周测卷(十六)数列的通项公式和求和-【鱼跃龙门卷】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

2026一2027学年度高三一轮复习周测卷（十六） 数学·数列的通项公式和求和 （考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知无穷等比数列{an}的公比为q,其中|q|<1,其前n项和为Sm,下列条件中，能使得 2a1(m∈N)恒成立的是 3S.<1-g 1 A.a1=1,9=2 11 B.a1=29=3 C.a1=-1,g=- 2 na=g-号 2.若数列{a,}满足=p(p为常数，m∈N,m≥1)，则称{an}为“等方比数列”.甲：数列(a,}是 等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则 A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既非充分也非必要条件 3.已知数列满足a1十2a2十3a3十…十nam=n2,设bn=nam,则数列{ 1 的前2025项和为 b.bn+1 A98附 R18 C4048 4049 n98 4.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销 售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额 为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（参考数据： 1.310≈13.79) A.3937万元 B.3837万元 C.3737万元 D.3637万元 数学·周测卷（十六）第1页（共4页）】 16 」鱼款龙门卷 5.欧拉函数p(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数，例 如：p(1)=1,p(3)=2.数列{am}满足an=p(2”),其前n项和为Sm,则S1o= A.1024 B.2048 C.1023 D.2047 6.若等差数列a.》满足a1g=2则1 1 1 十…十 41+242十2 442o25十2 2025 A.2025 B.2025 C.2025 2 4 D. 8 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.已知数列{an}满足a1=l,am+2=(-1)m+1(an一n)十n,记{an}的前n项和为Sn,则 A.a48十a50=100B.a50-a46=4 C.S48=600 D.S49=601 &已知数列Q,的前n项和为S.耳满足a,十2a,+…+2a,二”2(a∈N),题 A.a1=1 B.a=n1 2 C.{an}为递减数列 D.Sn=4-n+2 2n-1 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角 三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A,A8=1,如果把图2中的直角三角形继 续作下去，记OA1,OA2,…,OAm的长度构成的数列为{am},则am= ；若bn= 1 (n+1)am十nam+1 ，则数列{bn}的前2025项和S2o25= As ICME-7 图1 图2 10.设函数f(x)=ln(√x2十1十x),数列{an}满足f(am一n)十f(am+1一(n一1)=0，则数列 {am}的前100项之和为 数学·周测卷（十六）第2页（共4页） 16 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.（20分) 姓名 已知数列{an}满足a1=1,an+1an=am一2am+1· (1)求{am}的通项公式； 得分 (2)记{an}的前n项和为Sn,求证：S<2. 选择题 答题栏 4““““ 1 2 3 ....... 4 5 6 7 8 数学·周测卷（十六）第3页（共4页） 鱼跃龙门卷 12.(20分) 已知整数数列{an}满足2am=am+1十am-1(n≥2)，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且 b1十b2十b3=14,b1b2b3=64.数列{cn}满足an=cnbm.数列{am},{cn}的前n项和分别为Sm, Tm,其中n2<2Sm<(n十1)2. (1)求Sn和bm (2)用[x]表示不超过x的最大整数，求数列{[Tm]}的前2025项和M2025· 数学·周测卷（十六）第4页（共4页）·数学· (), 所以工.=5(3)°+7…（号）》+9（号）+…+ (2m+3)(号)， 则gT.=5…(3)广+7(3)°+…+(2m+1)… (3)》+(2m+3).(3)八， 两式相减可得，号r.=5+2[(兮)+()+…十 (3）]-(2m+3)·(3) -1a+传广 1-3 =6-(3)-(2m+3).(3)月 =6-(2m+6)(}), 所以工，=9-n+3)(号) *解：(1)由a+1=an十an+2可得am+2=a+1一an, 故a3=a2-a1=一3-1=-4，a4=a3-a2=-4十 3=-1,a5=a4-a3=-1十4=3，a6=a5-a4=3十 1=4, 数列{am}的前6项分别是1，-3，-4，-1,3,4， 前6项的和为1-3-4-1+3+4=0. (2)由an+1=am十am+2可得am+2=am+1一am, am+3=am+2一am+1=an+1一am一am+1=一am, an+i=an+3-an+2=(-an)-(an+1-an)=-an+1; 数学（十 一、选择题 1.C【解析】因为g<1,所以S.=a1-g), 1g,由 <。a》风为1g6所以 3a1(1-g”)<2a1.若a1>0,则3(1-g)<2→q”> 号恒成立，所以AB不正确；若a1<0,则3(1-g)> 2→9<3恒成立，所以D不正确，C正确， 2.B【解析】若{an}为等比数列，设其公比为q,则 定-()-=办为容数所以a或等比 数列，即{an}是等方比数列，故必要性满足.若{am} ·43 参考答案及解析 am+5=amt4一am+3=(一an+1)一（-an）=an一an+1, am+6=an+5一am+4=(am一an+1)-（-a+1)=am, 所以数列{an}以6为周期的周期数列， 且S6=a1+a2十a3十a4十a5+a6=a1+a2+(a2- a1)-a1-a2+(a1-a2)=0, 由题意 S1492=248S6+a1十a2十ag十a4=a1+a2+(a2-a1)- a1=1985, S198s=330S6十a1十a2十a3十a4十a5=a1十a2十(a2- a1)-a1-a2=1492, n2a2-a1=1985, 即 a1=-999, 解得 a2-a1=1492, a2=493, 所以S2o2s=337S6十a1十a2十a3=a1+a2+a3= -999+493+[493-(-999)]=986. (3)不存在，理由如下： 由题意，Tm=a1a2a3…am, Tm+6-Tmam+lam+2am+3am+4am+sam+6, Tm+12-Tm (am+lam+2am+3am+iam+sam+6)2, 因为am≠0(n∈N*), 所以am+1am+2am+3am+4am+5am+6≠0， 所以Tm,Tm+6,Tm+12成等比数列，且公比 q-am+lam+2am+3am+4am+5Qm+6' 所以Tm+6=Tmq,Tm+12=Tmq2, 若存在m∈N*,使得Tm+6=Tm十Tm+12,则有Tnq= Tn+Tmq2, 而Tm≠0，则有q=1十q2,即g2-q十1=0， 面g+1-(g-2)产+>0， 因此不存在m∈N,使得Tm+6=Tm+Tm+12: 六) 是等方比数列，即{a}成等比数列，则{am}不一定为 等比数列，例2,2，-2，-，2，有费- (士2)2=4，满足{an}是等方比数列，但{am}不是等 比数列，充分性不满足， D【解析】由题知，数列满足a1十2a2十3a3十…十 nan=n2,设bn=nan,{bn}的前n项和为Tm,则Tm= n2.当n=1时，T1=b1=1,当n≥2时，bn=Tm- Tm-1=n2-(n-1)2=2n-1,检验：当n=1时，b1= 1一 1=T1,符合，所以b。=2m-1.令c.=b.b+ 1 1/11) (2n-1)(2m+1)22n-12m+1,设前n项和 高三一轮复习周测卷 为S,则S2025= 2[（(1-3)+(3-)+…+ (a】-1-4)-8 2025 4.A【解析】设该公司在2024年，2025年，…，2033年 的销售额（单位：万元）分别为a1,a2,…,a1o.依题意 可得am+1=1.3an-3(n=1,2,…,9),则am+1-10= 1.3(am-10)(n=1,2,…,9),所以数列{am-10}是 首项为90，公比为1.3的等比数列，则am一10=90× 1.3m-1,即an=90X1.3m-1+10,则a1+a2十…+a10= 10×10+90×(1-1.30) 1-1.3 ≈100+300×(13.79 1)=3937,故从2024年到2033年该产品的销售总 额约为3937万元. 5.C【解析】根据欧拉函数的定义可得a1=p(2)=1, a2=p(22)=2,a3=p(23)=4,a4=p(24)=8,一般 地，am=p(2")=2”-1.事实上，p(2”)表示从1到2” 的正整数中，与2”互质的正整数的个数，相当于去掉 从1到2”的正整数中所有2的倍数的个数（共2”-1 个数)，因此，an=p(2”)=2”一2-1=2-1，所以S10= 1+2+4+…+2°=1023. 6.C【解析】由等差数列{a,)满足a1os= 2,则对于 p,q∈N',当p十q=2×1013时，ap十ag=2a1o13= 1,则1 +1 4°+4°+4 4+24+24,+ag+2·4+2·4?+4 4p+49+4 1 4+2·4+2·4十4=2，设Ses= 1十 41+2 1 +…十1 ,则S2025= 1十 42+2 4225十2 4225十2 1 4224+2 1,两式相加可得2S2s=2025× 41+2 解得5=2025 1 4… 二、选择题 7.BCD【解析】因为a1=1,an+2=(-1)+1(am一n)十 n,所以当n为奇数时，am+2=an=a1=l;当n为偶 数时，an十am+2=2n.所以a48十ao=96,选项A错 误；又因为a46十a48=92,所以a50一a46=4,选项B 正确；S48=a1十a3+a5十…+a4十[(a2十a4)十 (a6+a8)+…+(a46十a48)]=24×1+2×(2+6+ …十46)=24十2×(2+46)X12=600,故C正确， 2 S49=S48十a49=600+1=601,选项D正确. 8.AD【解析】当n=1时，a1= 1十1=1，故A正确： 2 ·44 当n≥2时，a1+2a2十…十2"-2am-1= a-1)m-D,又a1+2a4十…+2a.-nn 2 2 (n∈N),两式相减得2-a.=n+n 2 a-1a-D=所以a.=2m≥2，当m 2 1时，a1=1适合上式，所以a.=2,故B错误；所 以a,-1=2”-公号-2，所以a,=a当 n≥3时，an<am-1,所以{an}从第二项起是递减数 列，故C错误8十号+会+…十品，所以 1 1 _1L23 1,1 2品所以8=4是品= 2n 2十2+… 4一+导故D正编 三、填空题 .m1- 1【解析】由题意知，OA1=AA2= √2026 A2A3=…=A7Ag=1,且△OA1A2,△OA2A3,…, △OA,Ag都是直角三角形，所以a1-1,且a员=a员-1十 1,所以数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数 列，所以a?=1十(n-1)×1=n,又am>0,所以am= √m.由b,=(m+1)a.十nan+ 1 ,得bn= 1 1 (n+1)Wn+nWn+I√n(n+1)(√n+I+√n) 器店本u发 结++(2晒21 √/2026 10.4950【解析】f(x)的定义域为R,且f(x)+ f(-x)=ln(Wx2+1+x)+ln(√x2+1-x)= ln(x2十1-x2)=0,所以f(x)为R上的奇函数.又 因为y=x,y=√x十1在[0，十∞)上都是增函数， 所以f(x)=ln(√Jx2+1+x)在[0，+∞)上是增函 数，根据f(x)为R上的奇函数，从而可知f(x)为 R上的增函数，所以f(x)为R上单调递增的奇函 数，所以由f(am一n)十f(am+1-(n-1)=0,得 an-n十am+1-(n-1)=0,即anm十am+1=2n-1,故 S1o=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(ag9+a1oo)= 1+5+…+197=50×1,+197)=4950. 2 ·数学· 四、解答题 11.(1)解：由题设条件，可得若an≠0，则am+1≠0， 用反证法，假设am+1=0,由题设条件，显然an=0, 这与已知条件矛盾，所以am+1≠0. 因为a1=1≠0，所以a2≠0，a3≠0，…， 所以Hn∈N*,an≠0， 由a+10,=a,-2a1得1-2=1， an+l an 所以+1=2(+， an+1 又1+1=2≠0， 所以二+)是首项，公比均为2的等比数列。 所以1+1=2，则a.=2一 1 (2)证明：显然当n=1时，a1=1<2成立， 当n≥2时，2m-1≥22-1-2>1， 所以2<1，所以2-2>1， 所以21(2-2）>1×2，即2-1>2>0， 11 所以a.=2-1<2 所以S,=at+a:+a,+十a,<1+号+} 4 1 =2(1-)<2 综上，Sn<2,得证 12.解：(1)当n=1时，1<2S1<4. 又因为am∈Z,所以a1=1, 设a,=1+(n-1)d,则S.=n+n(n。-1》 2 d, 数学（十 一、选择题 1.A【解析】设球O的半径为R,则圆柱的底面圆的 半径为R,高为2R,所以πR·2R=16π，解得R= 2,侧则球0的体积为号R-2元 3π 2.A【解析】不妨设长方体礼物盒的长、宽、高分别为 4a(a>0),4a,a,由于方式①中包装绳与礼物盒棱的 交点均为棱的四等分点，所以方式①中包装绳长为 4×a2+a+4×√a2+(2a)7=4(W2+5)a;由于 方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点， ·45 参考答案及解析 依题意，n2<2n十n(n-1)d<(n+1)2, (1-d)n+d-2<0, 得 恒成立，解得d=1, (d-1)n2-dn-1<0 1 所以a.=,S,=2n(n十1)， 设等比数列{bn}的公比为q,b1+b2十bg=14, b1b2b3=64. 所以b1+b1q+b1q2=14,bq3=64. 得b1q=4,联立得2q2-5q十2=0， 解得g=2或g=(合去).代入6,9=4中，解得 b1=2, 得数列{bn}的通项公式为bn=2. 26,是， T.2++品+…+是 12,3, 2n 1,213 20+1②， 2T.2212+…+” 0-@,得2r.=2 111 22十2+…+ 1 n 22m+1= 1n+2 2n+1, 即T.=2-"+2<2, 当n=1时，2n+2,不1=2-12=0.5， 2 所以[T1]=0; n≥2时，2≥1+C+C-1+n+nn,+1)>≥n+2, 2 所以1<Tm<2,所以[Tm]=1, 所以M225=2024. 七) 所以方式②中包装绳长为4×a+4×4a=20a,所以 使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为 4(W2+5)a_√2+5 20a 5 B【解析】如图，设正四面体的棱 长为a,正三角形BCD中，BH= _3 3a,正四面 D B∈ 2