周测卷(十一)平面向量(概念、运算、基本定理及坐标表示)-【鱼跃龙门卷】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

2026一2027学年度高三一轮复习周测卷（十一） 数学·平面向量（概念、运算、基本定理及坐标表示） (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。带题目为能力提升题，分值不计入总分。 1若a,b为非零向最，则a=86“是。=6”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知向量a=(1,一3)，b=(2,1),则a在b上的投影向量为 A(-30》 c.(-名-》 D.(层，》 3.已知平面向量a=(-1,1),b=(0,1),若(a十λb)·(a十b)=1(入，∈R,μ≠0)，则 B.P 2+1=1 4.若{e1,e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是 A.{e1-e2,e2-2e1) B.{e1-e2,e1-2e2} C.{2e2-3e1,6e1-4e2} D.{e1+e2,e1+3e2} 5.关于平面向量，下列说法正确的是 A.若ab,b∥c,a∥c B.若a=(入，2)，b=(1十入，一1)，且a与b的夹角为钝角，则入∈（一2,1) C.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a=1,b|=1,|c|=3,则|a十b十c=2 D.若0A+0心=Oi+0D,且A店 AD AC ,则四边形ABCD为菱形 IABI ADI ACI 6.已知a,b为不共线向量，AB=a十5b,BC=-2a十8b,CD=3(a-b),则 A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 数学·周测卷（十一）第1页（共4页） 11 鱼默龙门卷 *已知∠A0B-后，Oi=2,且对任意的∈k,A店≤O成+0A恒成立，则|x0成-O十 xO店-2OA(x∈R)的最小值为 A.25 B.23 C.3 D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.已知单位向量e1,e2的夹角为0(0<0<π)，若平面向量a=xe1十ye2(x,y∈R),有序实数对 (x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记a=(x,y)g,则 下列命题正确的是 A.已知a=(x1,y1)g,b=(x2,y2)9,则a+b=(x1+x2y1十y2)g B.已知OA=(1,0)s,OB=(0,1)=,则线段AB的长度为1 C.已知a=(2,-1D:b=(1,2),则a·b=33 2 D.已知a=(xy)a=1,则x+y的最大值为23 3 8.设a,b,c是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，x∈R,则下列命题中正确的是 A.关于x的方程ax2+bx十c=0可能有两个不同的实数解 B.关于x的方程ax2十bx十c=0至少有一个实数解 C.关于x的方程ax2十bx十c=0最多有一个实数解 D.关于x的方程ax2十bx十c=0若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.已知平面向量a=(1,2),b=(2,5),c=（p,g).若存在实数m,n使得c=ma十nb,并且m+ n=1,且c|=10.则满足条件的所有(p,q)的值对集合为 10.已知同一平面内的单位向量e1,e2,e3,则(e1一e2)·e3的最小值是 ;若e1十e2与e3 不共线，e1十e2十eg-1,x,y,z∈R,xe1十ye2十ze=0,x十y十之=2025，则之十y十 x十yx+之 y+之 数学·周测卷（十一）第2页（共4页） 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分) 姓名 设a,b是不共线的两个非零向量， (1)若OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC=2a-6b,求证：A,B,C三点共线； 得分 (2)若a幼与a+b共线，求实数及的值，并指出当a十h与a十b反向共线时 k的取值. 选择题 答题栏 40““““““” 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·周测卷（十一）第3页（共4页） 」鱼默龙门卷 12.(20分) 如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设e1, e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1十ye2,则把实数对[x,y]叫做向量 OP的“完美坐标”. (1)若向量OP的“完美坐标”为[3,4]，求|OP1; 知z1y1],Lz2y2]分别为向量Q,b的“完美坐标”，证明：a·b=x12十yy2十2 x2y1); (3)若向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx,1],[cosx,1],设函数f(x)=a·b,x∈R,求 f(x)的值域. y e e 数学·周测卷（十一）第4页（共4页）·数学· 数学( 一、选择题 1.B【解标】若a=b,则8-1，有a=86:反之， 取a=2b,8=2,有a=份，面a=b不皮立，所 以。-8b“是a-6的必要不充分条件。 2.C【解析】因为a=(1,-3),b=(2,1),所以a在b 上的投影向量为·合=(-系。，》 3.A【解析】(a十b)·(ua+b)=(-1,1+)· （-4,+1)=+2+1+1=1,所以2μ+入= -,即受+女-1 4.C【解析】对于A,设存在唯一的实数入使e1一e2= (e2-2e1)=ae2-2ae1,则 2以，比方程无帽 故{e1一e2,e2一2e1}能作为平面向量的基底，故A不 符合题意；对于B,设存在唯一的实数入使e1一e2= =入， Ae,-:)=x,-e,则 1-,此方程 1 无解，故e,一e2,e,一2e}能作为平面向量的基底， 故B不符合题意；对于C,由6e1-4e2=-2(2e2 3e1),所以2e2-3e1与6e1一4e2共线，故{2e2-3e1, 6e1-4e2}不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数入使e1十3e2=λ(e1十e2)= e1+λe1,则 1=入'此方程无解，故{e,十e2e1+3e:} 3=λ， 能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 5.D【解析】若b=0,虽然有a∥b,b∥c,但不一定有 a∥c,A错；若a与b的夹角为钝角，则a·b=λ(1十 )-2<0,得x∈(-2,10，但当入=-号∈(-2，) 时，b=一2a,两向量反向，夹角为，不是纯角，B 错；若平面向量a,b,c两两的夹角相等，则夹角为0 或，当夹角为0时，a+b+e=a+b1+1e- 5,当夹角为2时，a+b十c2=a2+b+1c+ 3 2a·b+2a·c+2b·c=1+1+9+2×1×1× (-2)+2x1×3×(-2)+2×1×3×(-2)= 4,即|a十b+c|=2,C错误；若OA+OC=OB+ ·31 参考答案及解析 OD,即OA-O店=OD-OC,则BA=CD,所以四边 形ABCD是平行四边形，则AB+AD=AC,又 商十瑞脚瓷破+ AB AD AC ABI IADI AC,所以AC-AG =1,所以|AB1=|AD|= IABI ADI |AC|,所以口ABCD是菱形，D正确. 6. A【解析】由题设AC=-a+13b,BD=a+5b,又 AB=a十5b,AB=BD,AB与BD有公共端点B,所 以A,B,D三点共线，A对；AB=a十5b,BC=-2a十 8b,不存在λ，使AB=λBC,所以AB与BC不共线， 即A,B,C三点不共线，B错；BC=-2a+8b,CD= 3(a-b),不存在入，使CD=λBC,所以BC与CD不 共线，即B,C,D三点不共线，C错；AC=-a+13b, CD=3(a-b),不存在λ，使CD=λAC,所以AC与 CD不共线，即A,C,D三点不共线，D错. *D【解析】如图， 0 设OC=一AOA,则|AB1≤1OB+λOA|恒成立，等价 于|AB|≤|CB1恒成立，从而有AB⊥OA,故|OA|= cos∠A0B=2cos若=5.设0币=z0i,0克- 2oi,则z0店-ai1+x0i-2oi-1oò-0i1+ 1OD-O1=AD1+1ED1.作点E关于直线OB的 对称点F,连接OF,AP,DF.由题可知OF1=3, ∠F0A=3,OA=3,则Ad1+Ei1=AD1+ 1励≥=J(9)+6-2x×x号= 》,当且仅当F,DA三点共线时取等号。 二、选择题 7.ABD【解析】A:由题设a十b=x1e1十y1e2十x2e1十 y2e2=(x1十x2)e1+(y1+y2)e2,所以a+b= (x十x2y1十y2),故A正确；B:由题设AB= OB-OA=e2-e1,则|AB|=√(e2-e1)2= V6-2a,e,十6-2-2X1X1X2-1,放B正 确；C:由题设a·b-(2e1-e2)·(e1+2e2)-2e+ 高三一轮复习周测卷 30,e,-2ei=2+3X1X1×号-2=号，放C错误： 2 D:由题设|a=√(xe1十e2)=√x2十xy十y2=l,即 x+xy+y2=1,由(x+y)2=x2+2xy+y2=1+ y≤1+x+y)2 ,当且仅当x=y时取等号，则 4 红+≤音放后红+y后即=y-时 31 2十y的最大位为2，放D正确， 8.CD【解析】a,b,c是平面内共始点的三个非零向 量，且两两不共线，x∈R,以a,b作为一组基底，则对 任意向量c,存在唯一的有序数对(m,n),使c=ma十 nb,对于A,由方程ax2十bx十c=0,可得c=-x2a xb,则有m=一x2,n=一x,因为一x与n一一对应， 故方程不可能有两个实数解，故A错误；对于B,若 取6-2a+80,则方程组仁”无，放B结误 对于C,当n+n=-x2-x=-(x+2)》十 (-∞，]时，方程有解，结合A项结论，可知方 程最多有一个实数解，故C正确；对于D,设向量a, b,c的公共始点为O,终点分别为A,B,C,假设A, B,C三点共线，则必存在实数入使AB=λBC,即 AO+OB=λ(BO+OC),整理得OA=(1+λ)OB λOC,由a,b,c为非零向量，且两两不共线，可得入≠ 0,所以0心=(1+)i-Oi,又c=-a xb,所以-x2=1+1, 之，一一上，丙对式之目力扣，—公2 x=1,即x2十x十1=0，该方程无实数解，与题设矛 盾，故假设不成立，即三个向量终点不可能共线，故D 正确. 三、填空题 9.(3-3,=1-9Mm),(3+3m 10 10 10 -1+9)》【解析】由题意，a=(1,2),b=(2, 10 5),c=(p,q),且c=ma十nb,所以p=m+2n,q= 2m+5n,因为m+n=1,所以p=n+1,9=3n十2， 由|c|=√p2+g=10,可得(n十1)2+(3m+2)2= 100,整理得10n2十14n-95=0,解得n= 7-3证或m=二7+3亚 10 10 ，当n= 10 10,9=1-9V17 二7-3正时，p=3-3正，g 10 ·32 当n= -7+3√111 10 时，p= 3+3√111 10 g=-1+9117 10 0.-22【解析】要使(e1一e2)·e3最小，需e1-e2 模长最大，且与e3夹角为元，故当e2,e3同向，且 e2,e1反向时，(e1-e2)·ea=|e1-e2|·|eg|cosπ= 一2，可取得最小值一2；设e1十e2十e3=一e4,即 e1十e2十e3十e4=0,又e1,e2,eg均为单位向量，若 e1,e2共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连一条线段，则 此时e1十e2与e3共线，不符合题意；所以e1,e2不 共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连形成一个菱形，即 e1=-e3,e2=-e4,因为xe1+ye2+ze3=0,x十 y十x=2025,所以ye2=-xe1-ze3=(z-x)e1, 则y=:=0=2,所以千十 x=2. y+z 四、解答题 1.(1)证明：由OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC= 2a-6b, 得AB=OB-OA=6a+2b-(4a-2b)=2a十4b, BC=OC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b= -2(2a+4b)=-2AB, 则ABBC,且有公共点B, 所以A,B,C三点共线. (2)解：由4如十？b与k如十b共线，则存在实数 入，使得4a+ 号h=x(号a+b). 2 即(4-2)a+(2k-x刘b=0, 又a,b是不共线的两个非零向量， 1 4-2=0, 因此 1 (2-A=0, 解得公=2，或A=一2， 或 k=4 k=-4, 所以实数友的值是士4，当是=一4时，4a十2幼与 号a十b反向共线 2.(1)解：因为OP的“完美坐标”为[3,4]，则OP= 3e1+4e2, 又因为e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量， 且夹角为60°， ·数学· 所以e1l=ez=1,e1e2=e,lle,cos60°= 2, 所以1Op|-√(3e,+4e2)=√9e+24e1·e2+16e =9+24×2+16=V37. 1 (2)证明：由(1)知e1·e2=2’ 所以a·b=(x1e1十y1e2)·(x2e1十y2e2) =x1x2e+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y2e2 =:+y+3:+y 1 即a·b=x1x2十y1y+2(xiy+x2y). (3)解：因为向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx, 1],[cosx,1], 由(2)得f(x)=a·b=in0sx+1+号(sinx+ cos x). 令1=sinz十cosx=Esin(x+买），则sinos 2r-w. 数学（十 一、选择题 1.A【解析】如图所示，可知AD= A成+BD=A店+}BC=A店+ M 专证-=号+}- 2a,所以A-3a+号b. 1 2.A【解析】因为点P在BM 上，所以设BP=tBM,则AP AB+BP=AB+tBM=AB+ (4AC-A)=1-)A店+ 1-t= 1 Ad又A护-A店+m·Ad,则 2 解 t 4m, 1 得 m=8 3.B【解折】因为A正-专A正且 点F是DE的中点，所以AF ·33· 参考答案及解析 因为x∈R,所以-E≤Esin(z+)≤反，即 √2≤t≤V2, 令ga)=号g2-10+1+2=2:2+1+1)=日 (e+》+(-2<≤a, 因为g:)的图象是对称轴为：=一？，开口向上的 抛物线的一部分， 1 所以当t=一2∈[一2，W2]时，g()取得最小值 (-2)=8 当：=反时，g()取得最大值g(2)-2×(2+ √2+1)=3+2 2 所以f)的值坡为[，32] 2(A市+A)-(Ai+号A)-2Ai+名A成， 又D成=A店-AD,所以A.D成=（号AD+ 局A)·(店-AD)=-名A市+号A心·A店十 店=-是a:+号a市·A店1os晋+ 6a=-日×+号×2x3x2+日×g-2 A【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F:=0,所 以|F3|=|F1+F2|=√TF12+2F1·F2+F22= 12+2×1x6-2 52cs45+(62)=2.设 F3与F1的夹角为0，则|F2|= √F+F,+2F,F,cos9,即6,2_ 2 √12+(2)2+2×1×√2cos0,解得cos0= 6+2 4 B【解析】由平行四边形法则得PA+PB=2Pò， 故(PA+PB)·PC=2Pò.PC,|PC1=2-|PO1, 且PO,PC方向相反，设PO|=t(0≤t≤2)，则(PA+