周测卷(二十三)抛物线-【鱼跃龙门卷】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

2026一2027学年度高三一轮复习周测卷（二十三） 数学·抛物线 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M.若 IMF|=|PF|,则|PF|= A.2 B.3 C.4 D.23 2.已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点(4,0)的距离的最小值为 A.2 B.22 C.25 D.4 3.已知抛物线C:y2=2x(p>0)与直线l:x一y一3=0交于A,B两点，且线段AB中点的横 坐标为7，则力= A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知点F是抛物线E:x2=4y的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A 作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别为B,C,且分别交抛物线的 准线于M,N两点，M,N位于y轴异侧（如图所示）.若|MN|=2√II, 则|AF|的长为 A.2 B.3 C.4 D.3√3 5.已知抛物线：y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于K,点P为抛物线上任意一点，∠KPF的 角平分线与x轴交点为(m,0),则m的最大值为 A.2+2√2 B.3-2√2 C.3+2√2 D.2-2√2 6.已知直线l:kx一y十2k=0,圆O:x2十y2=9和抛物线C:y2=8x,则 A.直线l过抛物线C的焦点 B.直线1与圆O相交 C.直线l被圆O截得的最短弦长为2√⑤ D.圆O与抛物线C的公共弦长为4√3 数学·周测卷（二十三）第1页（共4页） 23 」鱼默龙门卷 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,直线1与C交于点A,B(A在第一象限)，以AB为直径 的圆E与C的准线相切于点D.若|AD|=√3|BD,则下列说法正确的是 A.A,B,F三点共线 B.1的斜率为 √3 C.AF=3BF D.圆E的半径是4 8.已知O为坐标原点，P(5,3),直线1过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与C交于A,B两点，则 A.AF|+4|BF|≥9 B当Sae=2Sa新时，AB=号 C.∠AOB可以为2 D.△PAF周长的最小值是11 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。带￥题目为能力提升题，分值不计入总分。 9.设抛物线C:y2=4x上一点P到直线l1:x=一1的距离为d1,到直线12：3x十4y十7=0的距 离为d2,则d1十d2的最小值为 10.在抛物线y2=2px(p>0)上有三个不同的点A,B,C,焦点为F,点A坐标为(1,2)，且 AF⊥x轴，F为△ABC的重心，则△ABC的面积为 *已知抛物线y2=2px（p>0)的焦点为F,过F的直线与此抛物线相交于A,B两点，点 M(-?,0),若AB=12,且tan∠AMB=2,2,则b= 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。带题目为能 力提升题，分值不计入总分。 11.(20分) 已知A,B两点的坐标分别是（一2,0），(2,0)，直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜 率与直线BM的斜率的差为一4，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E,已知直线1：y=3x十2与曲线E有两个不同的 交点D,E,求OD·OE 数学·周测卷（二十三）第2页（共4页） 23 一 班级 12.(20分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2px(p>0)与过点E(4,0)的直线l交于A,B两 姓名 点，且OA⊥OB (1)求抛物线C的方程； 得分 (2)过点Q(1,一4)且不过点P(4,4)的直线与抛物线交于C,D两点，若直线PC,PD的斜 率都存在且分别为k1,k2,试问1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明 理由 选择题 答题栏 4“““““ 1 2 3 ..c... 4 5 6 7 8 数学·周测卷（二十三）第3页（共4页） 鱼跃龙门卷 ￥已知抛物线C:y2=2px(p>0),点F为焦点，点M,点N是抛物线C上任意不重合的两点.当 线段MN为通径时，其长度|MN|=4. (1)求抛物线C及其准线的方程. (2)若直线MN过点A(2,1),且向量AM+AN=0,求弦长|MN|. (3)若以线段MN为直径的圆过点F,求△MFN面积的最小值. 数学·周测卷（二十三）第4页（共4页）高三一轮复习周测卷 所以双曲线的焦点坐标为（士√3,0），渐近线方程为 y=士√2x. (2)设P(m,n),则2m2-n2=2,由题意得过点P且 与渐近线垂直的直线方程为，y一n= 2 (x-m), y=√2x, m+√2n 3 联立 -n=、2 得 (x-m), y-V2m+2n 3 所以P,(m+2n,V2m+2r\ 3 3 y=-√2x, x=m-2n 3 联立 得 =2(x-m), y=—2m+2n 3 所以P,(m-2n,-2m+2) 3- 3 所以Pp=(2m+2n,20-),PP 3 3 （2m2En,-2m-2）, 3 3 所以PP.Pp:=2n-2m)(-2m-V2n) 9 W2m-n)(-√2m-）=4m2-2m2+n2-2m2 9 2m2-n22 9 即F叩- (3)设切点M(s,t),则切线l的方程为sx十ty=2,且 s2+t2=2, x2+y2=2, 22 3 1s/23 xy=1解得 3 由 所以 21, x2= 4 √6 3 3 <|tl≤w2, 数学（二 一、选择题 1.C【解析】由抛物线的定义知： PF=PM,MF=PF, 所以△PMF为等边三角形， ∠FMN=30°，故|MF|= INF sin∠FMN-sin30=2p=4, ·62 设P(x1y1),Q(x2y2),A(x3y3),B(x4y4), 「sx+ty=2, 由 z2少=1，消去y得21一)x十4x4 2t2=0, 4s -4-2t2 所以x1+x=22-x1x=262- [sx+ty=2, 2-号-0，消去y得(22-)x2+4x-4=0, 由 20, 4s 一4 所以x十4=2x2=22-专， 所以PQ-12+(-)1x1-,1AB1- 1+(-)厂x一x,所以= |PQ1|x1-x21 AB x3-x4 4s 2 16+8t =√(x+x2-4x1x2 2t2-s 2t2-s2 √/（x3十x4)2-4x3x4 4s 2 16 2t2-52 2t2-s2 √16s2+(16+8t2)(2t2-s2) √32t2+16t-8t2g √16s2+16(2t2-52) W√/32t2 -+-, 1 又s2=2-t2,所以 ./1+ 2 4 +--内=+ 因为<11≤反，所以号<<，所以1<分+r≤ 3 3 2,所以1K合+， 即λ∈(1，√2]. 十三) 故|PF|=4. 2.C【解析】记点M(4,0),P(xo,yo),则y=4xo,所 以|MP|2=(xo-4)2+y=x6-8x0+16+4x= (x。-2)2+12,由xo≥0，所以|MP|2≥12，即|MP|≥ 2√3，当且仅当x。=2时，|MP|取最小值2W3.即点P 到点(4,0)的距离的最小值为2√3. ·数学· 3.D【解析】设A（x1,y1),B（x2,y2),则 =21'整理得二=2中=1，因为线段 y2=2px2, x1一x2y1十y2 AB中点的横坐标为7，所以线段AB中点的纵坐标 为4，则y1十y2=8,从而可得p=4. 4.B【解析】设MN与圆O相 切于点D,由题图及切线长相 等可得|MB|=|MDI,|AB|= IAC|,IND|=INC|,所以 M △AMN的周长为2|MN|+ 2AB|=2|MN|+2√AOT2-1,所以S△AMN= 2e1MN1+2Va0)X1-1MN1+ √AO2-1,设A(xo,y),由题意得y。>1,因为 Sae=1MN1·(:+1D,所以MN1+ VIAO-T=21MNI(,+1),所以1MN1= 2WA0-1=26+y6-1-2y8+4y0-1 y0-1 y0-1 yo-1 由1MN1=2T,则2+4。- yo-1 =2√11，解得 =2(,=号合去)，所以AF=y+1=3. 5.B【解析】由题意可得，焦点 F(1,0),准线方程为x=-1,如 M 图，过点P(x,y)作PM垂直于 准线，M为垂足，由抛物线的定义 K 可得|PF|=|PM|=x+1,记 ∠KPF的平分线与x轴交于 PFI Hm,0),-1<m<1,根据角平分线定理可得PK PKT=K,所以x+1 PMI FHI √/(x+1)2+4x +当 x=0时，m=0,当x≠0时， x+1 W√(x+1)2+4x 1 1+4 ∈[停小，所以9<0<1，即 2≤1十m W 0<m≤3-2√2，综上，0≤m≤3-2√2，则m的最大 值为3-2√2. 6.B【解析】对于A:抛物线C:y2=8x的焦点为(2， 0),代入直线l:k.x一y十2k=0得k=0,所以当=0 时，直线1：kx一y十2k=0过抛物线C的焦点，当k≠0 时，直线l:kx一y十2k=0不过抛物线C的焦点，故 A错误；对于B:直线l:kx-y+2k=0→(x+2)- ·63 参考答案及解析 y=0,令x+2=0,y=0得直线1过点(-2,0)，将 (-2,0)代入圆0：x2十y2=9有(-2)2十02=4<9， 所以点（一2,0）在圆O的内部，所以直线1与圆O相 交，故B正确；对于C:因为直线l:kx一y十2k=0过 点（一2,0），圆心O(0,0)到直线1：kx一y十2k=0的 距离为d= 12k ，所以直线1与圆O相交弦长为 √2+1 2N-d2=29k2+1 4k2 4 =2 9- ,当及趋 1 1+ 近于+o∞时，2√r2一d产趋近于2√5，故C错误；对于 {x2+y2=9, D:由y2=8x 得x2十8x-9=0,得x=1或x= 一9（舍去），当x=1时，y2=8,得y=土2√2，所以圆O 与抛物线C的公共弦长为4√2，故D错误. 二、选择题 ACD【解析】连接DE,则DE 为圆E的半径，过A作准线的 垂线，垂足为S,过B作准线的 垂线，垂足为T,连接AF,FB, 如图，对于A,21DE引=|AS+ IBTI=FAI+FBI=ABI, 则A,B,F三点共线，A正确；对于B,由AB为直径， 得∠ADB=90°，而|AD|=√3|BD|,则∠DAB=30°， 而△DAE为等腰三角形，则∠ADE=30°，∠SAD= 30°，于是∠SAF=60°，即直线1的倾斜角为60°，其 斜率为3，B结误：对于C,点P(,o),直线AB的 方程为y=(。一》，面(：引限 y2=6x, 4红-20x十9=0，解得x4-号x:,则1AP1- 9 8+9-6,BF=+号-2，即AF-3BF1, C正确；对于D,由|AF|=6,|BF|=2,得AB|=8, 则圆E的直径是8，其半径为4，D正确. ABD【解析】设直线AB的解析 式为x=my十1，联立 化1消去得少=my一 4=0,△=16m2+16>0,所以yA+ yB=4m,yAyB=一4.由抛物线定义 知，AF|=xA+1,|BF|=xB+1,所以|AF|+ 4BF三EA+4n+5=+后+5=会+十 4 5≥9，当且仅当y=8时等号成立，故A正确；设点 高三一轮复习周测卷 O到直线AB的距离为d,则S△AoF= 2d·|AF|, Same-d·BF,所以Ag 2d·1AF1 S△BOF 1 2d·IBF BP=2,所以1AF=2BF,所以xA+1=2a+1D, AF 即xA-2xm=1.因为xAxB=ya ·=1,所以 16 2B,所以xA-2xB=xACA 2=1,解得xA= 2或4=一1舍去，则号，所以1A81 24十1十十1=号故B正确：因为O·0店= xxB十ya=1-4=-3<0,所以∠A0B>2,故 C错误；由抛物线的定义知，|PA|+AF|的最小值 是点P到抛物线准线x=一1的距离，所以|PA|+ |AF|的最小值为6，又|PF|=5,所以△PAF周长 的最小值是11，故D正确. 三、填空题 9.2【解析】抛物线C:y2=4x的焦 点为F(1,0),则点P到直线x= 一1的距离为|PF|,作FM垂直 l2:3x+4y+7=0于点M,所以 d:+d2的最小值为MF|= 13+7=2. √32+42 10,3)3【解析】由点A的坐标为(1,2) 且AF⊥x轴得F(1,0),即p=2,抛物 线方程为y2=4x,设B(x1,y1),O C(x2,y2),则 yi=4x1'相减可得 y=4x2, (y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),BC 所在直线斜率kc=1一y?=4 ,记BC中点 x1一x2y1十y2 为D,又由F为△ABC的重心，可知AF=2FD,设 点D(m,n),则(0，-2)=2(m-1,n),可得 2(m-1)=0 0,解得m=1,即点D(1,-1),所以 2n=-2, n=-1, 4=4。=一2，所以BC所在直线方程为 kc=y十y2-2 y+1=-2(x-1),即y=-2x+1,联立方程 /y=-2x+1, 得4x2-8x+1=0,△=(-8)2-4× y2=4x, ·6 1 4>0,由根与系数的关系可得x1工2=4，x1十x= 2,得|x1-x2|=√/(x1十x2)2-4x1x2=3,故 、1 △ABC的面积为S-S△ADB+SAAc=2·|AD|· 1z,-=}×3x-33 2 *3【解析】设直线的方程为工=my十号，点A(x1, y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线y2=2px,整理得 y2-2pmy一p2=0,由根与系数的关系得y1+y2= 2mpyy2=-p.kw十kM=y1十y2 my+p my2+p 2y1y2+p(y1+y2) -2mp2+2mp2 (my,p)(my:p)(myp)(my:) 到∠AMF=∠BMF,由二倍角公式tan∠AMB= 2tan∠AMF 1-tan2∠AMF =2√2，又∠AMF是锐角，则 ∠AMF-受过A作AHLz轴， A AH AA'⊥准线，tan∠AMF= MH -号梨据龍物线的定文， IAAI=AF,故sin∠AFH-号，则AB的颜斜角 为或者不，可得1m=1,根据弦长公式，AB √1+m2·√(y1+y2)2-4y1y2=4p=12,则p=3. 四、解答题 11.解：(1)设点M(x,y),根据题意可知x≠士2， 直线AM的斜率为w=产2直线BM的斜率 即可得是w一w一千2产2一4， y 整理可得y=x2-4(x≠士2. (2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E为y= x2(x≠士2). 设D(x1y1),E(x2y2), 联立曲线E和直线1可得y=3x+2, y=x2, 整理可得x2-3x-2=0,△=9+8=17>0， 所以x1十x2=3,x1x2=-2, 因此OD·OE=x1x2十y1y2=x1x2十(x1x2)2= -2+4=2. 12.解：(1)设过点E(4,0)的直线1的方程为x= ·数学· my+4, 令A(x1,y1),B（x2,y2),联 立p2=2x, x=my+4, 得y2-2pmy-8p=0, ON 则y1十y2=2pm,y1y2=-8p, D 4Q B 故x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+ 16=16, 又OA=(x1,y1),OB=(x2,y2), 由OA⊥OB,则OA·OB=x1x2+y1y2=16 8p=0, 则p=2,故抛物线C的方程为y2=4x. (2)由P(4,4),显然，过点Q(1,一4)的直线斜率不 为0， 故设直线CD方程为x=t(y十4)十1，C(x3,y3), D(x4y4), 由=y+4)+1得)2-4y-161-4=0, y2=4x, △=16t2-4(-16t-4)=16(t2+4t+1)>0, 獬得t>√3-2或t<-√3-2， 则y3十y4=4t,y3y4=-16t-4, 故x3十x4=t(y3十y4十8)十2=4t2+8t十2， x3x4=(ty3+4t+1)(ty4+4t+1)=t2y3y4+t(4t+ 1)(y3+y)+(4t+1)2=16t2+8t+1, 4,?=44 又，=y3一4， ,-4所以k2=y:一4 x3-4 y4-4 y3y4-4(y3+y4)+16 x4-4 x3x4-4(x3十x4)十16 -16t-4-4×4t+16 -32t+12 16t2+8t+1-4(4t2+8t+2)+16=-24t+9 专故：为定值 3 *解：(1)因为通径长为2p,所以2p=4,p=2. 所以抛物线Cy2=4x,准线方程为x=一1. (2)由题意知点A为MN中点，且直线MN的斜率存 在且不为0， 设直线MN的斜率为k,则直线MN:y一1=k(x一2)， 联立P-1=红一2》'可得y-4y十4-8张=0， y2=4x, 数学( 一、选择题 1.D【解析】由题意得椭圆的焦点坐标为(-2,0)，(2， 0),即c=2,b2=21,所以a2=b2+c2=25,所以a= 5,则椭圆的离心率e=C=2 a 5 ·65 参考答案及解析 设点M(x1,y1),N(x2y2), 4-8k 所以y+y2三=2，得=2，所以y1·y2户 k -6. 于是|MN|=/1+ ·√y+y2)2-4yy2= 1 5 4 √28=√35. (3)因为F(1,0),显然直线MN的 斜率不可能为零， M 设直线MN:x=my十n, 2=4x,可得y2-4my一 由 x=my+n, 4n=0, 则△=16m2+16n>0,即m2+n>0, 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3十y4=4m,y3y4= -4n, 因为以线段MN为直径的圆过点F, 所以FM·FN=0,即(x3-1)(x4-1)+y3y4=0, 即(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4=0, (m2+1)yay4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=0, 将y3十y4=4m,y3y4=-4n代入得4m2=n2 6n+1, 则有4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1，且n2-6n十1≥0， 解得n≥3+2√2或n≤3-2√2. 设点F到直线MN的距离为d,所以d=n-1L V1+m' |MN|=√(xg-x4)+(y3-y4)2=√1+m|y3 y4l=√1+m2·√16m2+16n =√/1+m2√/4(n2-6n+1)+16n =2√1+m1n-1|, 所以△MFN的面积S=号×MNXd=号× 21+m1m-1l×ln-1=(u-1), √1+m 而n≥3十2W2或n≤3-2√2， 所以当n=3-2√2时，△MFN的面积Smm= (2-2√2)2=12-8√2. 十四) 2.C【解析】由题意得F(1,0),设直线l:y=(x一1)，联 立C:y2=4x得k2x2-(2k2+4)x十2=0，△=4k+ 16+16-4=162+16>0,则x,十，=2+4. 2, x1x2=1,故|AB|=W1十2·√J(x1十x2)2-4z1x2=