专题10 二次函数与几何图形综合专项训练（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与几何图形综合核心知识点，系统梳理与特殊三角形（等腰、直角、等腰直角）、平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用，构建从几何性质到二次函数模型再到解题方法的学习支架。 资料以“典例+变式”设计培养数学思维与推理能力，通过数形结合提升几何直观，设置巩固强化训练辅助分层教学，助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力，适合课中教学与课后巩固。

专题10 二次函数与几何图形综合专项训练 1. 掌握二次函数与几何图形综合题的解题方法，能运用二次函数知识解决几何问题 2. 培养学生数形结合思想和逻辑推理能力 3. 激发学生学习数学的兴趣，培养合作精神和严谨的治学态度. 重点与难点 重点：二次函数与几何图形综合题的解题思路和方法，运用数形结合思想解决问题 难点：如何从几何图形中提取信息，建立二次函数模型，解决动态几何问题 一、二次函数与特殊三角形综合 （1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按要相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。 （2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。 二、二次函数与平行四边形综合 一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。 三、二次函数与矩形、菱形、正方形综合 菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。 题型01二次函数与直角三角形的综合 【典例】如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 题型02二次函数与等腰三角形的综合 【典例】已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或． 【变式】已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 题型03二次函数与等腰直角三角形的综合 【典例】9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 题型04二次函数与平行四边形的综合 【典例】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 【变式】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 题型05二次函数与矩形的综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 【变式】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型06二次函数与菱形的综合 【典例】如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 题型07二次函数与正方形的综合 【典例】在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．      (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，若抛物线的顶点在正方形内部，且与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标； （2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，当抛物线顶点在正方形内部时，列出不等式组求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，解得：， 抛物线表达式为， 当时，， 解得：（舍去），， ； （2）解：设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的表达式为：， 点在抛物线上， 设点， ，，且由平移得到， 点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，   点在直线上， 将代入， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， 点坐标为； （3）解：四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得：， ， 顶点坐标为， 如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，   ，解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 【答案】(1) (2)曲线顶点坐标为，解析式为 (3)，正方形的边长为，或，正方形的边长为8 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键． （1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解； （2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解； （3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为， ∴，且， ∴解得，， ∴， ∴，且， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴，即抛物线顶点坐标为， ∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为， ∴曲线的解析式为； （3）解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上， ∴设， ∴， ∴，， ∵点关于对称， ∴，则， ∴， ∴， 当时，整理得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去），， ∴，， ∴，正方形的边长为； 当时， 解得：（正根舍去）， ∴，， ∴，正方形的边长为8． 【巩固训练】 1．如图，已知抛物线与y轴交于点C，点P在抛物线上，点D的坐标为，且以为底的是等腰三角形，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，二次函数的对称性，等腰三角形三线合一性质等知识，正确的计算是解题的关键． 点的坐标为，由等腰三角形三线合一的性质可得出满足条件的点的纵坐标为，把代入函数解析式求出的值即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，，则点C的坐标为． 是以为底的等腰三角形， 为直线与抛物线的交点． 当时，， 解得， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 2．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 5．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得， 不妨令点在点的左侧， ∴， 设， ∴， ， ， 当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：， ∴， 解得，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得：，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得， ∵不符合题意， ∴或， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 6．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 7．将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 8．已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 【答案】 或． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 27．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 10．如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 【强化训练】 1．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点D，以为边向左作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与联立可求得点D的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k=h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2+h，由图形可知当抛物线经过点D和点C时抛物线与菱形的边、都有公共点，然后将点C和点D的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围． 【详解】解：∵将与联立得：，解得：， ∴点D的坐标为（2，1）． 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）， ∵将x＝h，y＝k，代入得得：h=k，解得：k=h， ∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2+h， 当抛物线经过点C时． 将C（0，0）代入y＝（x−h）2+h，得：h2+h=0，解得：h1＝0（舍去），h2=-． 当抛物线经过点D时． 将D（2，1）代入y＝（x−h）2+h，得：（2−h）2+h＝1，整理得：2h2-7h＋6＝0，解得：h1=2，h2=（舍去）． 综上所述，h的范围是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边、均有交点时抛物线经过的“临界点”为点D和点C是解题的关键． 2．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在2个不同的点M，使为直角三角形，则的值（或范围）是 _________ ． 【答案】或或或 【分析】分三种情况讨论直角顶点位置，直角顶点为O和A时各对应1个符合条件的点M，直角顶点为M时M在以为直径的圆上，总共有2个不同点M说明圆与对称轴无交点，根据圆心到对称轴的距离大于半径列不等式求解即可． 【详解】解：为直角三角形，分三种情况讨论： 当时，，点M在定直线上，抛物线对称轴为竖直直线，因此定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当时，，同理，点M所在定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当时，由圆周角定理可知，点M在以为直径的圆上，设圆心为，则为的中点， 已知，，则的坐标为，由勾股定理得，因此圆的半径。 抛物线的对称轴为直线， 设，则对称轴为， 圆心到对称轴的距离， 若满足条件的点共有2个不同的点，则圆与对称轴无交点，即， 因此，即， 得或， 解得或， 即或， 当对称轴过点时, 则的对称轴为：， 则， 当对称轴过点时, 则的对称轴为：， 则， 故答案为或或或． 3．如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是______． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 5．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，两点距离计算公式，先求出点A，点B和点C的坐标，进而可得对称轴为直线；设，分当为对角线时，则，当为对角线时，则，当为对角线时，则三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或，则， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或或； 故答案为：或或或或． 6．已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 化为顶点式求出对称轴抛物线为直线，设，，根据正方形的边长相等列方程求出a的值即可求解． 【详解】解：， 则对称轴抛物线为直线， 根据题意作图如下： 设， 根据中点坐标公式可知，即， ∴， 即， ∵正方形，， ∴， 整理得， ， 解得，（舍去）， ∴， ． 故答案为：． 7．2025年春晚舞台运用了大量、全息投影等高科技手段打造沉浸式视觉体验．假设舞台有一个虚拟的动态光影图案，其轮廓曲线可以用函数来近似表示，如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标； (3)点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为． ①求关于的函数解析式； ②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个． 【答案】(1) (2)或； (3)①；②24个 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，设，求出点B和点C的坐标，利用两点距离计算公式得到，，，再分和两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）①可求出直线的解析式为，当点P在y轴右侧时，过点P作轴，交于点M，根据列式求解即可；当点P在y轴左侧时，过点P作轴，交直线于点M，根据列式求解即可；②根据（3）①所求求出和时S的取值范围，根据S为整数，确定满足题意的S的个数，进而确定m的个数，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）与轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴是直线， ∴可设． 在中，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴， ∴，，． ①当时，如图所示： 则， ∴， 解得， ∴； ②当时，如图所示： 则， ∴， 解得， ∴； 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，点M的坐标为或； （3）解：①设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当点P在y轴右侧时，过点P作轴，交于点M，如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴； 当点P在y轴左侧时，过点P作轴，交直线于点M，如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴ ； 综上所述，； ②当时，， ∵， ∴当时，S随m的增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， ∵S为整数， ∴S的值可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴此时满足S为整数的m的值一共有9个 ∴有9个； 当时，， ∵， ∴当时，S随m的增大而增大，当时，S随m的增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵S为整数， ∴S的值可以为1，2，3，4，5，6，7，8， ∴此时满足S为整数的m的值一共有个， ∴有15个； 综上所述，满足S为整数的一共有． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． 8 (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 9.如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，则y的取值范围是______． (3)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把二次函数解析式化为顶点式，进而即可求解； （3）求出，，设，由中心对称的性质求出，求出抛物线的顶点坐标为，再结合当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在轴右侧，即，从而可得，求解即可； （4）由（3）可得，令，求得，，令，即，求得或，则抛物线经过点，再分五种情况，分别画出图象，结合图象分析即可得解 【详解】（1）解：∵抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为：直线， ∴当时，， ∴； （3）解：∵点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m， ∴，当时，，即， 设， ∵点A为对称中心构造矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在轴右侧，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，； （4）解：由（3）可得， 令， 解得：，， 令，即， 解得：或，则抛物线经过点， 当，如图①，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大， 当时，如图②，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图③，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大， 当时，如图④，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图⑤，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大先增大后减小， 综上所述，的取值范围为或 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数与几何图形综合专项训练 1. 掌握二次函数与几何图形综合题的解题方法，能运用二次函数知识解决几何问题 2. 培养学生数形结合思想和逻辑推理能力 3. 激发学生学习数学的兴趣，培养合作精神和严谨的治学态度. 重点与难点 重点：二次函数与几何图形综合题的解题思路和方法，运用数形结合思想解决问题 难点：如何从几何图形中提取信息，建立二次函数模型，解决动态几何问题 一、二次函数与特殊三角形综合 （1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按要相等分三种情况，再根据两点间距离公式列方程，然后解方程并检验。 （2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验。也可以用k1·k2＝－1做。 二、二次函数与平行四边形综合 一般是两个定点，一个半自由点（已知直线或对称轴上的点），一个抛物线动点（所求点），可以根据平行四边形的性质计算，分类讨论的时候可以按照所对顶点来分类。注意以A、B、C、D为顶点的平行四边形，和ABCD两种说法的不同。 三、二次函数与矩形、菱形、正方形综合 菱形可以看做由等腰三角形翻折或旋转180°产生，矩形可以看作由直角三角形旋转得到。正方形可以看作由等腰直角三角形翻折或选择产生。一般出题形式是两个定点，一个半自由点或者三个半自由点。菱形的三个点确定之后，第四个点也就确定了。（可以利用性质算出第四个点）矩形同理。 题型01二次函数与直角三角形的综合 【典例】如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02二次函数与等腰三角形的综合 【典例】已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【变式】已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03二次函数与等腰直角三角形的综合 【典例】9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【变式】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 题型04二次函数与平行四边形的综合 【典例】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型05二次函数与矩形的综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【变式】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 题型06二次函数与菱形的综合 【典例】如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 题型07二次函数与正方形的综合 【典例】在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，若抛物线的顶点在正方形内部，且与正方形恰有两个交点，求的取值范围．      【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 【巩固训练】 1．如图，已知抛物线与y轴交于点C，点P在抛物线上，点D的坐标为，且以为底的是等腰三角形，则点P的坐标为______． 2．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 5．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 6．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 7．将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 8．已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为__________； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为__________． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 10．如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点D，以为边向左作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在2个不同的点M，使为直角三角形，则的值（或范围）是 _________ ． 3．如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是______． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 5．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 6．已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 7．2025年春晚舞台运用了大量、全息投影等高科技手段打造沉浸式视觉体验．假设舞台有一个虚拟的动态光影图案，其轮廓曲线可以用函数来近似表示，如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标； (3)点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为． ①求关于的函数解析式； ②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个． 8．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面 积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8 9．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，则y的取值范围是______． (3)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； / 学科网（北京）股份有限公司 $