第一章勾股定理综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理的核心内容，包括定理应用、直角三角形判定、勾股数及实际问题解决，通过考点分类与章测题将知识点串联，构建“定理-判定-应用”的逻辑知识网络。 其亮点在于采用“中考真题+章测分层”设计，如以山东日照中考正方形面积题、江苏扬州折叠问题为例，解析中融入面积法、对称法等思路，培养学生几何直观与推理意识，助力分层复习，教师可精准把握学情提升效率。

数 学 八年级上册 BS 1 2 3 第一章 勾股定理 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 勾股定理 1.【山东日照中考】已知直角三角形的三边，，满足，分别以 ， ， 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三 个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为 ，则( ) C A. B. C. D.， 大小无法确定 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】因为直角三角形的三边，，满足 ，所以该直角三角形的斜边 为，所以，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2.【江苏扬州中考】如图，中， ，，，以点 为 圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点,，再分别以点， 为圆心， 大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段 的长 为___. （第2题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解析】如图，过点作于点.由题意可得， 为 的平分线.在中， ，， ， 所以，所以 .因为 思路分析 过点作于点.利用勾股定理求出的长，推出 ，再利用面积 法求解. 平分，，，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 （第3题图） 3.【2024江苏常州中考】如图，在中， ， ，，是边的中点，是边上一点，连接 ， ．将沿翻折，点落在上的点处，则 __． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 【解析】因为 ，，，是边 的中点，所以 ，所以，所以.因为将沿 翻折，点落在上的点处，所以， ， ，所以， .设 ，则 ，.在 中，由勾股定理，得 ，解得，所以．故答案为 ． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.【2024黑龙江大庆中考】如图（1），直角三角形的两个锐角分别是 和 ， 其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角 为 和 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正 方形．图（2）是1次操作后的图形．图（3）是重复上述步骤若干次后得到的图形， 人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图（1）中的直角三角形斜边长为2，则10次 操作后图形中所有正方形的面积和为____． 48 图（1） 图（2） 图（3） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】如图.因为 ，根据勾股定理，得 ,所以题图（1）中所有正方形的面积和为 ，题图（2）中所有正方形的面积和，即1次操作后图形中所有 刷有所得 次操作后图形中所有正方形的面积和为题图（1）中正方形的面积和 ． 正方形的面积和为 ，2次操作后图形中所有正方形的面积和为 ，3次操作后图形中所有正方形的面积和为， ，所 以次操作后图形中所有正方形的面积和为 ，所以10次操作后图形中所有正 方形的面积和为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 考点2 直角三角形判定的应用 5.【山东济宁中考】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都 是一个单位长度，点，，，， 均在小正方形方格的顶点上，线 段，交于点，若 ，则 等于( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，过点作，连接.因为 ，所以 .因为 ， ，，所以 ， 所以是直角三角形，且 ，所以 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 考点3 勾股数 6.【2025江苏扬州中考】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了 推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体 现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4， 5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾 股数为____________. 11，60，61 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 【解析】通过观察得第①组勾股数为， ， ；第②组勾股数为， ， ；第③组勾股数为， ， ；第④组勾股数为， ， ；所以第⑤组勾股数为 ， ， .故答案为11，60，61. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 关键点拨 通过观察，得出规律：这类勾股数为，， 为正整数），由此可写出第⑤组勾股数. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 考点4 勾股定理的应用 7.【2025江苏连云港中考】如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线 的距离为，则梯子顶端的高度为____ . 【解析】因为长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，所 以，所以 .故答案为2.4. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 章测 一、选择题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） （第1题图） 1.【2025江苏无锡期中】如图，所有四边形都是正方形，所有三 角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为2，6，3， 则正方形D的面积为( ) C A.6 B.8 C.11 D.12 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】如图，设正方形A，B，C，D的边长分别为，，，，正方形 的边长 为.因为所有三角形都为直角三角形，所以， ，所以 .因为正方形A，B，C的面积依次为2，6，3，所以 ，所以正方形D的面积为11．故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第2题图） 2.【2025贵州毕节质检】如图，小明将一张长为 ，宽为 的长方形纸片剪去了一角，量得 ， ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，延长，相交于，则 是直角三角形.由勾 股定理得.因为， ， ， ，所以 ，所以 ．故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 3.【2026湖南湘西州质检】如图，长方形纸片 中， ，.若将长方形纸片折叠，使点和 点重合，展开， 得到折痕，连接，则折痕 的长为( ) A A. B. C.15 D.16 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】如图,连接,设与交于点.因为点与点 重合， 折痕为，即垂直平分，所以， ， .又因为四边形为长方形，所以 ， ，.设，则， . 因为,所以,解得,所以 .在 中，由勾股定理得，所以 ，所以 .因为 ，所以 ， 所以.易得,所以,所以 ,所以 .故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 二、填空题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 4.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高 ，水深 .在水面上紧贴内壁处有一块面包屑，在水面线 上，且 ，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处吃面包屑，则 蚂蚁爬行的最短路线长为_____ . 100 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于点 ,则 ，所以蚂蚁沿着 的路线爬行 时路线最短，最短路线长等于的长.在 中， ，，所以 ，所 以，所以最短路线长为 .故答案为100. 思路分析 作出点关于的对称点，连接交于点，此时 最短，根据勾股 定理求解即可． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5.【2025辽宁辽阳质检】在中，，，是 边所在直线上 的点，，，则 _______． 25或7 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图（1），当点在线段上时，因为，， ， 所以，所以是直角三角形，且 ，所以 ，所以，所以 ，所以 .如图（2），当点在 的延长线上时，同理可得 ，所以.因为，所以点不在 的延 长线上．综上所述， 的长度为25或7．故答案为25或7． 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 思路分析 分情况进行讨论：点在线段上和点在 延长线上．逆用勾股定理可得到 为直角三角形， ，再根据勾股定理即可得到 的长，进而利 用线段的和差关系求出 的长． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 三、解答题（共50分） 6.【2025四川成都期中】如图，某沿海城市 接到台风预警，在该 市正南方向的处有一台风中心，沿方向以 的 速度移动，已知城市到的距离为 ． （1）台风中心经过多长时间从点移到 点？ 【解】由题意可知，，， .在 中， ，所以.因为 ，所以台风中 心经过从点移到 点． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么 市受到 台风影响的时间持续多少小时？ 【解】如图，在射线上取点,，使得 .由 得.在中， ，所 以，所以， ，所以 市受到台风影响的时间持续 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 7.【2026山西太原质检】如图（1），中， ，直角边 在射 线上，直角顶点与射线端点重合，， ，且满足 . 图（1） （1）___， ___. 6 8 【解】由题意可得，，解得， ，故答案为6，8. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 图（2） （2）如图（2），向右匀速移动 ，在移动的过程中， 的直角边始终在射线 上，移动的速度为1个单位 长度/秒，移动的时间为秒，连接 . ①在移动的过程中，能否使 为直角三角形？若 能，求出 的值；若不能，说明理由. 【解】能.由题意得， .因为， ，所以 ， ， .因为，点在上， ，所 以只能是 ，所以，即 ，解 得，所以在移动过程中,能使为直角三角形，此时 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 ②若为等腰三角形，直接写出 的值为 _______________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 当时， ， 解得；当时，，解得；当 时， ，解得（不合题意，舍去），所以当 的值为2或8时， 为等腰三角形，故答案为2或8. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 $