2.1 认识实数（第1课时+无理数的产生） 教学课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“无理数的产生”，从π是否为有理数的问题导入，复习有理数分类，通过剪拼两个边长为1的小正方形得到大正方形，设边长为a，结合面积关系与数形分析，搭建从有理数到无理数的认知支架。 其亮点是以拼图活动和计算器探索为核心，通过“数”“形”结合培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识），如用表格逐步逼近a的值体会无限思想，总结无理数特征时注重数学语言表达，帮助学生发展抽象能力，教师可借助结构化活动提升教学效率。

第二章 实数 2.1 认识实数 2.1.1 无理数的产生（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 借助计算器探索无理数是无限不循环小数并从中体会无限逼近的思想. 会判断一个数是有理数还是无理数. 新知导入 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 如：1,2,3,… 0 如：-1,-2,-3,… 有理数 1.有理数如何分类？ π属于有理数吗？ 探究新知 探究1 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？设新拼接后的大正方形的边长为a，则a是多少？又是怎样一个数？ 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 其他方法： 新知探究 活动一 请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 1 1 1 拼接前后两个图形的面积保持不变. 新知探究 问题：(1) 设大正方形的边长为 a，a 满足什么条件？ (2) a 可能是整数吗？说说你的理由. 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. 从“数”的角度： 从“形”的角度： 新知讲解 观察下图后回答下面问题 （1）如图：以直角三角形的斜边为 边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b等于什么？ （3）b是有理数吗？ 1 2 b 在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。 5 22+12 = b2=22+12=5 新知讲解 1 1 2 2 面积为2 a a （1）下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ … …借助计数器进行探索。 面积为1 面积为4 1＜a＜2 因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，所以1＜a＜2。 1 4 1 4 (1)首先我们知道a是正方形的边长，所以从正负性来讲，a肯定是____数． (2)再来看看拼接后的正方形的面积，因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为____． (3)结合12＝1，22＝4，得出a2＝2.所以a是____的． 正 2 存在 新知探究 B A C 取出一个三角形 在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系： AC-BC<a<AC+BC 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数 从“形”的角度： 新知探究 尝试思考 （1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 正方形的面积=直角三角形的斜边的平方=12+22=5 b2=5 b不是有理数 b 归纳：数 a，b 确实存在，但都不是有理数. 新知讲解 做一做 (1)估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计. 得到b=2.236067978···，它也是一个无限不循环小数. 2.2 2.23 2.236 (2)如果结果精确到百分位呢? 千分位呢? 万分位呢？ 2.2360 同样，对于体积为2的正方体，借助计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105···,它也是一个无限不循环小数 新知讲解 把下列各数表示成小数. 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 那么，我们就把无限不循环小数叫做无理数. 追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？ 从“数”的角度： 因为 a2=2, 而12=1, 22=4 所以 12<a2<22 , 所以 1< a< 2，a不是整数 B A C 取出一个三角形 从“形”的角度： 在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系： AC-BC< a<AC+BC 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数 新知探究 思考交流 （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ （2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格 1 a 2 面积为2 活动二 a究竟是多少？ （3）小明将他的探索过程整理如下： 新知探究 思考交流 想一想：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 新知探究 思考交流 (4) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ a = 1.414 213 56···，它是一个无限不循环小数. (5) 面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少？ b 可能是有限小数吗？ b = 2.236 067 977···，它是一个无限不循环小数. 总结：事实上，a =1.414 213 56···，b = 2.236 067 977···，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 S=b2=5 新知讲解 如上面的a，b，c是无理数。 还有我们十分熟悉的圆周率π=3.1415926 … …是一个无限不循环小数，也是无理数。 再如0.585885888588885… …（相邻两个5之间8的个数逐次增加1）也是无理数. 新知讲解 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 数 整数 分数 追问2：a可能是分数吗？ ① a是分母为2的分数吗？ ② a是分母为3的分数吗？ ③ a是分母为4的分数吗？ ④ a是分母为多少的分数？ a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 无理数的简单应用 题型一 题型探究 小亮 例1.图 2-1-3 是由五个边长为1 的小正方形组成的图案，如果把它们剪拼成一个正方形. (1)所拼成的正方形的面积是多少？ (2)设拼成的正方形的边长为a，a应 满足什么条件？ (3)a是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ (4)请你讨论一下 a 在哪两个相邻整数之间 . 解：所拼成的正方形的面积是5. a应满足a2＝5. a不是整数，不是分数，不是有理数. a 在2和3之间. 根据 剪拼没有改变图形的面积，确定正方形的面积及边长，结合拼出的图形解释无理数的产生. 方法技巧 题型二 题型探究 小亮 利用勾股定理识别非有理数 方法技巧 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找相等； ③利用勾股定理，列方程； ④解方程，得解. 例2.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6， AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11. 因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数． 因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不 可能是分数．所以CD不可能是有理数． 新知讲解 总结： 1、判断一个数是否无理数：（1）看它是不是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能。 2、具体从以下几方面来判断：（1）开方开不尽的数是无理数；（2）π是无理数；（3）无理数与有理数的和、差一定是无理数；（4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数。 课堂总结 1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 （2）开方开不尽的数. （3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数. 2.无理数的特征: （1）圆周率π及一些最终结果含有π的数. 课堂小结 无理数的产生 拼图发现 首先通过拼图把几个小正方形拼成一个大正方形，然后利用面积发现非有理数 非有理数的识别 利用勾股定理发现非有理数 $