【详解】因为， 由可得，即，解得， 且，所以符合题意的取值范围是. 故选：B. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解. （2）分段去绝对值符号求解不等式. 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或或， 解得；不等式组无解；解得， 所以原不等式的解集为. 18．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得到为方程的两根，由韦达定理得到方程，求出； （2）分式不等式转化为，求出不等式解集. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 故，解得； （2）由（1）得， ， 等价于，解得， 不等式解集为 20．（1）已知关于x的不等式的解集是，求a，b的值； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系可求解； （2）对c与6的大小分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）由题意得的两个根为，，且， ∴，， ∴，； （2）不等式， ①当时，由，得，所以不等式的解集为； ②当时，由，得或，所以不等式的解集为； ③当时，由，得或，所以不等式的解集为； 综上所述， 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：. 21．（25-26高一上·上海·期中）设 (1)当，时，解不等式； (2)若不等式的解集为，求、的值． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）代入，分和讨论解不等式即可； （2）由不等式解集和方程的关系可知则的两根为或，则或，再解方程组检验即可． 【详解】（1），，，即， 当时，不等式恒成立， 当时，或， 解得或， 综上，不等式的解集为或； （2）不等式的解集为， 则的两根为或， 或， 解得或， 当时，不等式的解集为，符合题意， 又时，，也符合题意， 所以或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $