第05讲 充分条件和必要条件与反证法（知识清单+9题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第05讲 充分条件和必要条件与反证法 知识清单 知识点01：充分条件，必要条件、充要条件 1 知识点02：反证法 2 题型归纳 题型01 判断命题的充分不必要条件 3 题型02 根据充分不必要条件求参数 4 题型03 判断命题的必要不充分条件 5 题型04 根据必要不充分条件求参数 5 题型05 充要条件的证明 6 题型06 探求命题为真的充要条件 7 题型07 既不充分也不必要条件 7 题型08 反证法的概念辨析 7 题型09 反证法证明 8 强化训练 9 知识点01.充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点02.反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 题型01 判断命题的充分不必要条件 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1】（22-23高一上·上海闵行·期末）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）“”是“或”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“且”是“”的 条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 题型02 根据充分不必要条件求参数 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题p：集合或，q：集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若（p的否命题）是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 题型03 判断命题的必要不充分条件 【例3】（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件 题型04 根据必要不充分条件求参数 【例4】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【变式1】（22-23高一上·上海宝山·期中）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【变式4】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 题型05 充要条件的证明 【例5】设集合A，B，求证：是的充要条件． 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）是成立的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 题型06 探求命题为真的充要条件 【例6】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 题型07 既不充分也不必要条件 【例7】（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则是的 条件. 【变式3】（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）已知，则“”是“”的 . 题型08 反证法的概念辨析 【例8】（23-24高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【变式2】（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【变式3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 题型09 反证法证明 【例9】证明：是无理数．（提示：已知为无理数） 【变式1】用反证法证明：“已知，若，则.” 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海静安·阶段练习）用反证法证明命题：“已知，若不能被整除，则与都不能被整除”时，假设的内容应为（    ） A．都能被整除 B．不都能被整除 C．至少有一个能被整除 D．至多有一个能被整除 2．（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意、、，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要非充分条件； ④“”是“”的充分非必要条件. 其中真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，则集合M是集合的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（24-25高一上·上海·期中）已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件． 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）请写出一个条件，使得是它的一个必要非充分条件 ． 12．（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 三、解答题 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)四边形的对角线互相平分，四边形是矩形； (4)，； (5)，关于x的方程有实根. 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 15．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 充分条件和必要条件与反证法 知识清单 知识点01：充分条件，必要条件、充要条件 1 知识点02：反证法 2 题型归纳 题型01 判断命题的充分不必要条件 3 题型02 根据充分不必要条件求参数 6 题型03 判断命题的必要不充分条件 9 题型04 根据必要不充分条件求参数 10 题型05 充要条件的证明 13 题型06 探求命题为真的充要条件 16 题型07 既不充分也不必要条件 18 题型08 反证法的概念辨析 20 题型09 反证法证明 22 强化训练 24 知识点01.充分条件，必要条件、充要条件 1.充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点02.反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 题型01 判断命题的充分不必要条件 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】分别推理得到和的等价条件，再按照充要条件的判断方法即可推得结论. 【详解】由等价于，即； 由等价于，即. 若，则必有成立； 而满足时，可取，显然此时，即不成立， 故“”是“”成立的充分非必要条件. 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·上海闵行·期末）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由求得或，然后即可得出答案. 【详解】由可得，解得或. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）“”是“或”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分条件，必要条件的概念进行判断即可. 【详解】首先，对于命题： “若，则或”. 其逆否命题为： “若且，则”为真. 根据原命题与其逆否命题同真同假，可知命题“若，则或”为真， 所以“”是“或”的充分条件； 其次，对于命题：“若或，则”， 当时，满足“或”，但“”不成立， 故命题“若或，则”为假. 所以“”不是“或”的必要条件. 综上可知：“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“且”是“”的 条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意分析即可证明充分性成立，举出反例证明必要性不成立. 【详解】先证充分性：若，则有，若，则， 此时必有，所以充分性成立； 再证必要性：令，，则，，此时， 但有且，所以没有必要性. 故答案为：充分不必要 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、判断命题的充分不必要条件 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 题型02 根据充分不必要条件求参数 【例2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】由是的充分非必要条件，由集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】不等式，即，解得， 若是的充分非必要条件， 所以集合是集合的真子集， 则有，不同时取等号，解得， 实数m的取值范围是. 故答案为： 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题p：集合或，q：集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若（p的否命题）是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围. （2）先求得，根据是的充分不必要条件列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】（1）由于，故，解得. 故实数a的取值范围 （2）：，由于是的充分不必要条件，故，解得. 故实数a的取值范围 题型03 判断命题的必要不充分条件 【例3】（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为不能推出， 所以“”不是“”的充分条件， 因为“”能推出“”， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的意义判断得解. 【详解】由或，得，而， 所以“或”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】先证充分性，利用反例可得其是否成立；再证必要性，根据分式不等式的求解，分情况讨论，可得答案. 【详解】由，可取，则，故充分性不成立； 由，则当时，；当时，， 所以，故必要性成立. 故答案为：必要非充分 题型04 根据必要不充分条件求参数 【例4】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（22-23高一上·上海宝山·期中）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的意义列式作答. 【详解】因“”是“”的必要非充分条件，则，即有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 【变式4】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解； （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 题型05 充要条件的证明 【例5】设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 【变式1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）是成立的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：由， 得， 则，即； 再判断必要性，若， 则. 所以是成立的充要条件. 故选：A. 【变式2】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 【变式3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【知识点】充要条件的证明 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 题型06 探求命题为真的充要条件 【例6】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】充分条件、必要条件、探求命题为真的充要条件 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【知识点】探求命题为真的充要条件 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 题型07 既不充分也不必要条件 【例7】（23-24高一上·上海·期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则是的 条件. 【答案】既非充分又非必要 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】先求出命题的范围，即可求解. 【详解】， ， 既不能推出，也不能被推出， 故答案为：既非充分又非必要. 【变式3】（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）已知，则“”是“”的 . 【答案】既不充分又不必要条件 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断. 【详解】若成立，如，,则不成立， 故命题：“” “”为假命题； 若，如，，则不成立， 故命题：“” “”为假命题； 故“”是“”的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要条件 题型08 反证法的概念辨析 【例8】（23-24高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 【变式3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 【变式4】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 题型09 反证法证明 【例9】证明：是无理数．（提示：已知为无理数） 【分析】利用反证法证明. 【详解】证明：假设是有理数，则令，为有理数， 两边平方得，由此可得， 因为为无理数，为有理数，则这与“有理数和无理数是不可能相等”相矛盾， 所以假设不成立，即是无理数． 【变式1】用反证法证明：“已知，若，则.” 【分析】根据反证法定义提出合理假设，得出假设与命题矛盾即可. 【详解】假设， 则， 与矛盾， 故假设不成立，所以原命题成立. 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【知识点】反证法证明 【分析】假设，，，利用不等式的基本性质推出矛盾，结合反证法的原理得出所证结论成立. 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、反证法证明、必要条件 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 【知识点】利用不等式求值或取值范围、反证法证明 【分析】（1）根据题意，利用三角形的性质，列出不等式组，即可求解； （2）假设，得到，求得，结合反证法，即可得证. 【详解】（1）解：在中，因为， 由三角形的性质，可得，解得， 所以第三条边长度的所有可能值组成的集合为. （2）解：假设，因为，所以， 所以，所以，这与为锐角三角形相矛盾， 所以假设不成立，所以. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海静安·阶段练习）用反证法证明命题：“已知，若不能被整除，则与都不能被整除”时，假设的内容应为（    ） A．都能被整除 B．不都能被整除 C．至少有一个能被整除 D．至多有一个能被整除 【答案】C 【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果. 【详解】“与都不能被整除”的否定为：至少有一个能被整除. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为“”可以推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意、、，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要非充分条件； ④“”是“”的充分非必要条件. 其中真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用等式的性质以及特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断①；利用充分条件、必要条件的定义可判断②；利用集合的包含关系可判断③；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断④. 【详解】对于①，当时，由等式的性质可知，，即“”“”， 若，当时，则、不一定相等，即“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件，①错； 对于②，若是无理数，则是无理数， 另一方面，若是无理数，则是无理数， 所以，“是无理数”“是无理数”， 因此，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，②对； 对于③，因为， 所以，“”是“”的必要非充分条件，③对； 对于④，若，取，，则，即“”“”， 若，不妨取，，则，即“”“”， 所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，④错. 故真命题的个数为， 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，则集合M是集合的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【详解】， 当，时，， 当时，因为，所以， 综上，集合是集合的真子集，即集合是集合的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，满足，，但不成立， 所以是的不充分条件； 若，则或， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】当时，成立；时，取，所以不成立； 故是的充分非必要条件， 故选：A. 二、填空题 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 【答案】x、y两个都大于0 【分析】根据反证法证明命题的特征，否定命题的结论即可. 【详解】依题意，给定命题的结论是：x、y中至多有一个大于0，其否定为：x、y两个都大于0. 故答案为：x、y两个都大于0 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件的定义，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】结合不等式的范围检验充分及必要性即可判断． 【详解】当时，一定成立，即充分性成立； 当时，不一定成立，即必要性不成立． 故答案为：充分不必要． 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【答案】三角形内所有角均小于 【分析】根据反证法证明的规则求解即可. 【详解】根据反证法证明的规则，假设的内容是：三角形内所有角均小于. 故答案为：三角形内所有角均小于. 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）请写出一个条件，使得是它的一个必要非充分条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据必要非充分条件定义求解. 【详解】因为不能推出，而成立能推出， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：.（答案不唯一） 12．（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”能推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 三、解答题 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)四边形的对角线互相平分，四边形是矩形； (4)，； (5)，关于x的方程有实根. 【答案】(1)必要不充分； (2)既不充分也不必要； (3)必要不充分； (4)充分不必要； (5)充分不必要 【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）解：由可得或， 即由推不出，但由可以推出， 所以条件p是条件q的必要不充分条件； （2）解：由是直角三角形推不出是等腰三角形， 由是等腰三角形推不出是直角三角形， 所以条件p是条件q的既不充分也不必要条件； （3）解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)， 由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分， 所以条件p是条件q的必要不充分条件； （4）解：由可得，即有， 但由只能得， 即由可以推出，但由不可以推出， 所以条件p是条件q的充分不必要不条件； （5）解：由，可得， 从而得方程有实根， 但由方程有实根，可得， 即， 即由可以推出，但由不可以推出， 所以条件p是条件q的充分不必要不条件. 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】反证法证明 【分析】（1）根据求解，即可证明； （2）利用反证法，即可证明. 【详解】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 15．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $