专题1.4 有理数的加减（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加减运算，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加及相反数特性）、减法法则（转化为加法）、运算律（交换律、结合律）及混合运算（省略括号与加号），通过即学即练搭建从基础到综合的学习支架。 资料以数形结合推导法则（如数轴辅助理解加法）培养几何直观，即学即练与变式训练强化运算能力和推理意识，实际应用题型（如手机支付收支、气温变化）渗透模型意识。课中助力分层教学，课后可通过练习巩固查漏补缺。

专题1.4 有理数的加减 教学目标 1.理解有理数加法、减法法则的推导过程，熟练掌握有理数加法、减法运算步骤，能准确进行有理数单步加减计算。 2.掌握有理数减法转化为加法的运算思路，理解 “减去一个数等于加上这个数的相反数”，会将加减混合运算统一成加法算式并化简省略括号与加号。 3.灵活运用加法交换律、加法结合律简化有理数加减混合运算，能结合实际情境列式并计算有理数加减应用题。 4.通过数轴数形结合推导运算法则，经历观察、归纳、练习的过程，提升运算能力与符号意识，体会转化、数形结合数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法、减法运算法则，基础加减计算； （2）有理数减法运算转化为加法的变形方法； （3）有理数加减混合运算的化简与简便运算。 2. 难点 （1）异号两数相加时符号与绝对值的判断计算； （2）省略括号和加号的加减混合算式的读法与运算； （3）灵活运用运算律凑整、分组简化复杂加减混合运算，解决含实际背景的有理数加减问题。 知识点01 有理数的加法 1.有理数的加法法则： ①同号两数相加，取 的符号，并把绝对值 ； ②异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值 的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值； 绝对值相等（相反数）时和为 ； ③一个数同0相加，仍得这个数； ④互为相反数的两数之和 。 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算______． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：______ 知识点02 有理数的加法运算律 1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 【即学即练】 1．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 2．当时，（1）______；（2）_____． 知识点03 有理数的减法 1.有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ，即有：。 【即学即练】 1．计算：______． 2．（2026·安徽·二模）计算：________． 3．计算： 知识点04 有理数的加减混合运算 1.省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式：可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 2.有理数的加减混合运算顺序：从左到右依次计算，有括号时先算括号里的。 【即学即练】 1．计算：． 2．计算： (1) (2) 3．计算∶ (1) ； (2) 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算 简便运算技巧：多个数连加时，优先凑零（相反数结合）、凑整、同号结合、同分母分数结合，大幅简化计算。 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算：___________； 【变式2】的相反数是___ ． 【变式3】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型02 有理数加法的应用 【典例1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）手机支付给生活带来便捷，如下是小王前天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小王当天微信收支的最终结果是（    ） 扫二维码付款——给王磊 转账——来自张华 幸福广场李氏水果 A．支出2元 B．收入8元 C．支出47元 D．收入55元 【典例2】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ （1）统一正负标准：题干无规定时，默认上升、收入、增加、盈余、上涨为正，下降、支出、减少、亏损、下跌为负。 （2）基础列式方法：将所有增减变化量全部转化为有理数，累加求和，得到整体变化结果。 【变式1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下表是某地年月1日至7日的最低气温变化情况（其中正号表示最低气温比前一天上升，负号表示最低气温比前一天下降）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 最低气温变化情况（℃） 0 已知月1日的最低气温是℃，则月7日的最低气温是（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【变式2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是保险箱的轮盘，转动轮盘(指针固定不动)即可打开保险箱．如果按顺时针方向转动轮盘记为正，按逆时针方向转动轮盘记为负，轮盘的指针一开始指向0，那么按照“”“”“”“”转动后，指针所指的数是______． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某快递员从快递站出发，在南北走向的街道上配送包裹，约定向北为正，向南为负，在某次配送过程中，每完成一个包裹配送的位置变化（单位：）记录如下：，配送结束后快递员在快递站的什么方向？距离快递站多远？ 题型03 将算式写成省略加法和括号的形式 【典例1】把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 括号前面是正号，去掉括号和正号，括号内数字符号保持不变；括号前面是负号，括号内数字符号要改变。 【变式1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【变式3】（25-26七年级上·海南·期中）把写成省略括号的和的形式为_______________． 题型04 有理数的减法运算 【典例1】计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【变式1】计算：____________． 【变式2】计算：_____． 【变式3】计算：． 【变式4】计算：． 题型05 有理数减法的应用 【典例1】水银的凝固点是，酒精的凝固点是．那么，水银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度？ 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期末）据气象部门预报：“我县明天最高气温，最低气温”，那么我县明天最大温差是（   ） A． B． C． D． 【变式2】为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【变式3】珠穆朗玛峰的海拔为，吐鲁番盆地最低点的海拔为．那么，珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米？ 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】计算：． （1）第一步统一转化：将算式中所有减法全部转化为加法，化为纯代数和形式； （2）第二步化简算式：去掉所有括号和多余加号，写成最简正负混合算式； （3）简便运算优先：同号数字结合、相反数凑零、小数分数凑整、同分母分数结合，简化计算； （4）常规计算顺序：无简便算法时，从左至右依次计算，分步验算，减少失误。 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1)； (2) ． 【变式3】（25-26七年级上·四川自贡·期末）计算：． 题型07 有理数加减混合运算的应用 【典例1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如下是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　） Luckin coffee 11月26日12：05 快团团 11月26日14：21 微信红包 来自*** 11月26日14：41 A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【典例2】某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ （1）解题建模四步：审题定场景→规定正负标准→翻译实际量为有理数→列加减混合算式； （2）常规场景公式：最终量 = 初始量 + 所有正向变化量 − 所有反向变化量； （3）多次变化问题：逐次记录每一次增减变化，全部转化为代数和，一次性求解最终结果； （4）拓展最值问题：逐次计算每一步结果，对比得出过程中的最大值、最小值。 【变式1】潜水艇上升为正，下降为负．若潜水艇先在距水面深处，两次记录情况分别是，，那么此时潜水艇在距水面 _______ 深处． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行五个科目的测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 道法 相对分数 m 已知该产品的物理测试分数为分． (1)请写出表中m的值； (2)在本次测试的五个科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中五个科目的总分． 1．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 5．计算：___________． 6．（2026·辽宁阜新·二模）为计数方便，某果园以每筐水果30 kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则“”表示的实际千克数是________千克． 7．（2026·安徽淮南·三模）绝对值小于的所有整数的和是_____． 8．计算：． 9．计算： (1)； (2)； (3)； 10．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 11．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 12．（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 13．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 1．（25-26七年级上·广西崇左·期末）若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 3．（25-26七年级上·四川广安·期末）题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算： ”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对 C．只有丙对 D．只有乙和丙对 4．已知有理数，满足，，且的绝对值与其相反数相等，则的值为_____． 5．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果________． 6．如图，把周长为4的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是______． 7．计算： (1) (2) (3) (4) 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 10．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 有理数的加减 教学目标 1.理解有理数加法、减法法则的推导过程，熟练掌握有理数加法、减法运算步骤，能准确进行有理数单步加减计算。 2.掌握有理数减法转化为加法的运算思路，理解 “减去一个数等于加上这个数的相反数”，会将加减混合运算统一成加法算式并化简省略括号与加号。 3.灵活运用加法交换律、加法结合律简化有理数加减混合运算，能结合实际情境列式并计算有理数加减应用题。 4.通过数轴数形结合推导运算法则，经历观察、归纳、练习的过程，提升运算能力与符号意识，体会转化、数形结合数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法、减法运算法则，基础加减计算； （2）有理数减法运算转化为加法的变形方法； （3）有理数加减混合运算的化简与简便运算。 2. 难点 （1）异号两数相加时符号与绝对值的判断计算； （2）省略括号和加号的加减混合算式的读法与运算； （3）灵活运用运算律凑整、分组简化复杂加减混合运算，解决含实际背景的有理数加减问题。 知识点01 有理数的加法 1.有理数的加法法则： ①同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加； ②异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等（相反数）时和为0； ③一个数同0相加，仍得这个数； ④互为相反数的两数之和为0。 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算______． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，两个负数相加，取负号，并将绝对值相加，由此计算即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：______ 【答案】2 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和同分母的分数加法运算法则． 先将带分数化为假分数，再结合有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 知识点02 有理数的加法运算律 1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 【即学即练】 1．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用． （1）利用加法交换律求解； （2）利用加法结合律求解； （3）利用加法交换律和结合律求解． 【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 因此，， 故答案为； （2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 为了计算简便，将负数结合：， 故答案为，； （3）观察发现，与相加得，与相加得， 因此， 故答案为,． 2．当时，（1）______；（2）_____． 【答案】 0 14 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可． 【详解】解：； ； 故答案为：0；14． 知识点03 有理数的减法 1.有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 【即学即练】 1．计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 2．（2026·安徽·二模）计算：________． 【答案】13 【详解】解：． 3．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 知识点04 有理数的加减混合运算 1.省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式：可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 2.有理数的加减混合运算顺序：从左到右依次计算，有括号时先算括号里的。 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 简便运算技巧：多个数连加时，优先凑零（相反数结合）、凑整、同号结合、同分母分数结合，大幅简化计算。 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算：___________； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算绝对值内的有理数加法，再化简绝对值即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】的相反数是___ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，相反数的定义，先计算括号内的表达式，再求结果的相反数． 【详解】解：， 5的相反数是， 故答案为∶． 【变式3】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 题型02 有理数加法的应用 【典例1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）手机支付给生活带来便捷，如下是小王前天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小王当天微信收支的最终结果是（    ） 扫二维码付款——给王磊 转账——来自张华 幸福广场李氏水果 A．支出2元 B．收入8元 C．支出47元 D．收入55元 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是根据收支明细列出算式并正确计算． 根据账单收支明细，将所有收支数据相加，计算出总和，判断最终是收入还是支出． 【详解】解：∵收支总和为， ∴最终结果为收入8元， 故选：B． 【典例2】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【答案】小丽获胜 【分析】先用正、负数表示出个数，再相加，据此分别求出小丽、小彬抽取扑克牌的数字和，然后比较即可解答． 【详解】解：由题意可得： 小丽抽到的数字之和为， 小彬抽到的数字之和为， ∵， ∴小丽获胜． （1）统一正负标准：题干无规定时，默认上升、收入、增加、盈余、上涨为正，下降、支出、减少、亏损、下跌为负。 （2）基础列式方法：将所有增减变化量全部转化为有理数，累加求和，得到整体变化结果。 【变式1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下表是某地年月1日至7日的最低气温变化情况（其中正号表示最低气温比前一天上升，负号表示最低气温比前一天下降）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 最低气温变化情况（℃） 0 已知月1日的最低气温是℃，则月7日的最低气温是（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知月1日气温为，结合表格中2日至7日每日相对于前一天的气温变化值，依次计算每日气温，最终得到月7日的气温． 【详解】解：∵ 12月1日气温为， ∴ 12月2日气温：； 12月3日气温：； 12月4日气温：； 12月5日气温：； 12月6日气温：； 12月7日气温：． ∴ 12月7日最低气温为． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是保险箱的轮盘，转动轮盘(指针固定不动)即可打开保险箱．如果按顺时针方向转动轮盘记为正，按逆时针方向转动轮盘记为负，轮盘的指针一开始指向0，那么按照“”“”“”“”转动后，指针所指的数是______． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际应用及有理数的加减混合运算，关键是明确正负数代表相反的转动方向，将每次转动的对应数值累加，即可得到轮盘转动的方向和格数，从而得到指针最终指向的数． 【详解】解：根据题意，初始指针指向0， 依次转动轮盘后最终转动的格数为：， 因为按顺时针方向转动轮盘记为正， 所以指针最终所指的数是． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某快递员从快递站出发，在南北走向的街道上配送包裹，约定向北为正，向南为负，在某次配送过程中，每完成一个包裹配送的位置变化（单位：）记录如下：，配送结束后快递员在快递站的什么方向？距离快递站多远？ 【答案】配送结束后快递员在快递站的正北方向，距离快递站 【分析】本题考查正负数意义及有理数加减运算解应用题，熟记正负数的意义及有理数加减运算法则是解决问题的关键． 由题中包裹配送的位置变化情况，及有理数加减运算法则计算得到结果，再由正负数意义即可得到答案． 【详解】解： ， 配送结束后快递员在快递站的正北方向，距离快递站． 题型03 将算式写成省略加法和括号的形式 【典例1】把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 括号前面是正号，去掉括号和正号，括号内数字符号保持不变；括号前面是负号，括号内数字符号要改变。 【变式1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【变式2】把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 【变式3】（25-26七年级上·海南·期中）把写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 题型04 有理数的减法运算 【典例1】计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式1】计算：____________． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】解：． 【变式2】计算：_____． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质计算绝对值，再进行有理数的减法运算即可得到结果． 【详解】解：原式． 【变式3】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，先计算绝对值，再根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型05 有理数减法的应用 【典例1】水银的凝固点是，酒精的凝固点是．那么，水银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，用水银的凝固点减去酒精的凝固点，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 即水银的凝固点比酒精的凝固点高． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期末）据气象部门预报：“我县明天最高气温，最低气温”，那么我县明天最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数减法的应用，熟练掌握减法运算法则是解本题的关键． 用最高气温减去最低气温即可． 【详解】解： 我县明天最大温差是． 故选：C． 【变式2】为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以米作为基准0点，高于基准水位的差值记为正数，低于基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，调度基准水位为米，即点，高于基准水位记为正，低于基准水位记为负． 当水位降至 米时，计算得： 因此水位降至 米时，应记作米． 【变式3】珠穆朗玛峰的海拔为，吐鲁番盆地最低点的海拔为．那么，珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，用珠峰的高度减去吐鲁番的高度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 答：珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高米． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． （1）第一步统一转化：将算式中所有减法全部转化为加法，化为纯代数和形式； （2）第二步化简算式：去掉所有括号和多余加号，写成最简正负混合算式； （3）简便运算优先：同号数字结合、相反数凑零、小数分数凑整、同分母分数结合，简化计算； （4）常规计算顺序：无简便算法时，从左至右依次计算，分步验算，减少失误。 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各组结果并求和． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式3】（25-26七年级上·四川自贡·期末）计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． 题型07 有理数加减混合运算的应用 【典例1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如下是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　） Luckin coffee 11月26日12：05 快团团 11月26日14：21 微信红包 来自*** 11月26日14：41 A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【答案】A 【分析】只需将所有收支数据相加，根据结果的正负判断最终收支情况即可． 【详解】解：∵将所有收支数据相加，得， 又∵题目规定正数表示收入，结果为正数， ∴妈妈当天微信收支的最终结果是收入49.00元， 故选A． 【典例2】某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． （1）解题建模四步：审题定场景→规定正负标准→翻译实际量为有理数→列加减混合算式； （2）常规场景公式：最终量 = 初始量 + 所有正向变化量 − 所有反向变化量； （3）多次变化问题：逐次记录每一次增减变化，全部转化为代数和，一次性求解最终结果； （4）拓展最值问题：逐次计算每一步结果，对比得出过程中的最大值、最小值。 【变式1】潜水艇上升为正，下降为负．若潜水艇先在距水面深处，两次记录情况分别是，，那么此时潜水艇在距水面 _______ 深处． 【答案】70 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．根据上升为正、下降为负的含义，进行列式计算即可． 【详解】解：规定水面为，则初始位置为，两次记录的变化量为和， 所以最后的位置为：， 所以此时潜水艇在距水面深处． 故答案为：70． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行五个科目的测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 道法 相对分数 m 已知该产品的物理测试分数为分． (1)请写出表中m的值； (2)在本次测试的五个科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中五个科目的总分． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据“少于基准的分数记为负数”可求解物理的相对分数； （2）用基准分数加上最高的相对分数可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上最低的相对分数可求出该产品所得的最低分； （3）先求出所有相对分数的和，再用基准分数科目数相对分数的和，即可求解． 【详解】（1）解：∵该产品的物理测试分数为分， ∴物理的相对分数为：， ∴m的值为； （2）解：该产品所得最高分为：（分）， 该产品所得最低分为：（分）， 故答案为：，； （3）解：∵本次测试中五个科目的相对分数之和为：（分）， ∴该产品在本次测试中五个科目的总分为：（分）． 1．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 3．（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 【详解】解：∵ ，， ∴ 4．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 5．计算：___________． 【答案】0 【详解】解：． 6．（2026·辽宁阜新·二模）为计数方便，某果园以每筐水果30 kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则“”表示的实际千克数是________千克． 【答案】27 【分析】根据题意，以每筐为准，超过记为正，不足记为负，负数表示实际重量低于标准重量，据此计算实际重量即可． 【详解】解：由题意可得，“”表示实际重量比标准重量少， 因此实际千克数为 （千克）． 7．（2026·安徽淮南·三模）绝对值小于的所有整数的和是_____． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为， ． 8．计算：． 【答案】10 【详解】． 9．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 10．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 11．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员在球门前处 (2)守门员共跑了 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）将所有数字相加进行计算即可； （2）将所有数字的绝对值相加进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴守门员在球门前处； （2）解：， ∴守门员共跑了． 12．（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4 (2)五 (3)爸爸这七天一共跑步千米 【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为计划路程与对应增减量的和． （1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程； （2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可； （3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程． 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米）， 故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五， 故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米）， 答：爸爸这七天一共跑步千米． 13．[热点情境·防近视]根据国家卫生健康委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生每天使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，如表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)该生周三使用电子产品多少个小时？ (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时？ (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时？ 【答案】(1)该生周三使用电子产品1小时 (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时 (3)该生这一周使用电子产品共用了23小时 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：该生周三使用电子产品的时间，然后列式进行计算即可解答； （2）根据题意可得：使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多的时间，然后列式进行计算即可解答； （3）先计算出一周的总增减时间，再加上7天的标准总时间，即可求得该生这一周使用电子产品的总时间． 【详解】（1）解：由题意得，（小时）． 答：该生周三使用电子产品1小时． （2）由题意，得（小时）． 答：该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多8小时． （3）由题意得：（小时）， ∴（小时）． 答：该生这一周使用电子产品共用了23小时． 1．（25-26七年级上·广西崇左·期末）若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足， ∴或， ∴或， 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 3．（25-26七年级上·四川广安·期末）题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算： ”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对 C．只有丙对 D．只有乙和丙对 【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的加减，新定义运算，由题意可得，，再结合运算法则得出 ，从而即可得出结果，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵计算： ”该题的答案是2， ∴ ， ∴ ， ∴被污染的数是大于等于，小于的有理数， ∴只有乙和丙对， 故选：D． 4．已知有理数，满足，，且的绝对值与其相反数相等，则的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握几何意义． 先根据绝对值的几何意义求出或，或，然后确定，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴或，或 ∵的绝对值与其相反数相等，即， ∴， ∴，或，或， ∴或或 故答案为：或或． 5．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算与程序图的运用，理解程序图的计算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． 根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即输出的结果． 故答案为： 6．如图，把周长为4的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，根据两点间的距离公式，用2减去圆的周长即可得出结果． 【详解】解：由题意，得点表示的数是； 故答案为：． 7．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 10．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $