专题06 四边形（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编近5年河南中考真题及模拟题，聚焦平行四边形性质、三角形中位线、特殊平行四边形三大核心考点，题型涵盖选择、填空、解答，突出综合应用与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约10题/30分|平行四边形性质（2024真题）、菱形对角线计算（2026二模）|结合网格、坐标考查基础性质| |填空题|约10题/30分|三角形中位线（2022菱形题）、矩形折叠（2023真题）|融入动态变换与面积计算| |解答题|约10题/60分|特殊平行四边形旋转（2026菱形题）、四边形作图与证明（2026郑州二模）|分层设计（观察-探究-拓展），结合尺规作图与几何推理|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06四边形 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01平行四边形的性质 1.(1)如图所示即为所求： (②)BE=DF' 证明如下： ,口ABCD, .AB=CD,∠B=∠D, 由(1)得∠BAE=∠DCF, .△ABE≌△CDF(ASA). ..BE=DF. 2.B 3.(1)180°，8. (2) ①β=2a,理由如下： 连接AP1, 1/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P3 D ●P D 图2 由对称性可得，∠PAB=∠P1AB,∠P1AD=∠P2AD, ∠PAP2=∠PAB+∠P1AB+∠P1AD+∠P2AD =2∠P1AB+2∠P1AD =2∠P1AB+∠P1AD =2∠BAD B=2a, ②2 m sin a 3)26或3V2-6 考点02与三角形中位线有关的求解问题 4.B 5.C 考点03特殊的平行四边形 6.(1)60°：4 (2)两个结论仍然成立.证明如下： .四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, ∴.AB=AD=BC=4,ADBC, .∴.∠ABC=180°-∠BAD=60°， .AB=AE, .∴.AD=AE=AB, .'∠BAE=a,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-a, 2/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AEB支180-∠BAE=90-受 ∠AED=h80°-∠EAD=180-120-a=30+号 ∠BEH-=180-∠A2B-∠AED=180-90-9}-30+号-60 BE=BH, ∴.△BEH为等边三角形， ∴.∠EBH=60°， ∴.∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=∠EBH-∠CBE, ∴.∠ABE=∠CBH, BE=BH,AB=CB, .△ABE≌△CBH SAS, ∴.AE=CH, ∴.CH=4. 6)15或105 7.A 8.(1)OD=CG+OE (2) 不成立，OD=CG-OE, 证明：如图，过点C作CQ⊥OA于点Q, ,OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA, ..CQ=CD 在Rt△QOC和Rt△DOC中， 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC=OC,CP=CD. .Rt△QOC≌Rt△DOC, ∴.OQ=OD .DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA, ∴.∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°， 四边形CQEG是矩形， ∴QE=CG, ∴.OD=OQ=QE-OE=CG-OE」 要号 3 9.D 10.1) 如图： F M B (2) 证明：：∠ECM=∠A, .CM‖AB, BE‖DC, “,四边形CDBF是平行四边形， ,在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， :CD=BD-号AB. .平行四边形CDBF是菱形. 11.2或2+1 12.I)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC (2)①15,15： 4/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②∠MBQ=∠CBQ,理由如下： BM=BC,BQ=BQ '.Rt△BQM≥Rt△BQC HL ∴.∠MBQ=∠CBQ m或 3)AP=40 -cm 1 V 一年模拟练测园 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12.B 13.D 14.D 15.B 16.D 17.c 18.D 19.A 20.A 21.C 22.A 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.A 24.C 25.A 26.D 27.A 28.-2,2 29.10/2-5 30.2 31.4V3 ,0或-4,0 3 32. 33. 3n-83 16 34.7 1 35.2m-a-b 36.1或V5 3识器阳 38.4-23或4-23 3 39. 79,4V3 40. 2或6或10 41.1)见解析 (2)见解析 42.(1)解：如图所示为所求： 6/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E (2)2V2 B 43.1)所作图形如图所示， (②)：点D是BC的中点，点E是AB的中点， ∴DE是△BAC的中位线， ..DE AC, ∠BDE=∠C .AB=AC, .∠B=∠C, ,∠g=人B, .∠g=∠BDE, .EF‖CD, DE‖FC, ∴.四边形CDEF是平行四边形. 44.1)10和-10 o 45.(1) 如图，点E即为所求作， A D (2) 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：EA=EB, ∠EAB=∠B, ∴.∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B, :∠D=2∠B, ∴.∠AEC=∠D, 在△ACE和△CAD中， ∠AEC=∠D ∠ACE=CAD AC=CA ∴.△ACE≌△CAD AAS, .'.AE=CD,CE=AD. ,四边形AECD是平行四边形 46.(1) 解：所作图形如图所示， D dG B (2) 证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=CD,∠ABC=90, ,∠ABC=∠AGB=∠BFC=90°， .∠BAG=90°-∠ABG=∠CBF, ∴.△BAG≌△CBFAAS, ..AG=BF,BG=CF, ..AG=BF=BG+FG=CF+FG. 47.1) 解：如图，即为所求： 8/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)6 48.(1) 解：如图所示，点O即为所求，依据是平行四边形的对角线互相平分； y yD B C 图1 (2) 解：如图所示，即为所求：由平行四边形的性质得到AD‖BC,由作图可得AF=CE,则四边形AECF是 平行四边形，再由AE⊥BC可得平行四边形AECF是矩形. F B 图2 49.(1) 解：如图所示 F (2) 证明：AD‖BC, ∴，∠AFB=∠FBE 由(1)知∠ABF=∠EBF ∴.∠ABF=∠AFB ∴.AB=AF, .'BE=BA. 9/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AF=BE, 又.AF‖BE ,∴.四边形ABEF为平行四边形 又.AB=BE ∴.四边形ABEF为菱形. 50.(1) 如图，点P就是所求作的点 D (2) 如图，点Q就是所求作的点； D E B 51.1)见解析 (2)等腰三角形，见解析 52.(1)见解析 (2)22.5° 53.(1)BC=BE C).2 6)133或19 5 1 54.(1)45 (2)证明：由(1)可知：CG=FG=BE,∠FCG=45°， 10/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E G :正方形ABCD, .BC=CD,∠BCD=90°， .∠DCG=90, .∠FCD=90°-∠FCG=45, .DF⊥CF, “△FCD为等腰直角三角形， 作FH⊥CD,则DH=CH=CD, 又，FG⊥BC,∠DCG=90°， 四边形HCGF为矩形， ∴.CH=FG, ∴CH=BE, BE=CD号BC,即点E是BC的巾点， ®吗 55.1)四边形AECF为矩形，理由如下： .AE⊥BC,CF⊥AD, ∴.∠AEC=90°，∠AFC=90°， ,四边形ABCD为菱形， ∴.AD‖BC ∴.∠AFC+∠ECF=180°， ∴.∠ECF=180°-∠AFC=90°， ∴四边形AECF为矩形， 20CH=MD理由如下： ,四边形ABCD为菱形， 11/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AB=AD,∠B=∠D .:△ABE绕点A逆时针旋转得到△AHG, ∴.AB=AH,∠B=∠H. ∴.AH=AD,∠H=∠D. .'∠HAM=∠DAC, .∴.△HAM≌△DAC ASA, .∴.AM=AC, ∴.AH-AC=AD-AM, .∴.CH=MD 罗罗 56.1)2V7 (2)16 6)47戌4V15 57.1)45°：等腰直角三角形 (2)6 D 10 3 3)① ② 58.1).BE=1, ∴.EC=BC-BE=2=AB, ,F为DC的中点， ∴.CF=1=BE, 在△ABE与△ECF中，乙. ②0点B的坐标为43：②0C的长为 59.1)90°：EC2=AB·FC (2)结论仍然成立，见解析 12118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：两个结论依然成立： 证明：如图，连接EF, B D B E 在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， 由折叠可知， △ABE≌△ABE, ∴.∠AEB=∠AEB,BE=BE,∠B=∠ABE=90°， .E是BC中点， .'BE=CE=B E, 在Rt△BEF和Rt△CEF中， B E=CE EF=EF ∴.Rt△BEF≌Rt△CEF HL' ∴.∠CEF=∠BEF, ∴.∠AEF=∠AEB+∠FEB=5×180°=90： ∴.∠AEB=∠EFB=90°-∠BEF, .∠ABE=∠EBF, ∴.△ABE一△EBF, BEAB, ·BFBE ∴.BE2=AB·BF, ∴.EC2=AB·FC: (3)线段CB的最小值是2，最大值是8 60.1)2<BC<8 (2)1<AF<4 13/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3) 解：DE=2AF,DE⊥AF,理由如下： 延长AF,使得FH=A,连接CH,延长A,交DE于点G,如图所示： G H 图5 ,分别以AB,AC为腰构造等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE, .AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=90°， .∠DAE+∠BAC=360°-∠DAB-∠EAC=180°， .∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， .∠DAE=∠ABC+∠ACB, :F是BC中点， .BF=CF, ,∠CFH=∠BFA, .△BFA≌△CFH SAS, ∴∠ABF=∠FCH,AB=CH, .∠DAE=∠FCH+∠ACB=∠HCA,AD=CH, AE=AC, .△ADE≌△CHA SAS, .DE=AH=2AF,∠CAH=∠AED, ,∠EAC=90°， .∠CAH+∠EAG=90°， ∴.∠AED+∠EAG=90°， .∠AGE=90°，即AF⊥DE: 4)/58或qy10 61.(1)PQ=EF+FC 14118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)12 6)1+2n '6+6n 62.(1) 解：四边形CDHF是正方形： 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠ADC=∠DCB=90, ,MN是线段CE的垂直平分线， CF-cE,∠Mrc=90, ∴四边形CDHF是矩形， CE=2AB, ..CD=AB=CF, ∴四边形CDHF是正方形： (2) 解：CD=V3HG,理由如下： 如图2，四边形ABCD是矩形，连接BG, M A(E) H G B 图2 .AB=CD,∠ABC=∠BAD=90°， .CE=2AB,点E与点A重合， ..AC=2AB, ,MN是线段CE的垂直平分线， .点G是AC中点，∠AGH=90°， :.BG-AG--AC-AB, 15118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△ABG是等边三角形， .∠BAG=60°， ∴.∠GAH=∠BAD-∠BAG=30°. 在直角△AGH中，∠GAH=30°， ..AH=2HG, 由勾股定理得：AG=AH2-HG=2HG-HG=-3HG' .AG=AB=CD. ..CD=3HG; 6)LAEC的度数为10或50或70 63.1)BE=CD, 理由如下： 由旋转的性质，得AD=AE, ,∠DAE=∠BAC, .∠BAE=∠CAD, 又，AB=AC, ∴.△ABE≌△ACD|SAS, ..BE=CD: 2) 四边形BEFD为平行四边形， 同理得： △ABE≌△ACD, ∴.∠ACD=∠ABE,CD=BE, ,∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠ABE=∠ABC+∠CBE, .∠BAC=∠CBE, .AB=AC. ∴.∠ABC=∠ACB, ,∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠BAC+2∠ABC=180°，∠CDF=2∠ABC, .∠BAC+∠CDF=180°， ∴.∠CBE+∠CDF=180°， 16/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE‖DF, 由旋转的性质，得CD=DF, CD=BE, ∴BE=DF, ∴四边形BEFD为平行四边形 3)线段DE的长为2785成2/205 一或 5 64.1)= 包OOC=3pA,理由如下： .PA=PB,∠APB=a=60°， △PAB是等边三角形， .AB=BP,∠B=60°， l⊥AB, .在Rt△BPO中，PO=BP·sinB=BP·sin60°= 3 BP, 2 由旋转有PO=PC,∠OPC=a=60°， ∴△OPC是等边三角形， ∴.OC=P0= BP- 2 2 m 2sn号os号 2雪 65.(1) PF=PD.理由如下： .四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=AD,∠B=∠C=∠D=90°. 点E是BC的中点， .BE-CE-BC-AB. 由翻折的性质，可知AF=AB,EF=BE,∠AFE=∠B=90°， 17/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AD=AF,∠AFP=∠D=90°. ,在Rt△AFP和Rt△ADP中， AP=AP AF=AD ∴.Rt△AFP≌Rt△ADP HL. ∴.PF=PD 5;③点M到线段AP所在直线的距离为 V10 8V10 (2)①S△PcE=6;②AM的长度为 25 66.1)DF=BM (2)成立，理由见解析 哈号 18/18 专题06 四边形 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01平行四边形的性质 近6年5考，5年1考（直接考查）；题型：选择、解答题；分值：3-6分；2022-2026年多数年份考查，2024年单独出选择题，常融入几何大题综合考查 核心考查对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分三大性质；常结合尺规作图、角平分线、全等三角形综合命题；常与菱形、矩形判定结合考查；难度中等偏基础，属几何证明入门考点；常作为特殊四边形判定的基础铺垫 考点02 与三角形中位线有关的求解问题 近5年高频考查，工具性考点；题型：选择、填空、解答题均有涉及；分值：3-5分；2022-2026年每年均有涉及，多融入四边形、圆等大题 核心考查中位线定理（平行于第三边且等于第三边一半）；常作为隐藏条件出现在几何综合题中；常与平行四边形判定、中点四边形、面积计算结合；易错点为中位线与中线概念混淆；是连接三角形与四边形的桥梁考点 考点03 特殊的平行四边形 近3年100%必考，中档核心题型；题型：填空、解答综合题；分值：5-11分；2022-2026年连续考查，每年1道中档几何证明计算题 包含矩形、菱形、正方形三类，考查性质与判定双向应用；常结合折叠、旋转、动点动态变换命题；矩形侧重直角与对角线相等、菱形侧重四边相等与对角线垂直、正方形兼具两者性质；步骤分占比高，规范书写即可满分；是区分基础与中档水平的关键题型 考点01 平行四边形的性质 1．（2026·河南·中考真题）如图，在中，点为边上一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断线段与（1）中得到的线段的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)如图所示即为所求： (2)，证明如下： ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略． （2）略． 2．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 3．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．      (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． (2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)，． (2) ①，理由如下： 连接，    由对称性可得，， ∴， ② (3)或 【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离； （2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论； ②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解； （3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解． 【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称， ∴与关于点中心对称， 则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ∵， ∴， ∵,关于直线对称， ∴， 即， 可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，．    （2）①略 ②连接分别交于两点，过点作，交于点，      由对称性可知：且， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，   ∴， 在中，， ∵， ∴, ∴ （3）解：设，则， 依题意，， 当时，如图所示，过点作于点，    ∴ ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴ 在中，，则，， 在中，，   ， ∴ 由（2）②可得， ∵ ∴ ∴， 解得：； 如图所示，若，则，    ∵，则， 则， ∵，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 考点02 与三角形中位线有关的求解问题 4．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5．（2022·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6． 考点03 特殊的平行四边形 6．（2026·河南·中考真题）在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)两个结论仍然成立．证明如下： 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ，则， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，则， ， ，， ， ， ． (3)或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，由旋转的性质，三角形内角和定理得到，是等腰直角三角形，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （2）根据菱形的性质，旋转的性质得到，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H在左边时，过点作延长线于点，由面积公式得到，根据解直角三角形的计算得到，由平角的定义即可求解；当点H在右边时，同理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，旋转角， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示，过点作延长线于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 8．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 9．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 10．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】(1) 如图： (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 11．（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，    ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时，      ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 12．（2022·河南·中考真题）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】(1)或或或 (2)①15，15； ②，理由如下： (3)cm或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，sin∠BME= （2）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ②略 （3）当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·一模）下列性质中菱形具有而矩形不具有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四条边都相等 D．对边平行 【答案】C 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，根据两种图形的基本性质逐一判断选项即可求解. 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，对边平行， ∴选项A、D是矩形和菱形都具有的性质， ∵对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，不符合题目要求，排除B， ∵菱形的四条边都相等，矩形仅对边相等，邻边不一定相等， ∴四条边都相等是菱形具有而矩形不具有的性质，C符合题意． 2．（2026·河南周口·二模）如图，菱形的两条对角线交于点O，若，则的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得，，再用勾股定理解即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ． 3．（2026·河南三门峡·二模）正n边形的一个外角的度数不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等且多边形的外角和等于360度解答即可． 【详解】解：设每个外角的度数为，则， ． 只有不是整数． 4．（2026·河南驻马店·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（     ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】结合平行四边形的性质以及点E为的中点证明，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点O， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理求出，证明，列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴. 6．（2026·河南周口·一模）如图，菱形的周长为16， ，对角线与交于点O， E为的中点，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的周长为16可得，根据对角线与交于点O可得为线段的中点，又由E为的中点，可得是的中位线，即，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为16， ∴， ∵对角线与交于点O， ∴为线段的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线，即． 7．（2026·河南平顶山·一模）如图，在中，，为边上的中线，，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴是的中位线， ∴ 8．（2026·河南周口·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是的中点，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．48 D．64 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形面积的求解，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关性质，正确求得的长度． 根据菱形的性质可得，，，，由点E是的中点可得，求得，由勾股定理可得，从而得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴，则， 由勾股定理可得，， ∴， 由菱形面积公式可得，菱形的面积为，A选项符合． 9．（2026·河南驻马店·二模）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质、30度角的性质及勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·河南三门峡·二模）如图所示，矩形的顶点O为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每秒旋转，则8次一个循环，，第2026秒时，点的对应点落在第一象限的角平分线上，进一步求解可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2026秒时，点的对应点落在第一象限的角平分线上， 如图，过作轴于，且，则， ∴， 点的坐标为． 11．（2026·河南·二模）如图，在中，为边上一点，且，连接，与交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形和相似三角形的性质，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（2026·河南商丘·二模）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点O是的中点，运用勾股定理在中求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵把绕点顺时针旋转到的位置 ∴，， ∵， ∴点O是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴． 13．（2026·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在轴的上方，其中，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，根据正方形的性质可证，，再根据三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，， ， ，． 四边形是正方形， ，， ． 又 ， ． 又 ， ， ，， ． 同理可证， ，， ， ． 14．（2026·河南濮阳·二模）新定义：在平面直角坐标系中，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，我们称该矩形是“正矩形”．函数（）的图象如图所示，点，B是该图象上两点．若以为对角线的“正矩形”的面积为8，则点B的横坐标是（     ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】设，由题意可知以为对角线的“正矩形”的各边都与坐标轴平行，可分别求出矩形的边长，再根据“正矩形”的面积为8列方程求解． 【详解】解：设， 根据矩形的四个角都是直角，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，那么该矩形的另一组边也应与另一条坐标轴平行， 四边形是“正矩形”， 轴，轴， ，， 以为对角线的“正矩形”的面积为8， ， 整理，得， 解得或， 点B的横坐标是3或． 15．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 16．（2026·河南周口·一模）已知直线，将正五边形按如图所示的位置摆放，顶点在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出正五边形的内角度数，进而得到的度数，再根据平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（2026·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，边在轴上，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到，则；过点B和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则，可求出， ，解直角三角形可得，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴； 如图所示，过点B和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点D的坐标为． 18．（2026·河南郑州·一模）定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（    ） A．内角等于130°的菱形的接近度 B．接近度越大的菱形越接近于正方形 C．当时，该菱形是正方形 D．菱形的接近度的取值范围是 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，结合菱形的邻角互补性质，逐一验证选项即可得到不正确的结论. 【详解】解：∵菱形对边平行，∴菱形相邻内角满足， 对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为， ，A正确； 对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确； 对选项C：当时，，即，结合得，此时菱形是正方形，C正确； 对选项D：∵菱形的内角满足，， ，可得，的最大值为， 因此的取值范围是，不包含，D错误. 19．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，根据菱形的面积公式求出，则，根据勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴菱形的边长为． 20．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（   ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】证明可得，再进一步求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 21．（2026·河南驻马店·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，菱形的顶点的坐标为．若菱形绕点逆时针方向旋转，每秒旋转，则第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为（   ） A． B． C．（） D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标． 【详解】解：菱形的顶点，， 由中点坐标公式得D点坐标为． 每秒旋转，则点D旋转一周所需时间为：（秒）， ，即点D旋转253周，再额外旋转2秒， 初始D点坐标为，逆时针旋转后点D坐标为． 所以，第2026秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 22．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，边长为的正方形的对角线与相交于点O，E是边上一点，F是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与关于直线对称可得，，设，则，，在中，由勾股定理得，，代入即可得到x的值． 【详解】解：正方形的边长为， ，， 与关于直线对称， ，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， 化简得，， 解得，，则． 23．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和垂线段最短可知，的最小值即为的最小值，当时，取得最小值，根据平行四边形的面积进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵于点于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 则的长不可能是． 24．（2026·河南平顶山·二模）如图，在四边形中，，，，．的平分线交于点E，交于点O．若点O是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，先证明四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，即， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 25．（2026·河南·一模）如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，作于G，作于T，    ∵， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴， ∴点E是的中点， ∴，即， 故选：A． 26．（2026·河南新乡·一模）如图，由八个全等的菱形组成的平行四边形网格中，，其中点A，B，C都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取格点，连接，，则点在线段上，设每个菱形的边长为，证明是等边三角形，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取格点，连接，，则点在线段上，设每个菱形的边长为， 根据菱形的性质知，，，， ∴， 由菱形的性质得是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先确定，结合菱形的性质以及旋转的性质，确定旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上；连接，过点作轴于点E，易得，，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，的长度，结合点在第三象限即可确定其坐标；根据图像变化规律可知第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 连接，过点作轴于点E，如图，则， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 又∵， ∴第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同， ∴． 二、填空题 28．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为．将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；再将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；依此类推，连续旋转2026次后得到正方形，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得到规律：正方形旋转一周需要8次，则，即点与点重合，根据旋转的性质得到的坐标，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得：旋转角为， 旋转一周需要的次数为，即与点重合， ， 点与点重合， 由题意可知，点旋转2次得到点，即， 四边形是正方形， 、、， ， ， 四边形是正方形， 、、， 如图，旋转后的正方形中顶点与点重合， 由旋转的性质知，、，， ， ． 29．（2026·河南平顶山·二模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点在菱形的边上，且的顶点都在小正方形的顶点上，以为圆心，的长为半径画，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出、、的长度，利用勾股定理逆定理可判断出为等腰直角三角形，即得，，再根据解答即可求解． 【详解】解：勾股定理得，，，， ， 是直角三角形，且， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ． 30．（2026·河南周口·二模）如图，在菱形中，E，F，G，H分别为，，，的中点，连接，，，，则菱形的面积与四边形面积的比值为________． 【答案】2 【分析】连接、，交于点O，根据中位线的性质求出四边形是矩形，根据矩形和菱形面积公式即可求解． 【详解】解：连接、，交于点O，如图所示：    ∵四边形为菱形， ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，和的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即菱形的面积与四边形面积的比值为2． 31．（2026·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线在轴上，将菱形翻折，使点落在对角线上的点处（点与点不重合），折痕分别与，交于点，，连接，若恰为等腰三角形，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【分析】连接交于点，由题意易得，，，则有，然后可得，，进而可分当时，当时求解即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： ∵四边形是菱形，且边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意可分：当时，则有， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，此时； 综上所述：当恰为等腰三角形时，则点的坐标为或． 32．（2026·河南许昌·一模）定义：在平行四边形中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．如图，在矩形中，点分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”．若，则的值为________． 【答案】或/或 【分析】过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即， ∵四边形为字平行四边形， 又∵， ∴有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴为的中点， ∴， 在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴为的中点， ∴， 设， 则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，可得， ∴， ∴， 综上，的值为或． 33．（2026·河南商丘·一模）如图，在菱形中，，，分别以点和点为圆心，，的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为，且半径为4的扇形的面积与菱形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ，为等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 34．（2026·河南南阳·一模）如图，点E是内一点，，平分，D是边的中点．若，，则边的长__________． 【答案】7 【分析】延长交于点F，先根据角平分线的定义和直角三角形的两个锐角互余得，进而得出,再说明是的中位线，可求出，然后根据得出答案． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴, ∴点E是的中点． ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 35．（2026·河南平顶山·二模）如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若 ，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可． 【详解】解：连接、两点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等， ∴，， ∴，即， ，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 36．（2026·河南南阳·二模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与长方形顶点重合），则的长为___． 【答案】或 【分析】矩形对角线有两条：、，分落在对角线上，在边上以及落在对角线上，在上两种情况讨论算出长度． 【详解】解：矩形， ，，， ， ①落在对角线上，在边上， 由折叠性质：，，，，， 由是中点，得， ， ， ， ， ， ； ②落在对角线上，在上， 设交于点，连接， 由折叠性质：，， 又， ， ， 又， ， ， ， 的长为或． 37．（2026·河南平顶山·一模）如图1，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接，设BF的长为x，，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 【分析】连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图，时，，设，则，根据，此时可计算， 连接交于，连接，过点作于，通过，算得，，计算通过勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， 由图知：， 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：，此时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是． 38．（2026·河南濮阳·一模）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿折叠，点对应点，与射线相交于点，若，则此时__________． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质得到，再由平行线的性质和折叠的性质可推出，得到，设，则，并分①当点在线段上时，②当点在射线上时，两种情况，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ①当点在线段上时，如图， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ②当点在射线上时，如图， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 39．（2026·河南商丘·一模）为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……所有车位长宽相同，按图示并列划定，其中点，……在边上，点，⋯⋯在边上．若，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】分别求出，，再求出车库的宽度，求出，求出的纵坐标，求出，进而求出的横坐标，即可解决问题． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ． ∵四边形是矩形， ，， ． ，． ． ， 同理可得， ． 40．（2026·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 【答案】 或或 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，的长，根据旋转的性质得到， ，  分情况讨论： 当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ，   分情况讨论： 当经过的中点时，交于点，连接，， 如图所示， ， ，   ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接， 如图所示， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接，，过点作于，如图所示，则四边形是矩形， ，， 垂直平分， ，， 是等边三角形，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，解得， ； 点在上，在射线上， 的垂直平分线位于的右侧，与的延长线会存在交点，但不存在与线段相交的情况，故不会存在经过的中点的情况； 综上，的长为或或． 三、解答题 41．（2026·河南郑州·二模）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，垂直平分． (1)尺规作图：作，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （2）由垂直平分线的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：证明：垂直平分， ， 在与中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形． 42．（2026·河南三门峡·二模）如图，在正方形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作的垂线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，求的长． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2) 【分析】（1）以点为圆心画弧交线段于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，过点以该点作射线交于点即可； （2）利用正方形的性质结合作图结论证明，易求，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 43．（2026·河南安阳·二模）如图：在中，，点是的中点，点是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)所作图形如图所示， (2)∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）以点E为顶点，为一边，作即可； （2）证明是的中位线，得到，再利用等边对等角和等量代换求得，得到，根据平行四边形的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 44．（2026·河南·一模）如图，正方形对角线交点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点和C在反比例函数的图象上，顶点B和D在反比例函数的图象上． (1)求和的值； (2)点E是线段与x轴的交点，请写出点E的坐标． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）先将代入，求得，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则，证明，进而得出，代入，即可求解． （2）先待定系数法求得所在的一次函数解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则． ∵四边形是正方形， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴ ∴和的值分别为10和； （2）解：设点A、B所在的直线解析式为， 把和分别代入中， 得， 解得， ∴所在的一次函数解析式为， 当时，解得， ∴点E的坐标为． 45．（2026·河南平顶山·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 【答案】(1) 如图，点E即为所求作． (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形AECD是平行四边形． 【分析】（1）作的垂直平分线交于点即可； （2）证明，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 46．（2026·河南周口·一模）如图，在正方形中，是边上一点，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 解：所作图形如图所示， ； (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据尺规作图的方法作出图形即可； （2）利用证明，得到，，据此计算即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 47．（2026·河南三门峡·一模）如图，四边形的顶点都在以为直径的半圆上．． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中作图的基础上，若，，求的长． 【答案】(1) 解：如图，即为所求： (2)6 【分析】（1）过点作的平行线与直径的交点即为点，由得到，而，故，，，故点是的垂直平分线与的交点，故点即为圆心； （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 48．（2026·河南濮阳·一模）如图1，四边形是平行四边形． (1)请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． (2)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 【答案】(1) 解：如图所示，点O即为所求，依据是平行四边形的对角线互相平分； (2) 解：如图所示，即为所求；由平行四边形的性质得到，由作图可得，则四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是矩形． 【分析】（1）连接交于点O，则点O即为所求； （2）过点A作的垂线，垂足为E，以A为圆心，的长为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 49．（2026·河南南阳·一模）如图，在梯形中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中的角平分线与边交于点，在边上截取线段，使，连接．求证：四边形为菱形． 【答案】(1) 解：如图所示． ； (2) 证明：， 由（1）知 ， ， ， 又 四边形为平行四边形 又 四边形为菱形． 【分析】（1）根据题意作出的角平分线，即可求解； （2）根据角平分线的定义，平行线的性质证明，，进而得出四边形为平行四边形，结合即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 50．（2026·河南郑州·一模）在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在上找到一点，使点是的中点． (2)如图2，在上找到一点，使点是上靠近点的三等分点，并说明理由． 【答案】(1) 如图，点就是所求作的点． (2) 如图，点就是所求作的点； 【分析】（1）连接和，交点为，连接并延长交即为，通过证明即可； （2）连接交于点，只需满足求解即可． 【详解】（1）解：如图， 连接和，交点为，连接并延长交于 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴点是的中点． （2）解：如图， 连接交即为点， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的一个三等分点． 51．（2026·河南商丘·一模）如图，已知． (1)尺规作图：在边上找一点，在边上找一点，使四边形沿折叠后，点与点重合．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交边于点，边于点即可； （2）根据平行四边形的性质得到，则，由折叠的性质可知，即，根据等角对等边即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）解：如解图所示，点，即为所求； （2）解：是等腰三角形． 理由：四边形是平行四边形， ， ． 由折叠，得， ． ． 是等腰三角形． 52．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； （2）解：四边形是正方形，是对角线， ， 平分， ， ， 直线，即， ． 53．（2026·河南南阳·二模）如图，在中，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图，若的延长线恰好经过点，请直接写出线段与线段的数量关系 ． (2)如图，若，延长分别与边相交于点 ，若，，求的长． (3)如图，若，，， 所在直线分别与直线、直线相交于点．过点作于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】利用平行四边形的性质和折叠的性质得出，即可求解； 由已知可得平行四边形是矩形，即得，，同理可得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，利用勾股定理可得，得到，再利用解答即可求解； 由已知可得四边形为菱形，可得，进而得到 ，，再分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，利用菱形和相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ，， 同理可得， 由折叠的性质得：，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ， ， ， 即， ； （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在点的左侧时，过点作 ，如图， 则，， ， ， 由折叠的性质得， 同理可得：， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， ∵， ∴， ， 即， ； 当点在点的右边时，过点作，如图， ， ， 由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， ∵， ， ， 即， ； 综上，的长为或． 54．（2026·河南周口·二模）在正方形中，点E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E在边上时，__________； (2)如图2，连接，若，求证：点E是的中点； (3)若，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知：，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 作，则， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，即点是的中点. (3) 【分析】（1）证明，得到，证明为等腰直角三角形，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，作，三线合一，得到，证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到，即可得证； （3）利用（1）中的部分结论，结合三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：作交的延长线于点，则， ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴的面积. 55．（2026·河南平顶山·二模）问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． (2)深入探究：将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段交于点M，N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点M，N，直线与线段交于点Q．若，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)四边形为矩形，理由如下： ，， ，， ∵四边形为菱形， ， ， ， ∴四边形为矩形． (2)①，理由如下： ∵四边形为菱形， ，． 绕点A逆时针旋转得到， ，． ，． ， ， ， ， ． ②或 【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可； （2）①证明即可； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：   由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形的面积是或． 56．（2026·河南商丘·二模）菱形纹样是一种具有丰富寓意的纹样，它不仅象征着丰硕，还代表着超越和进步，原始先民的陶器上就有了菱形的雏形（图1）．如图，边长为4的菱形中，点P为边中点，连接，，已知的度数为．    (1)问题发现 如图2，若，求线段的长； (2)类比探究 如图3，若 ，求的值； (3)拓展延伸 若或中的一条与菱形的一条对角线相等，请直接写出菱形的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质，结合，可得为等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得，，再由勾股定理求出、； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解； （3）分两种情况：当时，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理求出，即可求菱形的面积；当时，分别过点，作，，垂足分别为，，易证，则，，易证四边形为矩形，则，可求，再由勾股定求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，    在菱形中，，， ∴， 为等边三角形， ∵点为的中点， ，， ∴在中，， ， ， 在中，； （2）解：在菱形中，， ， ∵菱形的对角相等， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：分以下两种情况： 当时， 如图2，过点作于点，   ，，且， ， ， 在中，， ； 当时， 如图3，分别过点，作，，垂足分别为，，      在与中， ， ， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ， ， 在中，， ． 综上所述，菱形的面积为或． 57．（2026·河南南阳·二模）综合与实践 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的． (1)【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则的度数为________，的形状是________． (2)【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足角，，，求正方形的边长． (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足． ①将绕点逆时针旋转到，连接，在图3中补全图形； ②若，，请直接写出的长． 【答案】(1)；等腰直角三角形 (2)6 (3)①；② 【分析】（1）根据旋转的性质可知和都是等腰直角三角形，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）①根据题意补全图形即可；②证明，得到，再根据勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 由旋转的性质得：，， ∴的形状是等腰直角三角形； （2）解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ∵正方形， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴，，三点共线． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6． （3）解：①略 ②由旋转的性质可得，，，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵与互余，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 58．（2026·河南周口·二模）综合与实践 在数学课外小组活动中，王老师提到这样一个结论：如果，都为锐角，且，，那么． 根据所给条件，小明同学构造了如下图形，并进行证明． 如图1，在矩形中，，，为边上的一点，，为边上的中点，设，，则，．求证：． 证明：在矩形中，，，． ． ，． ， ． ． ． ． (1)请你将方框中证明全等的过程补充完整； (2)在上述结论的启发下，小明发现命题“若，，则”或“若，，则”这些都是真命题．于是他利用这些真命题完成了以下题目： ①如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，等腰直角三角板的角的顶点与点B重合，与矩形两边分别交于E，F两点．若，，且，求点B的坐标； ②如图3，在中，，，，将绕点O顺时针旋转得到，连接与交于点C，请直接写出的长． 【答案】(1)， ， 为的中点， ， 在与中，． (2)①点的坐标为；②的长为 【分析】（1）根据已知条件证明； （2）①设，设，根据已知条件求出，，的关系，再依据结论求出，即可得到的坐标； ②由旋转的性质证明为等腰直角三角形，证明，求出，依据结论求的长． 【详解】（1）略 （2）解：①已知，，， 设，则，， 设，则，， 即，， 由题中结论：，， ， 根据结论，得 ， 即， 解得， ，， ； ②由旋转：，，为等腰直角三角形，，， ∴， 由题干结论：若，，， 可得， ∴， ， ． 59．（2026·河南商丘·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． (1)【操作发现】 第一步：在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点．如图1，连接，则的度数为__________，用等式表示线段，，之间的数量关系：__________． (2)【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，仍然是边的中点，将沿所在直线折叠，此时点落在矩形的外部．如图2，判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． (3)【拓展应用】 在矩形中，若，，是直线上的一动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，请直接写出线段的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)结论仍然成立，见解析 解：两个结论依然成立； 证明：如图，连接， 在矩形中，， 由折叠可知， ， ，，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； (3)线段的最小值是2，最大值是8 【分析】（1）由题易知，进而可证出，可得；再证明，即可得解第二空； （2）同（1）的方法即可解答； （3）由题意可得点在以为圆心，长度为半径的圆上，根据点到圆的距离，即可解答． 【详解】（1）解：在矩形中，， 由折叠可知，， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：将沿所在直线折叠， 点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ，， ， 当点在线段上时，即图中处，最小，为， 当点在线段延长线上时，即图中处，最大，为， ∴线段的最小值是2，最大值是8． 60．（2026·河南濮阳·一模）如图1，在中，，是中点． (1)问题提出 兴趣小组的同学发现：利用“三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边”可以直接求出的取值范围是__________，但是对于的取值范围又该如何确定呢？ (2)问题解决 下面是三位同学的解题方法供你选择，请直接写出的取值范围是__________． 小明的作法：倍长中线．如图2，延长至点，使得，连接 小亮的作法：化中线为中位线．如图3，延长至点，使得，连接 小凯的作法：构造中位线．如图4，取的中点，连接 (3)方法应用 如图5，分别以，为腰构造等腰和等腰，连接．请写出和的关系，并说明理由． (4)联系拓展 在（3）的条件下，将绕点在平面内旋转，当点，，在同一条直线上时，直接写出此时点和点的距离． 【答案】(1) (2) (3) 解：，，理由如下： 延长，使得，连接，延长，交于点，如图所示： ∵分别以，为腰构造等腰和等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (4)或 【分析】（1）根据三角形三边关系可直接进行求解； （2）分别根据小明的作法：倍长中线．小亮的作法：化中线为中位线；小凯的作法：构造中位线；进行求解即可； （3）延长，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，则，，进而通过证明进行求解即可； （4）由（3）可知，，，，由题意可分当点D在线段的延长线上时，当点D在线段的延长线上时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可知：， 即； （2）解：小明的作法：倍长中线．如图2，延长至点，使得，连接， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得，即， ∴； 小亮的作法：化中线为中位线．如图3，延长至点，使得，连接， ∴在中，根据三角形三边关系可得， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即； 小凯的作法：构造中位线．如图4，取的中点，连接， ∴， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴在中，根据三角形三边关系可得； （3）略 （4）解：由（3）可知：，，，， 由题意可分：当点D在线段的延长线上时，过点B作于点R，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，过点B作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当点，，在同一条直线上时，此时点和点的距离为或． 61．（2026·河南开封·一模）如图，在中，点为边上的动点，连接，沿折叠，点恰好落在边上的点处，点为射线上一动点，过点作交于点，交延长线于点． (1)观察猜想 如图①，当点在线段上，点恰好为的中点时，用等式表示线段，，之间的数量关系：___________． (2)问题探究 在（1）的条件下，若，求的长（写出求解过程）． (3)拓展应用 如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交延长线于点．若，且时，直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】（1）连接，先证明，可得，再证明，可得，，即可得结论； （2）由，可得，则，即可求解； （3）由，可得，由，，得四边形是平行四边形，则，再由折叠可得，，，，证明，得，则，再证明，得，再证明，得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知，，，则， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，， 设，则， ∴， 解得，即． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 62．（2026·河南南阳·一模）综合与探究 【问题情境】 数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．如图，已知四边形是矩形，E是其所在平面内的一动点，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、、于点F、G、H． 【特例探究】 (1)如图，小豫画出了点在线段的延长线上时的图形，请你判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)如图，小郑画出了点与点重合时的图形，请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 小宛继续改变点的位置（但不与点A重合），其他条件不变．请直接写出当直线经过点A时，的度数． 【答案】(1) 解：四边形是正方形； 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 解：，理由如下： 如图，四边形是矩形，连接， ∴，， ∵，点与点重合， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点是中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴； (3)的度数为或或． 【分析】（）由垂直平分线的性质和矩形的性质可证明四边形是矩形，结合可判定四边形是正方形； （）根据含有的直角三角形的性质进行证明即可；     （）根据点在上的位置分三类讨论，结合（）中的结论可得，，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，计算出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：直线经过点时，的度数为或或，理由如下： 依据点在上的位置分三类讨论如下： 当点在线段上时，如图，设， 由（）可知，，， ∴， ∵， ∴在点运动的过程中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，直线经过点时，的度数为或或． 63．（2026·河南周口·一模）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接． 初步探究： (1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长． 【答案】(1)， 理由如下： 由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 四边形为平行四边形， 同理得： ， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形 (3)线段的长为或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据等边对等角得到，证明，由旋转的性质得到，进而得到，即可得到四边形为平行四边形； （3）过点A作于点M，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，分当点D在的延长线上时，当点D在线段上时两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点A作于点M． 则 ． ①当点D在的延长线上时，此时 又 ， 解得 ②如图，当点D在线段上时，此时 同理①得 即 解得 综上所述，线段的长为或． 64．（2026·河南安阳·一模）【综合与实践】 直线是线段的垂直平分线，点为直线上一动点，连接，，线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为．连接． (1)【观察发现】：如图1，当点在线段上方时，连接，则__（选填“”，“”或“”）． (2)【深入探究】：如图2，当点在线段下方时，与交于点，连接． ①若，判断与的数量关系，并说明理由． ②若，则_____（用含，的式子表示）． (3)【拓展应用】：点在运动过程中，若以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由旋转有，， ∴是等边三角形， ∴． ② (3)或 【分析】（1）由，得到，再由，证明，得到，根据垂直平分线的定义得到，即可证得； （2）①由，，得到等边，从而，因此在中，，证明是等边三角形，得到． ②由等腰三角形的“三线合一”得到，由旋转有，，因此，同理有，，从而在中，，在中，，即可解答； （3）分两种情况讨论：①点P在线段的上方，四边形是平行四边形；②点P在线段的下方，四边形是平行四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， 又由旋转有， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：①略 ②∵，，是的垂直平分线， ∴， ∵由旋转有，， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在线段的上方，四边形是平行四边形， 则，， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． ②如图，若点P在线段的下方，四边形是平行四边形， 则， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 同（1）可证， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∴． 综上所述，的值为或． 65．（2026·河南平顶山·一模）如图1，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，连接．请你利用折叠的相关知识解答下面的问题： (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)已知正方形的边长． ①计算的面积； ②如图2，再把沿着折叠，得出，计算的长度； ③直接写出点到线段所在直线的距离． 【答案】(1) ．理由如下： 四边形为正方形， ． 点是的中点， ． 由翻折的性质，可知 ， ． ∵在和中， ． ． (2)①；②的长度为；③点到线段所在直线的距离为 【分析】（1）由折叠性质可知，，再证明 ，即可证得； （2）①设，在中，根据勾股定理列方程解得，然后求的面积． ②连接，交于点过点作垂直于点，延长，交于点．由折叠性质可知和关于对称和等面积法求出，在和中，由勾股定理求出和，最后求出，用勾股定理求出的长度． ③作垂直于于点，根据勾股定理先求出，再求出，最后求出． 【详解】（1）略 （2）解：①， ． 设， 则． ∵在中，由勾股定理，得， ，解得． ． ． ②如图，连接，交于点． 是由沿着折叠而成的， ，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ． 过点作垂直于点，延长，交于点，易得． 设，则． 在和中，由勾股定理， 得， ， 解得，即． ， ． 易得， ． 在中，由勾股定理，得 ． 故的长度为． ③如图2，作垂直于于点． 在中，由勾股定理，得． 设，则． 在和中，由勾股定理． 得， ， 解得． 点到线段所在直线的距离为 ． 66．（2026·河南漯河·一模）综合与实践 在平行四边形中，是边上一点，是边上一点，且，过点作交边于点，连接交于点． 【初步探究】 (1)如图1，若，垂直平分边，则与的数量关系是_____． 【类比探究】 (2)如图2，若，，，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 (3)若为边的一个三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质可得出，根据补角的性质得出，根据余角的性质得出，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）当时，，证明是等边三角形，得出，，根据等式的性质可得出，根据角的和差关系可求出，，根据三角形内角和定理可求出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当时，，，延长、相交于N，由（2），，则，证明，求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；当时，类似求解即可． 【详解】（1）解： 理由：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵垂直平分边，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论还成立， 理由：当时，， 又 ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴可设，则， ∵E为的一个三等分点， ∴或， 当时，，， 延长、相交于N， 由（2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，，， 延长、相交于N， 由（2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06四边形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 河南考情(2022-2026) 命题规律 近6年5考，5年1考 (直接考查)；题型：选 核心考查对边平行且相等、对角相等、对角线互相平 考点01平行四边 择、解答题；分值：3-6 分三大性质；常结合尺规作图、角平分线、全等三角 分；2022-2026年多数年 形综合命题：常与菱形、矩形判定结合考查；难度中 形的性质 份考查，2024年单独出选 等偏基础，属几何证明入门考点；常作为特殊四边形 择题，常融入几何大题综 判定的基础铺垫 合考查 近5年高频考查，工具性 核心考查中位线定理（平行于第三边且等于第三边一 考点02与三角形 考点；题型：选择、填 半)；常作为隐藏条件出现在几何综合题中；常与平 中位线有关的求解 空、解答题均有涉及：分 值：3-5分；2022-2026年 行四边形判定、中点四边形、面积计算结合；易错点 问题 每年均有涉及，多融入四 为中位线与中线概念混淆；是连接三角形与四边形的 桥梁考点 边形、圆等大题 近3年100%必考，中档 包含矩形、菱形、正方形三类，考查性质与判定双向 核心题型；题型：填空、 考点03特殊的平 解答综合题；分值：5-11 应用：常结合折叠、旋转、动点动态变换命题；矩形 行四边形 分：2022-2026年连续考 侧重直角与对角线相等、菱形侧重四边相等与对角线 查，每年1道中档几何证 垂直、正方形兼具两者性质：步骤分占比高，规范书 写即可满分；是区分基础与中档水平的关键题型 明计算题 五年真题分类园 考点01平行四边形的性质 1.(2026河南·中考真题)如图，在口ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE. 1/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D I)请用无刻度的直尺和圆规作∠DCM,使∠DCM=∠BAE,且射线CM交边AD于点F(保留作图痕 迹，不写作法)， (②)判断线段BE与(1)中得到的线段DF的数量关系，并给出证明. 2.(2024河南中考真题)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点， EF‖AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() D A. B.1 D.2 3.(2023河南·中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发 展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答. ●P3 P2 D D B2 图1 图2 备用图 (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线！‖y轴，作△ABC关于y轴对称的图形 △A1B1C1,再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3,则△A2B2C2可 以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A3B3C3可以看作是△ABC向右 平移得到的，平移距离为 个单位长度： (②)探究迁移：如图2，口ABCD中，∠BAD=a0°<Q<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线 AB的对称点P1,再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3,连接AP,AP2,请仅就图2的 情形解决以下问题： ①若∠PAP2=B,请判断B与@的数量关系，并说明理由： 2/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若AD=m,求P,P3两点间的距离 B)拓展应用：在(2)的条件下，若&=60°，AD=23,∠PAB=15°，连接P2P3.当P2P3与 口ABCD的边平行时，请直接写出AP的长， 考点02与三角形中位线有关的求解问题 4. (2025河南中考真题)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格 线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() D E A. B.1 C.2 D.3 5.(2022河南·中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若 OE=3,则菱形ABCD的周长为() A D B A.6 B.12 C.24 D.48 。考点03特殊的平行四边形 6. (2026河南·中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE, 记旋转角为Q.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH. 3/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D A D E B C B 图1 图2 (1)【观察猜想】 当a=30时，如图1，∠BEH的度数为 ,CH的长为 (2)【探究证明】 当0°<α<120时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由. 3)【拓展延伸】 当0°<a<120°时，若△DCH的面积为4V2,请直接写出此时旋转角a的度数. 7.(2026河南·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB,AC 交于点P,OA=2,OC=4.将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐 标为（) B A.-2,2 B.-2,1 c.0,2 D.0,1 8.(2025河南·中考真题)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为 点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. 4/29 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 图1 图2 (1)观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否仍然成 立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明 3)拓展应用 当0<∠A0B<180°，且∠AOB≠90时，若EF GF =3,请直接写出 OD 的值 CD 9.(2025河南中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将 △ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() A D A.2 B.6-3V2 c.2V2 D.6V2-6 10.(2024河南·中考真题)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE‖DC交AC的延长线 于点E. E (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹，不 5/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 写作法)· (2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形 11.(2023河南中考真题)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1. 当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 12.(2022河南.中考真题)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动， P A D A M E M F Q M B 图1 图2 图3 (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ. ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=°，∠CBO=°： ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说 明理由， 3)拓展应用 在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时，直接写出AP的长. 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026河南平顶山一模)下列性质中菱形具有而矩形不具有的是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.四条边都相等D.对边平行 2.(2026河南周口·二模)如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O,若AB=5,AO=3,则BD的长 6/29 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为( 0 A.4 B.8 C.10 D.12 3.（2026河南三门峡·二模)正n边形的一个外角的度数不可能是() A.72 B.60° C.40° D.35° 4.(2026河南驻马店二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的 中点，EF‖AB交BC于点F.若AB=12,则EF的长为() D A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 5.(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AC,DE 交于点O,则AO的长度为() E A. 413 9 3 B. 8 c.33 2 D. 5 6.(2026河南周口一模)如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点 O,E为BC的中点，则OE的长为() D B A.1 B.2 C.2V3 D.4 7.(2026河南平顶山一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC, 7/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若CB=4,则DE的长为() E D B A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2026河南周口·二模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E是AB的中点，连 接OE.若OE=2.5,BD=8,则菱形ABCD的面积为() B A.24 B.32 C.48 D.64 9.(2026河南驻马店·二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E在CD边上，连 接BE,将△BCE沿BE所在直线折叠，点C恰好落在BD上的点F处，若OA=2,∠DBE=15°，则DF 的长为() B A.2 B.4V3-4 c:3 2 D.4-23 10.(2026河南三门峡二模)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2,对角线OA在第二 象限的角平分线上.若矩形从图示位置开始绕点0以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2026秒时，点A的 对应点的坐标为() 8/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.20 B.0,2 c.2,2 D.-2,-2 11.(2026河南·二模)如图，在口ABCD中，P为BC边上一点，且CP=2BP,连接BD,与AP交于点 Q,若AQ=9,则PQ的长为() D B A.2.5 B.3 c.3.5 D.4 12.(2026河南商丘·二模)如图，点M是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADM绕点A顺时针旋转 90°到△ABN的位置.过点A作AO⊥MN于点O,连接CO.若AD=4,DM=2,则CO的长为() A.2V5 B.V10 c.2V2 D.7 13,(2026河南平顶山·二模)在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形CDEF按如图所示的方式放 置在x轴的上方，其中A-4,2,D7,0,则点E的坐标为() D A.9,5 B.11,4 C.12,4 D.11,5 14.（2026河南濮阳·二模)新定义：在平面直角坐标系x○y中，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行， 我们称该矩形是“正矩形”.函数y= 6(X>0)的图象如图所示，点A1,6,B是该图象上两点.若以 AB为对角线的“正矩形”的面积为8，则点B的横坐标是() 9/29 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(1,6) A.2 B.3 2时 D.3时 15.(2026河南周口一模)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,P是AD上不与A和D重合的一 个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE+PF的值为() A.5 B. 60 13 16.(2026河南周口一模)己知直线l1‖l2,将正五边形ABCDE按如图所示的位置摆放，顶点D在直线 1上，若∠1=135o,则∠2的度数是（） E A.65° B.60° C.57o D.63° 17.(2026河南濮阳一模)如图，在平面直角坐标系中，口OABC的顶点O为原点，边OC在X轴上， 0C=5'A-2,23?以点0为圆心，0B的长为半径作弧交BC于点D'点D的坐标是() D C 10129 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4,1 3 D V3 4,2 18. (2026河南郑州·一模)定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作d, 且d=180-Q-B,其中c,阝为菱形的两个相邻内角的度数.下列说法不正确的是() A.内角等于130°的菱形的接近度d=100 B.接近度d越大的菱形越接近于正方形 C.当d=180时，该菱形是正方形 D.菱形的接近度d的取值范围是0≤d≤180 19.(2026河南商丘：一模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点 H,连接OH.若OH=2,菱形ABCD的面积为16，则菱形ABCD的边长为() B 0 A.2V/5 B.4V5 c.2V3 D.4V3 20.(2026河南洛阳一模)如图，在口ABCD中，AB=4,点E为AD边上一点，且AE=2DE,连接 BE并延长，交CD的延长线于点F,则CF的长为() A.6 B.5.5 C.5 D.4.5 21.(2026河南驻马店一模)如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，菱形OABC的顶点B的坐标为 (2,2.若菱形绕点O逆时针方向旋转，每秒旋转45°，则第2026秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 () 11/29 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A A.(1,1 B.（-1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1 22.(2026河南省直辖县级单位：一模)如图，边长为V2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF.若△就与△DEC关于直线DE对称，则CE的长 为() 0 C A.2-V2 B.2V2 c.V2-1 D.3-2 23.(2026河南南阳一模)如图，在口ABCD中，CM⊥AD于点M,点P在边AB上运动，PE⊥BC 于点E,PF⊥CM于点F,连接EF.若AB=8,BC=10,CM=6.4,则EF的长不可能是() D B A.7.4 B.8 c.8.4 D.9 24.(2026河南平顶山·二模)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠D=90°，AD=5,DC=V5 ∠ABC的平分线BE交AD于点E,交AC于点O.若点O是AC的中点，则ED的长为() A.2 B.1 C.2 D.3 25.（2026河南一模）如图，已知菱形ABCD的顶点B0,0'A2,23?点C在x轴正半轴上.按以下 12129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点AM。从②作直线MN. 交CD于点E,连接BE,若MN恰好经过点A,则点E的坐标为() O(B) A.5,3 B. 5,2V3 c. D 26.(2026河南新乡.一模)如图，由八个全等的菱形组成的平行四边形网格中，∠ABD=120°，其中 AC的值为() B 点A,B,C都在格点上， 1 A.3 B. c.V13 V13 6 D. 13 27.（2026河南鹤壁.一模)鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案. 如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点B的坐标为0,4，点A在第一象限， ∠AOC=60°.将菱形OABC绕原点O顺时针方向旋转，每次旋转60°，第一次旋转得到菱形花瓣 OA1B1C1· 若持续旋转，第2026次旋转后，顶点Bm。的坐标是（） A(C) B A 13129 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-23,-2B.0,-4 c.-2,-23 D.23,-2 二、填空题 28. (2026河南周口·二模)如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶点A的坐标为2,0.将正方 形OABC绕原点O逆时针旋转45°，得到正方形0A1B,C1;再将正方形OA1B1C1绕原点O逆时针旋转 45°，得到正方形0A2B2C2;依此类推，连续旋转2026次后得到正方形0A2026B2026C2026,则点B2026的 坐标为 29.(2026河南平顶山·二模)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点P在菱形ABCD的边 AB上，且△ADP的顶点都在小正方形的顶点上，以A为圆心，AD的长为半径画BD,则图中阴影部分的 面积为 30.(2026河南周口·二模)如图，在菱形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点， 连接EF,FG,GH,EH,则菱形ABCD的面积与四边形FGHE面积的比值为 H 31.(2026河南商丘二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的边长为4，∠OAB=120°，对角 线OB在X轴上，将菱形翻折，使点B落在对角线上的点B处（点B与点B不重合），折痕分别与AB,BC 交于点M,N,连接AB,若△OAB恰为等腰三角形，则点B的坐标为 14129 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(2026河南许昌一模)定义：在平行四边形中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称 这个平行四边形为“N字平行四边形”.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是BC边和AD边上的点， 四边形BEDF为“N字平行四边形”.若AB=2AF,则 BC的值为 33.(2026河南商丘一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，分别以点B和点D为圆 心，BA,DA的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为 B D 34.(2026河南南阳一模)如图，点E是△ABC内一点，∠AEC=90°，AE平分∠BAC,D是边BC 的中点.若AC=3,DE=2,则边AB的长 O 35.(2026河南平顶山二模)如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的点，AF与DE相 交于点P,BF与CE相交于点O,若SAAPD=a,SA BOC=b,S。ABcD=m,则阴影部分的面积为· 15129 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A axp b E B S△ABF 2AB·EM SACD=AB·EM=m 1 , 1 SAABF= :四边形ABCD是平行四边形， ..AB CD. ∴.△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，△EFD的FD边上的高与△AFD的FD边上的高 相等， .S△EFc=SABCF,S△EFD=S△AFD, ∴.SAEFC-S△F0c=S△BCF-SAFQC,即SAEO=SAB0c, SAEFD-SADPF=S△AFD-S△DPF,即S△EFP=S△APD, SAAPD=a,SABOC=b, .SAEFP=a,S△EFQ=b, ∴Sg边形EPrQ=S△EFP+SAEF0=a+b, 明限影备分的雨锁5。e-58g0m-a+bl-号ma-h 36.(2026河南南阳·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E为线段CD的中点，动点F从 点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C',当点C恰好 落在矩形的对角线上时（不与长方形顶点重合），则CF的长为· D B 37.(2026河南平顶山一模)如图1，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且 16129 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=4BE,连接EF,CF,设BF的长为x,EF+CF=y,如图2是点F从点B运动到点D时，y随x 变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是一· 6 6 图1 图2 38.(2026河南濮阳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是BC上一点，将△ADE沿 DE折，点A对应点A,AD与射线BC相交于点F,若CF=ER,则此时BE 39. (2026河南商丘一模)为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平 面直角坐标系，矩形POMN是充电站的平面示意图，矩形A1B1C1D1是第一个停车位，矩形A2B2C2D2 是第二个停车位…所有车位长宽相同，按图示并列划定，其中点D1,D2…在边PN上，点B1,B, …在边OM上.若∠A1B1O=60°，点B1的坐标为3,0，点B2的坐标为7,0，则点D2o的坐标为 P D D:D D19D20 GiCG \C20 OB B2 Bs B2o M x 40.(2026河南郑州一模)如图，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，BC=8,点P为对角线AC上一点， 将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段PQ,点Q在射线AB上，当PQ的垂直平分线MN经过矩形一边的中 点时，AP的长为 17129 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 三、解答题 41.(2026河南郑州二模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,BD垂直平分AC. B (1)尺规作图：作∠ACM=∠BCO,交BD于点M,连接AM;(保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：四边形ABCM为菱形. 42.(2026河南三门峡.二模)如图，在正方形ABCD中，BC=2BE=4. D B E (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作AE的垂线，交AB于点F(不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接EF,求EF的长 43.(2026河南安阳·二模)如图：在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E是AB的中点. E B D 1)请用无刻度的直尺和圆规，在AC上作一点F,使得∠=∠B(保留作图痕迹，不写作法)· (2)求证：四边形CDEF是平行四边形. 44.(2026河南一模)如图，正方形ABCD对角线交点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点A(2,5和 18/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k2 C在反比例函数y=一的图象上，顶点B和D在反比例函数y=之的图象上. X X A(2,5) E B K2 (1)求k1和k2的值： (2)点E是线段AB与x轴的交点，请写出点E的坐标. 45.(2026河南平顶山一模)如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D=2∠B. D B (1)用无刻度直尺和圆规在线段BC上求作一点E,使得AE=BE,连接AE.(保留作图痕迹，不写作法) (②)若∠CAD=∠ACB,小米在证明(1)中得到的四边形AECD是平行四边形时，考虑先用等边对等角 与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边 形”，得到四边形AECD是平行四边形.请根据小米的证明思路写出证明过程。 46.(2026河南周口一模)如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，CF⊥BE于点F D B (1)尺规作图：过点A作BE的垂线，垂足为G(不写作法，保留作图痕迹)· (2)在(1)的条件下，求证：AG=CF+FG 47.(2026河南三门峡.一模)如图，四边形ABCD的顶点都在以AB为直径的半圆上. ∠DAB+2∠ABC=180°. 19129 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O,并连接OC(保留作图痕迹，不写作法)； 2)在(1)中作图的基础上，若AD=2,BC=23,求AB的长. 48.(2026河南濮阳一模)如图1，四边形ABCD是平行四边形. D D 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺，在图1中作出AC的中点O,并用一句话说明点O是AC中点依据 (2)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形AECF,使得点E,F分别在边BC,AD上（保留作图 痕迹)，并说明这样作图的合理性， 49.(2026河南南阳·一模)如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,AD>AB」 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中的角平分线与边AD交于点F,在边BC上截取线段BE,使BE=BA,连接EF.求证：四边 形ABEF为菱形. 50.(2026河南郑州一模)在口ABCD中，E为AB的中点，请仅用二把无刻度的直尺完成下列画图，不 写画法，保留画图痕迹. E B B 图1 图2 (1)如图1，在CD上找到一点P,使点P是CD的中点 (2)如图2，在AC上找到一点Q,使点Q是AC上靠近点A的三等分点，并说明理由. 51.(2026河南商丘.一模)如图，己知口ABCD. 20/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)尺规作图：在AB边上找一点E,在CD边上找一点F,使四边形ABCD沿EF折叠后，点A与点C重合. (不写作法，保留作图痕迹) (②)在(1)的基础上连接CE,判断△CEF的形状，并说明理由 52.(2026河南许昌·模拟预测)如图，AC为正方形ABCD的对角线. ()尺规作图：作AD的垂直平分线交AD于点E,在l上确定点F,使得点F到∠BAC的两边距离相等： (不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，求∠EA的度数. 53.(2026河南南阳·二模)如图，在口ABCD中，点E为AD边上一动点，连接CE,将△CDE沿CE折 叠，点D的对应点为F D A H 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若EF的延长线恰好经过点B,请直接写出线段BE与线段BC的数量关系_， (2)如图2，若∠A=90°，延长EF、CF分别与边BC、AD相交于点H、G,若CD=8,DE=4,求 GE的长 B)如图3，若AB=AD,∠BAD=120°，CD=8,EF、CF所在直线分别与直线BC、直线AD相交于 点H、G,过点C作CP⊥AD于点P,若PE=3,请直接写出线段GE的长， 54.(2026河南周口·二模)在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B、C重合），连接AE, 将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接CF. 21129 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E C G B E C G 图1 图2 I)如图1，当点E在边BC上时，∠BAE+∠CFE= (②)如图2，连接DF,若DF⊥CF,求证：点E是BC的中点： 3)若AB=4,当CE=1时，请直接写出△CEF的面积. 55.(2026河南平顶山·二模)问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点B,过 点C作CF⊥AD于点F. B 图1 图2 备用图 (1)猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由. (2)深入探究：将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H. ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线段CH与MD 的数量关系，并说明理由： ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD,CD交于点M,N,直线AH与线段CD交于点 Q.若AB=13,BE=12,直接写出四边形AMNQ的面积. 56.（2026河南商丘·二模)菱形纹样是一种具有丰富寓意的纹样，它不仅象征着丰硕，还代表着超越和 进步，原始先民的陶器上就有了菱形的雏形（图1）·如图，边长为4的菱形ABCD中，点P为AD边中 点，连接BP,CP,已知∠ABC的度数为Q 图1 图2 图3 (1)问题发现 如图2，若a=60°，求线段BP的长； 22129 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)类比探究 如图3，若∠BPC=a,求BP·CP的值； (3)拓展延伸 若BP或CP中的一条与菱形ABCD的一条对角线相等，请直接写出菱形ABCD的面积. 57.(2026河南南阳·二模)综合与实践 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的. A D D B E 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE,连接CE,DB,则∠ACE的度 数为 ,△ABD的形状是 (2)【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足角∠EAF=45°， BE=2,DF=3,求正方形ABCD的边长， 3)【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，CD=CB,∠BAD与∠BCD互余，AC,BD为对角线， 且满足CD2 AC 3 ①将△CDA绕点C逆时针旋转到△CBE,连接AE,在图3中补全图形： ②若AD=3,AB=4,请直接写出BD的长. 58.(2026河南周口·二模)综合与实践 1 学课外小组活动中，王老师提到这样一个结论：如果a,B都为锐角，且tana=,t血 3那么 ac+β=45°. 根据所给条件，小明同学构造了如下图形，并进行证明 如图1，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,E为BC边上的一点，BE=1,F为CD边上的中点，设 乙BAE=a,∠DAF=B,则tana-,tanB-号求证：a+B=45 证明：在矩形ABCD中，AB=CD=2,BC=AD=3,∠BAD=∠B=∠C=90°. 23129 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△ABE≌△ECF 图1 图2 图3 ∴.AE=EF,∠AEB=∠CFE」 .:∠CFE+∠CEF=90°， .∠AEB+∠CEF=90° .∴.∠AEF=90°. .∴.∠EAF=45°. .∴.a+B=∠BAD-∠EAF=45 (1)请你将方框中证明全等的过程补充完整： 1 (2)在上述结论的启发下，小明发现命题“若tana= a+B=45°，则anB=}"或“若ana= 3 x+B=45,则anB=号”这些都是真命题.于是他利用这些真命慰完成了以下题日： ①如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴 的正半轴上，等腰直角三角板的45°角的顶点与点B重合，与矩形两边分别交于E,F两点.若OE=1, OF=3,且BC=3CF,求点B的坐标： ②如图3，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=3,AB=1,将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到 △OAB,连接BB与OA交于点C,请直接写出OC的长 59.（2026河南商丘·一模)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动 D F B B E E 图1 图2 1)【操作发现】 24129 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一步：在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，得到△ABE,延长AB 交CD于点F.如图1，连接EF,则∠AEF的度数为 用等式表示线段AB,EC,FC之间的 数量关系： (2)【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，E仍然是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，此时点B落在矩形 ABCD的外部.如图2，判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立，请证明：若不成立，请写出正确 的结论，并证明 (3)【拓展应用】 在矩形ABCD中，若AB=3,AD=4,E是直线BC上的一动点，将△ABE沿AE所在直线折叠，得到 △ABE,连接CB,请直接写出线段CB的最大值与最小值. 60.(2026河南濮阳·一模)如图1，在△ABC中AB=3,AC=5,F是BC中点. 图1 图3 图4 图5 (1)问题提出 兴趣小组的同学发现：利用“三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边”可以直接求出 BC的取值范围是 但是对于AF的取值范围又该如何确定呢？ (2)问题解决 下面是三位同学的解题方法供你选择，请直接写出AF的取值范围是 小明的作法：倍长中线.如图2，延长AF至点M,使得FM=FA,连接BM… 小亮的作法：化中线为中位线.如图3，延长BA至点N,使得AN=AB,连接CN 小凯的作法：构造中位线.如图4，取AC的中点T,连接FT… 3)方法应用 如图5，分别以AB,AC为腰构造等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,连接DE.请写出AF和DE的关系， 并说明理由。 4)联系拓展 在(3)的条件下，将△ACE绕点A在平面内旋转，当点A,D,F在同一条直线上时，直接写出此时点B 和点E的距离、 61.(2026河南开封一模)如图，在△ABC中，点D为BC边上的动点，连接AD,沿AD折叠△ABD, 25/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点B恰好落在AC边上的点E处，点P为射线BC上一动点，过点P作PQ‖AB交AC于点F,交DE延长线 于点Q, 图① 图② (1)观察猜想 如图①，当点P在线段BC上，点D恰好为BP的中点时，用等式表示线段PQ,EF,FC之间的数量关系： (2)问题探究 在(1)的条件下，若PF=3,FQ=5,求AB的长（写出求解过程）. 3)拓展应用 图②，当点P在线段BC的延长线上时，过点A作AGBP交PQ延长线于点G.若光片且 P DP=2BD时，直接写 GF的值（用含n的代数式表示）. 62. (2026河南南阳一模)综合与探究 【问题情境】 数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题.如图，已知四边形ABCD 是矩形，E是其所在平面内的一动点，且CE=AC=2AB,作线段CE的垂直平分线MN,MN分别交直线 BG、AC、AD于点F、G、H. 【特例探究】 M A H A(E) H D G E B F B N 图1 图2 备用图 ()如图1，小豫画出了点E在线段CB的延长线上时的图形，请你判断此时四边形CDHF的形状，并说明理 26/29 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由； (②)如图2，小郑画出了点E与点A重合时的图形，请你猜想线段HG与CD之间的数量关系，并说明理由： 3)【拓展延伸】 小宛继续改变点E的位置（但不与点A重合），其他条件不变.请直接写出当直线EF经过点A时， ∠AEC的度数 63.(2026河南周口一模)问题情境：如图，在△ABC中，AB=AC,D为射线BC上一点，连接AD, 将AD绕点A顺时针旋转得到AE,且∠DAE=∠BAC,连接BE. 初步探究： B D 图① 图② ()如图①，猜想BE与CD的数量关系，并说明理由： (2)深入探究：如图②，当点D在BC的延长线上时，将CD绕点D逆时针旋转α得到DF,且 a(=2∠ABC,连接EF,猜想四边形BEFD的形状，并说明理由； 3)连接DE,在旋转过程中，若AB=2V5,BC=4,CD=3,请直接写出线段DE的长。 64.(2026河南安阳一模)【综合与实践】 直线l是线段AB的垂直平分线，点P为直线l上一动点，连接PA,PB,∠APB=c(0°<Q<180,线段 PO绕点P逆时针旋转得到线段PC,旋转角为C.连接OC B 图1 图2 图3 1)【观察发现】：如图1，当点P在线段AB上方时，连接BC,则OBBC(选填“>”，“<”或“= ”)· (2)【深入探究】：如图2，当点P在线段AB下方时，OC与AP交于点D,连接AC 27129 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若a=60°，判断PA与OC的数量关系，并说明理由， ②若OC=m,则PA=(用含m,的式子表示). 3)【拓展应用】：点P在运动过程中，若以P,O,B,C四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出 P BC的值 65. (2026河南平顶山一模)如图1，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿 AE折叠，得到点B的对应点为点F,延长EF交线段CD于点P,连接AP.请你利用折叠的相关知识解答 下面的问题： D M B E 图1 图2 (I)判断PF与PD的数量关系，并说明理由： (2)己知正方形ABCD的边长AB=6. ①计算△PCE的面积： ②如图2，再把△PCE沿着PE折叠，得出△PME,计算AM的长度： ③直接写出点M到线段AP所在直线的距离， 66.（2026河南漯河·一模)综合与实践 在平行四边形ABCD中，AB=tBC,E是边BC上一点，F是边CD上一点，且EF=CE,过点E作 EM⊥EF交边AB于点M,连接FM交DE于点O. D M 图1 图2 备用图 【初步探究】 I)如图1，若t>1,DE垂直平分边BC,则DF与BM的数量关系是 28/29 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【类比探究】 (2)如图2，若t=1,∠C=60°，CE<BE,则(1)中的结论是否成立？请说明理由. 【拓展应用】 OF 若t=6,∠C=60,E为边BC的一个三等分点，请直接写出D的 29/29