周测卷(十五)数列的概念、等差数列与等比数列-【鱼跃龙门卷】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

15 2026一2027学年度高三一轮复习周测卷（十五） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设等比数列{an}的公比为q,且a1>0,设甲：9>1；乙：am+2>am,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2.已知正项等比数列{am}中，a1=1,Sn为am的前n项和，S5=5S3一4，则S4= A.7 B.9 C.15 D.20 3.谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图 1),沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小 三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图 1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是 图1 图2 图3 图4 A2图 9√3 B. 16 C.273 D.373 64 64 4.在公差不为0的等差数列(a,}中，若a是a:与a,的等差中项，则 +4的最小值为 y 9 D. 数学·周测卷（十五）第1页（共4页） 15 鱼跃龙门秦 5.已知数列{am}中，a2=1,记Sn为{an}的前n项和，2Sn=nan,则a2o25的值为 A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 6。已知数列{a,}满足a1=10,a+1一0=2，则2"的最小值为 n n 1 A.2 27 C. 4 D.2√/10-1 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.设数列{an}的前n项和为Sm,a1=6,am+1十2=am,则 A.{am}是等比数列 B.{am}是单调递增数列 C.{an}是单调递减数列 D.S,的最大值为12 8.已知各项均不为零的数列{am},其前n项和是Sm,a1=a,且Sm=amam+1(n=1,2,…).下列说 法正确的是 A.a2=1 B.若{an}为递增数列，则a的取值范围是(0,1) C.存在实数a,使得{an}为等比数列 D.m∈N,使得当k>m时，总有a<20.1 02k-1 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。带题目为能力提升题，分值不计入总分。 9.数列满足下列条件：a1=2,且Vn∈N',恒有a2n=am-n-1,则a256=· 10.已知非零数列{am}的前n项和为Sm,且a1=3,a2=1,am+1am十3Sm-1十6Sm+1=9Sn(n≥2)， 则am= *已知平面向量a,满足a1=（1,0),且对任意正整数，有a1=a。十(e0s,sin"),设，= |am|2,若数列{bn}的前m项和Sm=2025,则正整数m= 数学·周测卷（十五）第2页（共4页） 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。带￥题目为能 力提升题，分值不计入总分。 姓名 11.(20分) 得分 已知数列{am}的各项均为正数，前n项和为Sn,且a1=1,√Sm+1是1一Sm与Sm+1的等差 中项。 (1)证明：数列{√S,}是等差数列； (2)设bn=(一1)”·(Sn十am),求数列{bm}的前2n项和T2m· 选择题 答题栏 1 :3 4 6 2 8 12.(20分) 已知数列{am}满足am+1-3am一4，且a1-3,数列{bn}满足b1-a2,且点P(bn,bm+1)在直线 x-y十2=0上，其中n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； ②设c,二”2求{c}的前n项和T, 数学·周测卷（十五）第3页（共4页） 鱼跃龙门卷 *已知数列{an}满足am+1=am十am+2(n∈N*). (1)若a1=1,a2=一3，请写出该数列的前6项，并求出前6项的和； (2)设数列{an}的前n项和为Sn,如果S1492=1985,S1985=1492,求S2o25; (3)若an≠0(n∈N*),设Tm=a1a2a3…am,是否存在m∈N,使得Tm+6=Tm十Tm+12？若存 在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 数学·周测卷（十五）第4页（共4页）·数学· 数学（十 一、选择题 1.C【解析】等比数列{am}的公比为q,且a1>0,当 q>1时，am+2-am=a1q-1(g2-1)>0,因此an+2> am;当am+2>am时，有ag>a1,即a1q>a1,而a1> 0,则g2>1,又Hn∈N",am+2-an=a1g"-1(q2-1)> 0,于是q”-1>0,即q>0,又q2>1,因此q>1,所以 甲是乙的充要条件. 2.C【解析】设等比数列{an}的公比为q,依题意有 q>0,又a1=1,当q=1时，S5=5≠5S3-4=11,故舍 去，当g≠1时，因为5，=5S,-4,则11二9）-5× 1-q a1一g）-4,化简得g-5g2+4=0,即(g2-4) 1-g (g2-1)=0,又q>0,且q≠1，所以q=2,故S4= 2g2》-9-1 3.D【解析】第一种挖掉的三角形边长为2×}-1， 共1个，面积为1X(×1)-第二种挖兼的三 角形边长为1×}共3个，面积为3×[× ()门-，第三种挖掉的三角形边长为号× 日共9个，面积为9××()门-故 1-1 被挖去的三角形面积之和是3+33+93373 4+16千64 64 4.A【解析】因为在公差不为0的等差数列{an}中， a3是ax与a,y的等差中项，所以2a3=ax十ay,所以 ￥+)≥(+2任·钙)-8当且仅当2 好，即x=2y=4时等号成立，所以+号的放小 值为2 5.B【解析】数列{am}中，满足2Sn=nam,当n≥3时， 可得2Sm-1=(n一1)am-1,两式相减，可得2an=nam (m-1a。-1,即(n-2)a,=(n-1)a-1,所以a= an-1 m-2又由a2=1,则a20=a2Xa×24X…X n-1 a3 ·41 参考答案及解析 五)》 a2025=1X 、2024 ￥3X…X20232024. a2024 B【解析】因为数列(an}满足a1-10,a+一a: n 2,即am+1-an=2n,当n≥2时，则有am-am-1= 2(n-1),所以a2-a1=2,ag-a2=4,…,an-an-1= 2(n-1),上述等式全部相加得am一a1=2+4+…十 20n-1）=2+2m-2》n-1)=m2-n,所以a,= 2 n2-n十a1=n2+10-n,a1=10也满足am=n2+ 10-n,故对任意的n∈N,a,=2+10-n,所以2= n2+10-n=n+10 1，由对勾函数的单调性可知， n n 函数y=x+”-1在(0,0)上单调递减，在 (√10，十∞)上单调递增，又因为3<√10<4，因为 g-8+9-1-5=4+号-1-号故g登 ,101 5 3’4 34 所的是小值为号9 、选择题 CD【解析】根据题意，数列{am}中，am+1十2=am, 则有am+1一an=一2，对于A,{an}是等差数列，A错 误；对于B,am+1一an=一2，是公差为负的等差数列， 所以{am}是单调递减数列，B错误；对于C,由B的结 论，C正确；对于D,{am}是等差数列，a1=6,公差为 d=-2,则am=a1+(n-1)d=6-2(n-1)=8- 2n,令am=8-2n≥0，可得n≤4，则n=3或4时，Sm 最大，且S的最大值为S3=6十4十2=12，D正确. ABD【解析】由Sn=anam+1(n=1,2,…)得Sn+1 an+2an+1,相减可得Sn+1一Sn=am+2am+1一an+1am, 即an+1=an+1(an+2一an),由于{am}各项均不为零， 所以an+2一am=l,所以{an》的奇数项和偶数项分别 是公差为1的等差数列，对于A,a1a2=S1=a1,a2= 1,故正确；对于B,由于{an}的奇数项和偶数项分别 是公差为1的等差数列，所以a2m-1=a十(n一1)， a2m=n,若Vn∈N",am+1>am,则需要Hn∈N", a2m+1>a2m>a2m-1→a十n>n>a+(n-1),则0<a< 1,故正确；对于C,a2m-1=a十(n一1)，a2m=n,若 am1a+(n-)为常数，则a= {a》为等比数列，则a”= n 1,此时，0”-1，故a2a-1=,an=n,进而可得数列 a2m-1 的项为1,1,2,2,3,3，…，显然这不是等比数列，故错 高三一轮复习周测卷 误对于D,者。十<，只要及足够 k 大，一定会有a十长-1>0，则十套>2→ “>2-1,只要及足够的大，“名趋近于0，而 2-10,星然能满足后>2-1，散3m∈ N,当>m时，总有a<21,故正确。 a2k-1 三、填空题 9.一261【解析】因为a2m=am一n一1，所以a256 a128-(128+1)=a128-(2+1)=a64-(26+1) (27+1)=a32-(2+1)-(2+1)-(2+1)=…= a1-(2°+1)-(2+1)-…-(2+1)=2-(2°+1) (2+1)-…-(2+1)=2-(2°+2+…+2)-8= _1×(1-2）-6=-261. 1-2 10.2-1【解析】因为a+1a,十3S。-1十6S+1=9S。 (n≥2)，所以当n=2时，a3a2+3S1+6S3=9S2,又 因为a1=3,a2=1,可得a3十3×3+6×(3+1十a3)= 9X3+1,解得a,-,由a,1R,+3S.1+65= 9Sn(n≥2)，可得am+1am=3(Sm-Sm-1)-6(Sn+1 S,),即a+1a.=3a,-6a41则3-6=10m≥2》， an+l an 又由上 14 1+ 所以数列+引为从第二项起涂 a3 项为分公比为2的等比数列，则十写号2 名可符-号，经检壁a=3关足上式，所 4,即数列e,的爱项公式为a, “2025【解折】已知a:=(1,0).a=a.+(cos2 sim2）,则a,=a1+(cos,sin）=a,0)+0,1D= (1,1),a3=a2+(cosx,sinx)=(1,1)+(-1,0)=(0, 1Da,=a,+(eos经n）=0,1D+0,-1D (0,0),as=a4+(cos2π，sin2x)=(0,0)+(1,0)= ·4 (1,0),由此可发现向量am的坐标以4为周期循环，又 bn=am12,当n=1时，b1=|a112=12+02=1,当n= 2时，b2=a2|2=12+12=2,当n=3时，b3=a3|2= 02+12=1,当n=4时，b4=|a412=02+02=0,所以 数列{b}是以4为周期的周期数列，且一个周期内的 和T=b1+b2十b3+b4=1+2+1+0=4,设m=4k十 r,其中k∈N,r∈{0,1,2,3)，则Sm=T+2b:,因为 1 Sm=2025,2025÷4=506…1,即k=506,r=1,所 以m=4×506+1=2025. 四、解答题 11.(1)证明：因为√Sm+1是1一Sm与Sm+1的等差中项， 所以2√Sn+1=1-n十Sm+1, 所以S=1+Sn+1-2VS+1=(√Sm+1-1), 因为数列{an}的各项均为正数，所以Sm>0, 所以√Sm=√Sw+1-1,所以√/Sm+1一√Sm=1, 所以数列{Sm}是公差为1，首项为√S1=√a1=1 的等差数列. (2)解：因为数列{√Sm}是公差为1，首项为√S1=1 的等差数列， 所以√Sm=1+(n-1)×1=n, 所以Sn=n2,当n=1时，a1=1, 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1, 所以am=2n-1, 所以bn=(-1)”·(Sn十an), Tzn=-S1-a1+S2+a2-S3-a3+S4+a4+…+ S2m十a2m =(S2-S1)+(S4-Sg)+…+(S2m-S2m-1)- (a1-a2+…-a2m) =a2十a4十…十a2m-(a1-a2十…-a2m） =-(a1+a3+…+a2m-1)+2(a2十a4+…十a2m) __n(ajtam-1)+2xw(a:taz) 2 2 =-n1+4n-3）+2Xn(3+4n-1） 2 2 =-n(2n-1)+n(4n+2)=2n2+3n. 12.解：(1)由题意得，am+1-2=3(am-2),a1一2=3 2=1, 所以数列{am一2}是以1为首项，3为公比的等比 数列， 所以am-2=3”-1,即an=3"-1十2. 由题意得，bm+1-bn=2,且b1=a2=5, 所以数列{bn}是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以bn=5+2(n-1)=2n十3. bn2n十3 （2)由题意6，a,一23+2—2=(2m+3)· ·数学· (), 所以工.=5(3)°+7…（号）》+9（号）+…+ (2m+3)(号)， 则gT.=5…(3)广+7(3)°+…+(2m+1)… (3)》+(2m+3).(3)八， 两式相减可得，号r.=5+2[(兮)+()+…十 (3）]-(2m+3)·(3) -1a+传广 1-3 =6-(3)-(2m+3).(3)月 =6-(2m+6)(}), 所以工，=9-n+3)(号) *解：(1)由a+1=an十an+2可得am+2=a+1一an, 故a3=a2-a1=一3-1=-4，a4=a3-a2=-4十 3=-1,a5=a4-a3=-1十4=3，a6=a5-a4=3十 1=4, 数列{am}的前6项分别是1，-3，-4，-1,3,4， 前6项的和为1-3-4-1+3+4=0. (2)由an+1=am十am+2可得am+2=am+1一am, am+3=am+2一am+1=an+1一am一am+1=一am, an+i=an+3-an+2=(-an)-(an+1-an)=-an+1; 数学（十 一、选择题 1.C【解析】因为g<1,所以S.=a1-g), 1g,由 <。a》风为1g6所以 3a1(1-g”)<2a1.若a1>0,则3(1-g)<2→q”> 号恒成立，所以AB不正确；若a1<0,则3(1-g)> 2→9<3恒成立，所以D不正确，C正确， 2.B【解析】若{an}为等比数列，设其公比为q,则 定-()-=办为容数所以a或等比 数列，即{an}是等方比数列，故必要性满足.若{am} ·43 参考答案及解析 am+5=amt4一am+3=(一an+1)一（-an）=an一an+1, am+6=an+5一am+4=(am一an+1)-（-a+1)=am, 所以数列{an}以6为周期的周期数列， 且S6=a1+a2十a3十a4十a5+a6=a1+a2+(a2- a1)-a1-a2+(a1-a2)=0, 由题意 S1492=248S6+a1十a2十ag十a4=a1+a2+(a2-a1)- a1=1985, S198s=330S6十a1十a2十a3十a4十a5=a1十a2十(a2- a1)-a1-a2=1492, n2a2-a1=1985, 即 a1=-999, 解得 a2-a1=1492, a2=493, 所以S2o2s=337S6十a1十a2十a3=a1+a2+a3= -999+493+[493-(-999)]=986. (3)不存在，理由如下： 由题意，Tm=a1a2a3…am, Tm+6-Tmam+lam+2am+3am+4am+sam+6, Tm+12-Tm (am+lam+2am+3am+iam+sam+6)2, 因为am≠0(n∈N*), 所以am+1am+2am+3am+4am+5am+6≠0， 所以Tm,Tm+6,Tm+12成等比数列，且公比 q-am+lam+2am+3am+4am+5Qm+6' 所以Tm+6=Tmq,Tm+12=Tmq2, 若存在m∈N*,使得Tm+6=Tm十Tm+12,则有Tnq= Tn+Tmq2, 而Tm≠0，则有q=1十q2,即g2-q十1=0， 面g+1-(g-2)产+>0， 因此不存在m∈N,使得Tm+6=Tm+Tm+12: 六) 是等方比数列，即{a}成等比数列，则{am}不一定为 等比数列，例2,2，-2，-，2，有费- (士2)2=4，满足{an}是等方比数列，但{am}不是等 比数列，充分性不满足， D【解析】由题知，数列满足a1十2a2十3a3十…十 nan=n2,设bn=nan,{bn}的前n项和为Tm,则Tm= n2.当n=1时，T1=b1=1,当n≥2时，bn=Tm- Tm-1=n2-(n-1)2=2n-1,检验：当n=1时，b1= 1一 1=T1,符合，所以b。=2m-1.令c.=b.b+ 1 1/11) (2n-1)(2m+1)22n-12m+1,设前n项和