3.1 代数式 同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 分层覆盖代数式概念、应用及综合拓展，梯度从基础辨析到实际问题解决，适配新授课知识巩固与抽象能力、运算能力等核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|代数式定义、表示、整式判断、系数次数|选择题1-8题聚焦概念辨析，如代数式识别、平方差表示，夯实符号意识| |提升|代数式求值、实际应用、多项式排列|填空题结合利润问题（题9）、图形分割（题10），培养模型意识与推理能力| |拓展|综合运算、几何与代数结合|解答题涉及不含项计算、阴影面积（题2）、体积应用（题4），深化运算能力与应用意识|

3.1 代数式 一．选择题 1．下列各式中，不是代数式的是（　　） A．2x B．x＜2 C． D．x2+2x 2．a，b两数的平方差用代数式可表示为（　　） A．a2﹣b2 B．a﹣b2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b 3．若x＝5，则（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 4．已知a2﹣3a﹣12＝0，则代数式﹣3a2+9a+5的值是（　　） A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41 5．单项式的系数和次数分别是（　　） A．，4 B．，3 C．，3 D．，4 6．以下各组多项式按字母a降幂排列的是（　　） A．3a﹣7a2+2﹣a3 B．﹣7a2+3a+2﹣a3 C．﹣a3+3a+2﹣7a2 D．﹣a3﹣7a2+3a+2 7．下列说法中正确的是（　　） A．2不是单项式 B．的常数项是﹣3 C．2a+b﹣1的各项分别为2，1，﹣1 D．多项式x2y2+y﹣2是四次三项式 8．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为（　　） A．（a﹣5%）（a+9%）万元 B．（a﹣5%+9%）万元 C．（1﹣5%+9%）a万元 D．（1﹣5%）（1+9%）a万元 10．如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（　　） A．2x+4 B．4x+8 C．2y+4 D．4y+8 1．师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用的时间的2倍，假设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为a天，那么师傅比徒弟每天多加工　 　 个．（用含a的代数式表示） 2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2026次输出的结果是　 　 ． 3．我们知道，半径为r的球的表面积公式是S＝4πr2，那么4πr2的系数是　 　 ． 4．请写出一个整式，使其同时满足以下条件： ①该整式中只含有字母x； ②该整式的次数为5，项数为3； ③该整式不含二次项：　 　 ． 5．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为　 　 ． 三．解答题 1．如果关于x的多项式 x4+（a﹣1）x3+5x2﹣（b+3）x﹣1不含x3项和x项，求a、b的值． 2．如图长方形的长为a，宽为2b． （1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S． （2）当a＝5cm，b＝2cm时，求阴影部分面积S的值．（其中π取3.14） 3．一个宽为acm，长为bcm的长方形，宽与长之比为.现将宽与长分别增加2cm得到新的长方形，其宽与长之比变为． （1）当a＝2，b＝3时，比较与的大小； （2）请判断与的大小，并说明理由． 4．如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）中的杯子中． （1）请用整式表示一共需要多少个这样的杯子（结果要化简）； （2）计算出当h＝20cm，H＝40cm时所需杯子的数目． 5．已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同． （1）求m、n的值； （2）把这个多项式按x的降幂排列． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：A、2x是单项式，属于代数式，不符合题意； B、x＜2含有不等号，是不等式，不是代数式，符合题意； C、是分式，属于代数式，不符合题意； D、x2+2x是多项式，属于代数式，不符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：运算顺序为：先分别求a，b的平方，再求两个平方的差， ∵a的平方为a2，b的平方为b2， ∴两数的平方差可表示为a2﹣b2． 故选：A． 3．【解答】解：当x＝5时，原式5． 故选：B． 4．【解答】解：∵a2﹣3a﹣12＝0， ∴a2﹣3a＝12， ∴当a2﹣3a＝12时，原式＝﹣3（a2﹣3a）+5＝﹣3×12+5＝﹣31． 故选：B． 5．【解答】解：的次数是3，系数是． 故选：B． 6．【解答】解：多项式按字母a降幂排列的是﹣a3﹣7a2+3a+2． 故选：D． 7．【解答】解：A、2是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意； B、的常数项是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、2a+b﹣1的各项分别为2a，b，﹣1，原说法错误，故此选项不符合题意； D、多项式x2y2+y﹣2是四次三项式，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 8．【解答】解：式子，，，8y2+2x﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：C． 9．【解答】解：由题意得：12月份的利润为：（1﹣5%）（1+9%）a万元， 故选：D． 10．【解答】解：由题意可知，长为x、宽为y的长方形面积﹣5块形状、大小完全相同的空白长方形面积＝2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的面积之和， 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z， ∴可得：xy﹣2×4×z﹣3×4×z＝[（x﹣4×3）（y﹣4×2）]+[（y﹣z）（3×4）]， 解得：z＝x﹣12， ∴2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为：[（x﹣3×4）+（y﹣2×4）]×2+[（y﹣z）+3×4]×2， 将z＝x﹣12代入上式中，得出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为4y+8， 故选：D． 二．填空题 1．【解答】解：设徒弟加工120个这种工艺品所用的时间为a天，则师傅加工300个这种工艺品所用的时间为2a天， ∴师傅每天加工个，徒弟每天加工个， ∴师傅比徒弟每天多加工（个）． 故答案为：． 2．【解答】解：当输入的值x＝2时， ∵2是偶数， ∴代入运算程序第1次输出值为：． 当输入的值x＝1时， ∵1是奇数， ∴代入运算程第2次输出为：1﹣5＝﹣4． 当输入的值x＝﹣4时， ∵﹣4是偶数， ∴代入运算程第3次输出值为：． 当输入的值x＝﹣2时， ∵﹣2是偶数， ∴代入运算程第4次输出值为：． 当输入的值x＝﹣1时， ∵﹣1是奇数， ∴代入运算程第5次输出值为：﹣1﹣5＝﹣6． 输入x＝﹣6， ∵﹣6是偶数， ∴代入运算程第6次输出值为：． 当输入的值x＝﹣3时， ∵﹣3是奇数， ∴代入运算程第7次输出值为：﹣3﹣5＝﹣8． 当输入的值x＝﹣8时， ∵﹣8是偶数， ∴代入运算程第8次输出值为：． 依次类推，从第2次输出开始，结果分别以﹣4、﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8循环． ∵（2026﹣1）÷6＝337……3， ∴第2026次输出的结果是﹣1． 故答案为：﹣1． 3．【解答】解：根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数可知： 由π是常数，在单项式4πr2中，字母为r，数字因数为4π，即4πr2的系数是4π． 故答案为：4π． 4．【解答】解：这个整式可以是：x5+x+1． 故答案为：x5+x+1（答案不唯一）． 5．【解答】解：因为多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式， 可得：m﹣2≠0，|m|＝2， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2 三．解答题 1．【解答】解：∵关于x的多项式x4+（a﹣1）x3+5x2﹣（b+3）x﹣1不含x3项和x项， ∴a﹣1＝0，b+3＝0， ∴a＝1，b＝﹣3． 故a的值为1，b的值为﹣3． 2．【解答】解：（1）∵长方形的长为a，宽为2b， ∴S阴影＝2ab﹣πb2； （2）a＝5cm，b＝2cm时， S阴影＝20﹣3.14×4＝7.44（cm2）， 即S阴影＝7.44（cm2）． 3．【解答】解：（1）当a＝2，b＝3时， ， ， 因为，， 因为， 所以， 所以； （2） ， 因为0＜a＜b， 所以a﹣b＜0， 又因为b＞0，b+2＞0， 所以b（b+2）＞0， 因此， 即， 所以． 4．【解答】解：（1）瓶子的体积为πH+πh＝πa2H， 一个杯子的容积为π8， （πa2H）÷（） ＝（2H）个， 答：一共需要（2H）个这样的杯子． （2）当h＝20cm，H＝40cm时， 2×40 ＝80+10 ＝90（个）， 答：当h＝20cm，H＝40cm时所需杯子的数目为90． 5．【解答】解：（1）∵多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同， ∴m+1＝3，2n+3﹣m＝5， 解得：m＝2，n＝2； （2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $