专题05 四边形（3年汇编）（广西专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦广西中考四边形专题，整合3年真题与模拟题，覆盖多边形性质、特殊四边形判定与计算，突出情境化设计与能力分层，贴合中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|占比最高|矩形动态面积、平行四边形全等证明|以“遮阳伞投影”等生活情境考分段函数，融合几何与代数| |选择题|约30%|菱形旋转面积、正方形中点图形|新定义“平行六边形”类比平行四边形性质，考推理能力| |填空题|约25%|等宽纸条重叠周长、正方形动点线段|结合30°直角三角形、勾股定理，梯度设问由证到算|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01多边形的性质与计算 1.(1)错误；正确：错误 (2) 证明：过点作QH平行且相等于PO,连接OH,HS, 则平行四边形PQH0是平行四边形， ..PO OH PO=OH 平行于 在平行六边形OP2RST中，PO平行于RS,PO=RS, ∴QH平行且相等于RS, ∴.QRSH 为平行四边形， ..OR HS OR=HS 平行于 在平行六边形OPORST中，PO平行于ST,QR平行于OI, .OH平行于ST,HS平行于OT, HSTO为平行四边形， .HS=OT,OH =ST ∴QR=OT,PQ=ST OP=PO=OR=RS 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..PO=OR=RS=ST=OT=PO 小平行六边形 OPORST 是菱六边形 R 284 6)393 考点02平行四边形的性质与判定 1.8v5 2.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC ∴.∠A=∠CBE .BE=AB :△ABD≌△BEC(SAS) g3+7 3.(1) 证明：：点D,E分别是BC,AC的中点， .'BD=CD,AE=CE, 又·∠AEF=∠CED,DE=EF, ∴.△AEF≌ACED .AF=CD,∠F=∠EDC, .AF =BD,AF II BD ∴.四边形ABDF是平行四边形： (2) 证明：如图，连接AD, 2/10 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC, D .AD过圆心， .AF II BD, AF⊥AD, 而OA为半径， AF为⊙O的切线： 3)10 考点3矩形的性质与判定 1. 1)s随x的增大而增大：(2)x=3,S=5;(3)S=-2x2+14x-19(3<x≤4)；(4)2m 考点04菱形的性质与判定 1.B 考点05正方形的性质与判定 1.c 2.5 V一年模孤练测园 1.A 2.B 3.A 4. 180 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 252V5 5.3/3 6 7.V2 21 8.8 1 9.7 10. V5-1,-1+V5 11. √73-3 12.(1)见解析 (2)见解析 13.(1) 解：如图所示：四边形ABEF即为所求. A B GE C (2)20 14.(1) 如图，∠DCF即为所求. (2) 证明：，四边形ABCD是正方形， .∠B=∠D=90°，AB=CD. 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABE和△CDF中， 「∠BAE=∠DCF AB=CD ∠B=∠D △ABE≌ACDF(ASA) 15.(1)见解析 (2)见解析 16.(1)见解析 g83 17.(1)见详解 ®v5 18.(1)所作图形如图： (2)解：猜想四边形BEDF是平行四边形.证明如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ABC=∠ADC,AD‖BC .∠AEB=∠CBE, ,BE是∠ABC的平分线，DF是∠ADC的平分线， 2cE-<c.∠ADF=ADc. ∴∠CBE=∠ADF. .∠AEB=∠ADF, BE∥DF, 又ADI BC, ∴.四边形BEDF是平行四边形 19.(I)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴.∠A=∠C=∠D=90° 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABE,△FBE BE 关于直线对称 ∴.△ABE≌△FBE ∴.∠A=∠BFE=90° ∴.∠EFC=90° ∴.∠EFC=∠C=∠D=90° ∴四边形EFCD是矩形： 2)08G=25 , ②如图，过圆心O作直线MN⊥CD于点M,交AB于点N A E D M 图2 ∴.∠NMD=∠A=∠D=90 “.四边形ANMD是矩形 .MN=AD=9,MN⊥AB .AN=BN 又O是BE的中点 ∴.ON是△BAE的中位线 ..ON=AE=4 ∴.OM=MN-ON=9-4=5 在Rt△MABE中，BE=VAE2+AB=⑧+6=10 :0M=BE,即OM为00的￥径 又.OM⊥CD .CD是⊙O的切线： 6)25成12-6N5 或 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.)证明：：CF川AB, .∠A=∠ACF, E为AC的中点， .AE=EC, .∠AED=LFEC, 在△AED和△CFE中， 「∠A=∠ACF AE=EC ∠AED=∠FEC' .△AED≌aCFE(ASA) G,F 80°可知， 三点共线， 0,G,0 02,F,0 (2)证明：由①③分别绕点顺时针旋转 三点共线， ∠AEO=∠OE,D∠BEO=∠DEO2 ∠O,E,D+∠DE,O,=180° 、0,E,0三点共线，同理可证 02,H,03 三点共线： 如图1，连接EG,BD,HF,EH,GF. 01 A E O2 ① 、 G D② H E长- F③ ③ 03 B H 图1 :点E,H,F,G分别为四边形ABCD各边的中点， EGBD,EG=号BD,HFURD,HF=号BD, 2 2 .EGI‖HF,EG=HF, 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .四边形EHFG为平行四边形， :0G=0H.0E=0 GO=GO OH=0H=02H ,由题意知， .00=20G0203=20H :00=0,0,同理可证9 02=003 000203 .四边形 是平行四边形. 3)证明：：∠GMF+∠GME=180°， ∠GME=∠GM,E, 由图形变换可知， ∠GMF+∠GM,E=180°M,E,IIMF M N //MN2 即 M MIN N2 同理可证 MM N N2 .四边形 是平行四边形. 又：GM⊥EF于点M, .∠GMF=90°， MM N N2 四边形 是矩形， 如图2，连接GE,BD,HF, M E A N G① D ① H F③ ②M ③ N C 图2 :G,E分别为AD,AB的中点， GE=7BD,GElIBD, 2 8/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :H,F分别为BC,CD的中点， F-D UFN8D. .GE=HF,GE‖HF, .∠GEF=∠EFH, ,GM⊥EF于点M,HN⊥EF于点N, .∠GME=∠HNF=90°， 在△GME和△HNF中， 「∠GEF=∠EFH ∠GME=∠HNF EG=FH .△GME≌aHNF(AAS). ∴ME=NF,由图形变换可知，MG=GM,=2MM,FPN=W, MN:-MF+FN:-MF+FN-MF+ME-EF S-MN,.MM,-EF.2GM-2EF-GM ④)MP=2V15,sin∠PMN,= 15 5 21.I)AE=CE',∠ABE=∠CBE' (2)见解析 √5 (3)①见解析；② 22.1)长为4米，宽为2米 02v2 ②能，见解析 23.I)证明：，将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG,使AB与AD重合， :.BE=DG,AE=AG,∠BAE=∠DAG,∠B=∠ADG, 在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠B=90°， 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADC+∠ADG=180°， G,D,F三点共线， .EF BE+DF=DG+DF=GF, 在△AEF和△AGF中， 「AE=AG AF=AF EF=GF' :△1EF≌aAGF(SS) .∠EAF=∠GAF :∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,且∠BAE+∠DAF+∠EAF=∠BAD=90°， .2∠EAF=90°，即∠EAF=45°： (2)①证明：，四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°， ∴.∠BCE=∠DCF=90°， .∠CBH+∠CEB=90°， ,BH⊥DF, ∴.∠CDH+∠DEH=90°， ,∠CEB=∠DEH, .∠CBH=LCDH, .△BCEn△DCF: ® 3)是，4 10110 专题05 四边形 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01多边形的性质与计算 2025广西卷 以解答题形式考查；以新定义多边形为创新载体，如本题“平行六边形”，依托平行四边形性质类比探究，融合平行线、角、边的基础几何计算。命题侧重迁移能力，先给出陌生图形定义，再设置正误判断题，考查类比推理。考点稳定聚焦平行线性质、等角推导、线段等量判断，不出现复杂计算，以逻辑辨析为主。 考点02 平行四边形的性质与判定 2026广西卷 2024广西卷 以填空题、解答题形式考查；填空常结合生活情境，如等宽纸条重叠，融合菱形判定、直角三角形边角计算，依托平行线、特殊角求周长，侧重图形转化。解答题固定两小问，第一问以SSS、SAS证明三角形全等，难度基础；第二问结合30°直角三角形、勾股定理计算线段，求解组合四边形周长。命题常拓展衍生平行四边形、中位线综合题型，串联外接圆、中点条件。整体紧扣平行四边形对边平行且相等核心性质，兼顾全等、特殊直角三角形，由证明到计算梯度设问，注重几何转化与基础运算，贴合中考分层考查思路。 考点03 矩形的性质与判定 2025广西卷 以解答题形式考查；矩形常结合平移、平行四边形投影出函数综合压轴，融合几何与代数。命题以生活实际情境为载体，将矩形与平行四边形重叠，设置平移变量x，探究重叠面积S的变化规律。题型分层设问，先直观判断面积增减变化，再分段求解面积对应的平移距离，考查数形结合思想。考点覆盖矩形对边相等、平行四边形面积、图形重叠分割、分段函数计算。题目梯度清晰，从直观观察到定量计算，兼顾识图能力与方程运算。命题不单独考矩形基础证明，多与平移、动态重叠结合，侧重几何动态分析，突出数学实际应用，是中考几何压轴常见考法。 考点04 菱形的性质与判定 2026广西卷 以选择题形式考查；菱形考题常结合图形旋转、平移、拼接等变换，以花纹图案为生活情境设置选择题。题干以大菱形裁剪小菱形为基础模型，利用中点条件得到小菱形边长，核心考查菱形面积计算公式与特殊角三角函数。题目分层依托图形演变过程，由基础图形推导阴影面积，题型计算难度适中，无需复杂证明。命题融合几何直观、图形转化思想，常结合60°、120°特殊内角简化运算，侧重识图与面积和差运算。整体出题梯度平缓，将四边形性质与图形变换综合，兼顾基础知识点与实践应用，是选择压轴高频考法。 考点05 正方形的性质与判定 2026广西卷 2024广西卷 以选择题、填空题形式考查，每年必考；正方形是广西中考四边形高频考点。出题分两类典型模型：一是取正方形各边中点连线相交，构造内部小正方形，考查图形分割与面积比例计算；二是正方形边上取动点，结合直角三角形、三角函数、勾股定理求线段长。考题情境简洁，依托正方形四边相等、四角为直角的核心性质，融合相似、全等、锐角三角函数知识点，计算难度适中，不设置复杂证明。命题侧重几何识图与基础运算，梯度平缓，常单独设小题，也会和图形变换结合，重点检验学生对直角模型、线段比例的运用能力。 考点01 多边形的性质与计算 1．（2025年广西中考数学真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 考点02 平行四边形的性质与判定 1．（2024年广西中考数学试题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 2．（2026年广西中考数学试题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 3．（2024年广西中考数学试题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 考点03 矩形的性质与判定 1．（2025年广西中考数学真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 考点04 菱形的性质与判定 1．（2026年广西中考数学试题）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 考点05 正方形的性质与判定 1．（2024年广西中考数学试题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 2．（2026年广西中考数学试题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 一、单选题 1．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 2．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）如图，在中，，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））如图，在平行四边形的地板上，点E是的中点，相交于点F，用油漆粉刷地面花费了元，则用同样价格的油漆粉刷的地面要花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、填空题 4．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 5．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是正六边形，连接．若，则的长为______． 6．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，在矩形中，，，点为中点，点为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，则当点沿边从点运动到点时，点的运动路径长为________． 7．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 8．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，若，则的长为______． 9．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在矩形中，是边的中点，于点，交边于点，，则的值为____． 10．（广西柳州市柳南区2026年中考二模数学试题）如图，在正方形中，，点E在正方形内部，且满足，连接，取，的中点F，G，连接，则的最小值为_____． 11．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，则线段长度的最小值为__________． 三、解答题 12．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 13．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使点E，F分别在边和边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)过点作，垂足为点G，若，，求（1）中菱形的面积． 14．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）如图，在正方形中，点E在边上，连接． (1)尺规作图：作，交线段于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)求证：． 15．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 16．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以O为圆心作圆，，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 17．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：； (2)连接，若平分，，，求的长． 18．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））如图，是平行四边形中的平分线，交于点E． (1)作的平分线，交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)请猜想四边形是什么四边形，并用所学知识加以证明． 19．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 20．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）【探究主题】如何将一个任意四边形不重叠无缝隙拼接成正方形? 【研究思路】 (1)如图1，对于任意一个分别为的中点，连接，过点C作交延长线于点F．求证：． 【方案确定】从研究思路中发现，通过中点分割可拼接成平行四边形 研究方向：对任意四边形的中点进行分割的方向思考． 研究思路：按“四边形→平行四边形→矩形→正方形”的路径，由一般到特殊进行研究． 【初步探究】如图2，取四边形各边中点分别为点，连接交于点O，沿剪开．将分别绕点顺时针旋转 ，并将②平移，使点B与点D重合，拼接成四边形 (2)证明：四边形是平行四边形； 【方案实施】 步骤一：如图3，取任意四边形各边中点分别为点，连接，过点作 于点M，过点H作 于点N，沿剪开，将分别绕点顺时针旋转 将平移，使得点B与点D重合，拼接成四边形 记四边形的面积为S． (3)证明： 步骤二：如图4，在步骤一得到的四边形的边上确定一点P，连接，过点作 于点Q，沿分割，将平移，拼接成正方形 (4)若，直接写出的长及的值． 21．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究． (1)【初步感知】如图1，在正方形的内部取一点E，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是____________；与的数量关系是____________． (2)【特例研究】如图2，在（1）的前提下，当时，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形． (3)【类比探究】如图3，在矩形中，，，在其内部取一点E，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点． ①求证：四边形是矩形； ②连接，若，请直接写出的值． 22．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”． (1)如图，矩形空地的宽度米，恰好能容纳个竖放的矩形菜畦和个横放的矩形菜畦，且每个矩形菜畦的形状、大小完全相同．求每一个矩形菜畦的长和宽； (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为米的正方形拓展基地，用于放置个菜畦，拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜畦和平行四边形菜畦的组合形式（如图），其中平行四边形菜畦的排数比矩形菜畦少排，每排菜畦之间设置米宽的通道，同时满足以下要求： （ⅰ）每一个矩形菜畦的长和宽与（1）中的矩形菜畦的长和宽完全相同； （ⅱ）每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形菜畦的形状、大小都相同，且有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形菜畦的长边相等（即在平行四边形中，，） ①求平行四边形菜畦的另一边的长； ②请判断该方案能否在边长为米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据：）． 23．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）【综合与实践】 【课本再现】 九年级数学教材上有一例题：是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的动点，把绕点顺时针旋转得到，使与重合，如果，请证明． 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，已知，，且． ①求证：； ②求的值． 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，设（取值范围），若已知，先判定的长是否在取值范围之内，如果有，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01多边形的性质与计算 2025广西卷 以解答题形式考查；以新定义多边形为创新载体，如本题“平行六边形”，依托平行四边形性质类比探究，融合平行线、角、边的基础几何计算。命题侧重迁移能力，先给出陌生图形定义，再设置正误判断题，考查类比推理。考点稳定聚焦平行线性质、等角推导、线段等量判断，不出现复杂计算，以逻辑辨析为主。 考点02 平行四边形的性质与判定 2026广西卷 2024广西卷 以填空题、解答题形式考查；填空常结合生活情境，如等宽纸条重叠，融合菱形判定、直角三角形边角计算，依托平行线、特殊角求周长，侧重图形转化。解答题固定两小问，第一问以SSS、SAS证明三角形全等，难度基础；第二问结合30°直角三角形、勾股定理计算线段，求解组合四边形周长。命题常拓展衍生平行四边形、中位线综合题型，串联外接圆、中点条件。整体紧扣平行四边形对边平行且相等核心性质，兼顾全等、特殊直角三角形，由证明到计算梯度设问，注重几何转化与基础运算，贴合中考分层考查思路。 考点03 矩形的性质与判定 2025广西卷 以解答题形式考查；矩形常结合平移、平行四边形投影出函数综合压轴，融合几何与代数。命题以生活实际情境为载体，将矩形与平行四边形重叠，设置平移变量x，探究重叠面积S的变化规律。题型分层设问，先直观判断面积增减变化，再分段求解面积对应的平移距离，考查数形结合思想。考点覆盖矩形对边相等、平行四边形面积、图形重叠分割、分段函数计算。题目梯度清晰，从直观观察到定量计算，兼顾识图能力与方程运算。命题不单独考矩形基础证明，多与平移、动态重叠结合，侧重几何动态分析，突出数学实际应用，是中考几何压轴常见考法。 考点04 菱形的性质与判定 2026广西卷 以选择题形式考查；菱形考题常结合图形旋转、平移、拼接等变换，以花纹图案为生活情境设置选择题。题干以大菱形裁剪小菱形为基础模型，利用中点条件得到小菱形边长，核心考查菱形面积计算公式与特殊角三角函数。题目分层依托图形演变过程，由基础图形推导阴影面积，题型计算难度适中，无需复杂证明。命题融合几何直观、图形转化思想，常结合60°、120°特殊内角简化运算，侧重识图与面积和差运算。整体出题梯度平缓，将四边形性质与图形变换综合，兼顾基础知识点与实践应用，是选择压轴高频考法。 考点05 正方形的性质与判定 2026广西卷 2024广西卷 以选择题、填空题形式考查，每年必考；正方形是广西中考四边形高频考点。出题分两类典型模型：一是取正方形各边中点连线相交，构造内部小正方形，考查图形分割与面积比例计算；二是正方形边上取动点，结合直角三角形、三角函数、勾股定理求线段长。考题情境简洁，依托正方形四边相等、四角为直角的核心性质，融合相似、全等、锐角三角函数知识点，计算难度适中，不设置复杂证明。命题侧重几何识图与基础运算，梯度平缓，常单独设小题，也会和图形变换结合，重点检验学生对直角模型、线段比例的运用能力。 考点01 多边形的性质与计算 1．（2025年广西中考数学真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2) 证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）略 （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 考点02 平行四边形的性质与判定 1．（2024年广西中考数学试题）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 2．（2026年广西中考数学试题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ (2) 【分析】（1）通过平行四边形的性质结合证明即可； （2）先根据30度直角三角形的性质以及勾股定理求解，再由平行四边形的性质以及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长 3．（2024年广西中考数学试题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 考点03 矩形的性质与判定 1．（2025年广西中考数学真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 考点04 菱形的性质与判定 1．（2026年广西中考数学试题）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质及所拼图形，可求得，进而可求得两个菱形的高，用大菱形的面积减去小菱形的面积即可． 【详解】解：由图3可得， ， 在菱形中，， ， 作于，交于， 四边形是菱形， ， ， ，， 中，， 点，分别为，的中点， ， 同法可求得， ． 考点05 正方形的性质与判定 1．（2024年广西中考数学试题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 2．（2026年广西中考数学试题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 一、单选题 1．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，勾股定理求出的长，再根据斜边上的中线的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴. 2．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）如图，在中，，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴将线段水平向左平移个单位得到四边形为菱形． 3．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））如图，在平行四边形的地板上，点E是的中点，相交于点F，用油漆粉刷地面花费了元，则用同样价格的油漆粉刷的地面要花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵用油漆粉刷地面花费了元， ∴用同样价格的油漆粉刷的地面要花费元. 二、填空题 4．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 【答案】 【详解】解：由图像可知，中间是由2个角，1个角和两个直角组成， ∴， 解得． 5．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是正六边形，连接．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过点作于点，由正六边形性质得到、，由等腰三角形三线合一得到及长度，最后在中，由正弦三角函数值定义列式计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，． 6．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，在矩形中，，，点为中点，点为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，则当点沿边从点运动到点时，点的运动路径长为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，从而判断点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆弧，当点运动到点时，利用锐角三角函数求出的度数，进而得到圆心角的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，点为中点， ， 由折叠的性质可知，，， 点在以点为圆心，长为半径的圆弧上运动，当点与点重合时，点运动的路径为，如图所示， 在中，，， ， ， ， ， 点的运动路径长为． 7．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用勾股定理分别求出 中的长和 中的长，即可得，，进而证明 ，得到，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得 ， ，即可证明得到、的长度和，进而推出，然后计算出和的长度，最后在 中用勾股定理求出的长，从而确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ，， 在 中，由勾股定理： ， 在 中，由勾股定理： ， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ， ∴ ， ，， ∴， ， ， 在 中，． 8．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识． 在中，利用，即可求出，再证明，即可求解． 【详解】解：根据翻折有：，， 即：， 在矩形中，有，，， ∴， ∵在中，， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在矩形中，是边的中点，于点，交边于点，，则的值为____． 【答案】 【分析】根据题意及矩形的性质证明，得到比例式，设，表示出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（广西柳州市柳南区2026年中考二模数学试题）如图，在正方形中，，点E在正方形内部，且满足，连接，取，的中点F，G，连接，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】由，可知点E的运动轨迹在以为直径的圆上，是的中位线，求的最小值，也就是求的最小值，当点、、，三点共线的时候，最小，结合勾股定理，即可求出，进而求出的最小值． 【详解】解：， 点E的运动轨迹在以为直径的圆上， 以为直径作圆，圆心为，点为中点，连接、，如下图 是的中位线， ，求的最小值，也就是求的最小值， 当点、、，三点共线的时候，最小， 四边形是正方形， ，， 点为中点， ，， 在中，， ， ， 即的最小值为． 11．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，则线段长度的最小值为__________． 【答案】 【分析】先由题意，确定点的运动轨迹，再由点与圆上一点的最值问题得到线段长度的最小值为，连接，在中，由勾股定理求出长即可得到答案． 【详解】解：点是边上的一个动点，于点，， 点在以中点为圆心、为半径的半圆上运动，如图所示： 连接，如图所示：则由点与圆上一点的最值问题可知，线段长度的最小值为， 在矩形中，，， 则在中，，，由勾股定理可得， 线段长度的最小值为． 三、解答题 12．（广西南宁2026年九年级中考二模考试数学试题）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 13．（2026年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷）如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使点E，F分别在边和边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)过点作，垂足为点G，若，，求（1）中菱形的面积． 【答案】(1) 解：如图所示：四边形即为所求． (2)20 【分析】（1）以为圆心，以为半径画弧，交于点F；以为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，四边形即为所求． （2）根据，可求得，再用勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】（1）解：如图所示：理由： 由作法可知：， 中，，即， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2）解：，， ， ， ， 中，， ， ． 14．（2026年广西壮族自治区钦州市中考一模数学试题）如图，在正方形中，点E在边上，连接． (1)尺规作图：作，交线段于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）首先由正方形的性质得到，，然后根据证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据即可证明； （2）证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， 在和中 ； （2）证明：由（1）得， ， 又 又（公共角）， 16．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以O为圆心作圆，，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，，进而证明，利用直角三角形斜边中线的性质得，据此证明即可； （2）连接交于点，解可得和的长，利用中位线定理可得的长，最后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线， ∴， ∴垂直平分（三线合一）， ∴． ∵在中，点是的中点， ∴ ． ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接交于点， ∵在中，，， ∴． ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴ ， ∴． ∴． 17．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：； (2)连接，若平分，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）结合平行四边形的性质，利用“”证明即可； （2）根据全等的性质可得，，，再证明，接着再在、中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴； （2）如图： ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴． 18．（2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平考试模拟卷数学（二模））如图，是平行四边形中的平分线，交于点E． (1)作的平分线，交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)请猜想四边形是什么四边形，并用所学知识加以证明． 【答案】(1)所作图形如图： (2)解：猜想四边形是平行四边形．证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先得出，再得出，进而可得，然后根据平行四边形的判定即可得． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 19．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）综合与探究 图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题： 在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点． (1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点． ①求的长； ②求证：是的切线； (3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形 关于直线对称 四边形是矩形； (2)①， ②如图，过圆心作直线于点，交于点 ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 又∵是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ 在中， ∴，即为的半径 又∵ ∴是的切线； (3)或 【分析】（1）根据关于直线对称得出则，则，即可证明四边形是矩形； （2）①先证明，设，则， ，在中，，勾股定理求得 ②过圆心作直线于点，交于点，先证明四边形是矩形，是的中位线，得出，即可证明为半径，进而证明是的切线； （3）分两种情况讨论，，，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知， ∴，，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：，即； ②略 （3）解：如图所示，当时， ∴ 关于直线对称 ∴ ∵ ∴； 如图所示，当时，延长交于点， 关于直线对称 ，， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得：，即 综上所述，当点落在的三等分线上时，或． 20．（2026年广西隆安县中考二模九年级数学试卷）【探究主题】如何将一个任意四边形不重叠无缝隙拼接成正方形? 【研究思路】 (1)如图1，对于任意一个分别为的中点，连接，过点C作交延长线于点F．求证：． 【方案确定】从研究思路中发现，通过中点分割可拼接成平行四边形 研究方向：对任意四边形的中点进行分割的方向思考． 研究思路：按“四边形→平行四边形→矩形→正方形”的路径，由一般到特殊进行研究． 【初步探究】如图2，取四边形各边中点分别为点，连接交于点O，沿剪开．将分别绕点顺时针旋转 ，并将②平移，使点B与点D重合，拼接成四边形 (2)证明：四边形是平行四边形； 【方案实施】 步骤一：如图3，取任意四边形各边中点分别为点，连接，过点作 于点M，过点H作 于点N，沿剪开，将分别绕点顺时针旋转 将平移，使得点B与点D重合，拼接成四边形 记四边形的面积为S． (3)证明： 步骤二：如图4，在步骤一得到的四边形的边上确定一点P，连接，过点作 于点Q，沿分割，将平移，拼接成正方形 (4)若，直接写出的长及的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由①③分别绕点顺时针旋转可知，三点共线，三点共线， ∵，， ∴， ∴三点共线，同理可证三点共线； 如图1，连接， ∵点分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，，由题意知，，， ∴，， ∴，同理可证， ∴四边形是平行四边形． (3)证明：∵， 由图形变换可知，， ∴，，即， 同理可证， ∴四边形是平行四边形． 又∵于点M， ∴， ∵四边形是矩形， 如图2，连接， ∵分别为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵于点M，于点N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，由图形变换可知，，， ∴，． (4)， 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据中点的性质得到，证得结果； （2）由旋转知三点共线，三点共线，可得三点共线，三点共线，再利用中位线的性质证得四边形为平行四边形，最后利用等量代换和“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证得结果； （3）通过旋转的性质与等量代换，证得，同理可证得，得到四边形是平行四边形，根据得到四边形是矩形，利用中位线的性质得到，证得，得到对应边相等，最后利用等量代换证得结果； （4）由（3）知求出正方形的面积，再根据正方形的面积求出正方形的边长，再利用旋转的性质求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解： 由（3）知： ， ∴， 由图形变换可得，，， ， ∴在中，． 21．（广西南宁市2026年中考二模联考数学试题）在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究． (1)【初步感知】如图1，在正方形的内部取一点E，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是____________；与的数量关系是____________． (2)【特例研究】如图2，在（1）的前提下，当时，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形． (3)【类比探究】如图3，在矩形中，，，在其内部取一点E，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点． ①求证：四边形是矩形； ②连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）利用正方形边长相等、内角为直角，结合旋转得边相等、旋转角，等量代换推出夹角相等，通过证三角形全等，得出边与角的关系． （2）借助全等三角形对应角相等得到直角，结合旋转直角，判定四边形为矩形；再由旋转性质得邻边相等，进而证出正方形． （3）①由矩形与旋转性质推出两组角相等，结合已知边长比例，证两边成比例且夹角相等，得到三角形相似；利用相似传递直角，依据三个内角为直角判定矩形．②按比例设未知数，结合矩形性质转化线段；作垂线构造相似三角形，把线段统一用含未知数式子表示；在直角三角形中套用勾股定理列方程求解，算出最终线段长度． 【详解】（1）解：四边形是正方形 由旋转性质得： 在和中 ； （2）证明：由（1）得 又，则， 由旋转知， 四边形有三个内角为直角， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）①证明四边形是矩形， ， 由旋转性质得：，， ， ， 已知，又，， ，即， 在与中 ， ， ， 又，可得，且， 四边形三个内角均为直角， 四边形是矩形， ②解：设， 绕点顺时针旋转得到， ， ∵， ， ∵四边形为矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 过点作，垂足落在线段上， ， 四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中 ∴， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理可得：， ， ， ， 线段长度为正数，且点在矩形内部， ， ， ． 22．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”． (1)如图，矩形空地的宽度米，恰好能容纳个竖放的矩形菜畦和个横放的矩形菜畦，且每个矩形菜畦的形状、大小完全相同．求每一个矩形菜畦的长和宽； (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为米的正方形拓展基地，用于放置个菜畦，拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜畦和平行四边形菜畦的组合形式（如图），其中平行四边形菜畦的排数比矩形菜畦少排，每排菜畦之间设置米宽的通道，同时满足以下要求： （ⅰ）每一个矩形菜畦的长和宽与（1）中的矩形菜畦的长和宽完全相同； （ⅱ）每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形菜畦的形状、大小都相同，且有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形菜畦的长边相等（即在平行四边形中，，） ①求平行四边形菜畦的另一边的长； ②请判断该方案能否在边长为米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】(1)长为4米，宽为2米 (2)① ②能，见解析 【分析】（1）设每一个矩形菜畦的长为米，宽为米，由图可知长方形的长等于2个宽，长方形的长和宽的和为6米得出方程组，求出解即可；（2）①由（1）知矩形菜畦的面积为8平方米，过点作 于点，根据勾股定理求出（米），再根据 ，求出答案；②设矩形菜畦有排，则平行四边形菜畦有排，得出通道数量为条，通道每条宽米，则可计算出通道总宽为米，再计算竖直方向总高度为，列出不等式，得出的值，最后得出竖直高度和水平长度都不大于米即可得出答案． 【详解】（1）解：每一个矩形菜畦的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， 所以每一个矩形菜畦的长为4米，宽为2米； （2）解：①由（1）知，矩形菜畦的面积为（平方米）， ∵平行四边形菜畦的面积与矩形菜畦的面积相等， ∴平行四边形菜畦的面积为8平方米． 如图，过点作 于点， 由（1）知， ， 在 中， ， ∴， ∴， ∴（米）． ∵每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等，即 ， ∴ ， 解得， 所以平行四边形菜畦的另一边的长为米； ②设矩形菜畦有排，则平行四边形器材区有排， 由题意得，通道数量为：（条），每条宽米， ∴通道总宽（米）， 由（1）矩形菜畦每排高4米，平行四边形菜畦每排的竖起高度为米， ∴竖起方向总高度为：， 要想该方案在边长为米的正方形基地中实现，需满足：， 解得， ∵为正整数， ∴，即矩形菜畦有3排， ∴平行四边形菜畦有2排， 此时竖直高度为：，故竖直高度满足在边长为米的正方形基地中实现； 矩形菜畦每排可放（个），3排共能放（个）， 则平行四边形菜畦需要放（个），每排需放 （个）， ∵每个平行四边形菜畦水平方向占米， ∴6个总长度：，故水平长度满足在边长为米的正方形基地中实现； 综上，该方案能在边长为米的正方形基地中实现． 23．（2026年广西壮族自治区河池市宜州区二模数学试题）【综合与实践】 【课本再现】 九年级数学教材上有一例题：是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的动点，把绕点顺时针旋转得到，使与重合，如果，请证明． 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，已知，，且． ①求证：； ②求的值． 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，设（取值范围），若已知，先判定的长是否在取值范围之内，如果有，求的长． 【答案】(1)证明：∵将绕点顺时针旋转得到，使与重合， ∴，，，， 在正方形中，， ∴， ∴，，三点共线， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴，即； (2)①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； ② (3)是， 【分析】（1）由旋转性质、正方形的性质得到相关边以及角的相等关系，进而确定，，三点共线，再判定，得到，数形结合，由角度之间的关系恒等变形即可得证； （2）①由矩形性质及两个三角形相似的判定定理即可求证；②由相似三角形的性质得到，设，则，在中，由勾股定理求出，最后由正弦函数定义求解即可； （3）由（2）中两个三角形相似得到比例式，求出，由勾股定理及平移性质得到，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：由得， ∵，，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， ∴； （3）解：的长在取值范围内（）， 已知， ， ， 则， 在中，由勾股定理可得， 再由平移的性质得， 即，解得， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $