2.5 有理数的混合运算（分层作业练题型）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 这份同步练习以“分层进阶+素养融合”为特色，通过A/B/C组及中考链接的四层设计，构建从基础运算到综合应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|有理数混合运算、程序流程图计算、近似数基础|以选择填空为主，聚焦单一知识点，如含乘方的运算（题型02）、算“24”点（题型03），夯实运算能力| |B组能力进阶|新定义运算、程序流程综合应用、近似数推断|增加解答题，融合多个知识点，如结合数轴的新定义化简（题21），培养推理意识| |C组思维拔高|复杂混合运算、规律探究、跨情境应用|设置规律探索题（如题13）、实际问题（如游客人数统计），发展创新意识与模型意识| |拓展链接中考|中考新题型（快乐数、进制转换）|对接中考真题，如2026攀枝花中考“快乐数”题，强化应用意识|

分层作业 2.5 有理数的混合运算 目 录 A组 巩固过关 题型01 程序流程图与有理数计算 题型02 含乘方的有理数混合运算 题型03 算“24”点 题型04 求一个数的近似数 题型05 求近似数的精确度 题型06 近似数推断取值范围 题型07 与有理数混合运算有关的新定义型问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )程序流程图与有理数计算 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的四则运算； 根据运算程序，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴输出的结果是， 故选：D． 3．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． ( 题型0 2 )含乘方的有理数混合运算 4．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1)60 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： (1) ． (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ( 题型0 3 )算“24”点 7．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 8．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 9．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． ( 题型0 4 )求一个数的近似数 10．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准要观察的尾数数位，当尾数最高位数字小于5时直接舍去，大于或等于5则向前一位进1后舍去尾数． 【详解】解：要将精确到百分位，即保留小数点后两位，需看千分位上的数字． ∵的千分位数字是4，且， ∴直接舍去千分位及后面的数字，得到． 因此正确选项为C． 11．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 12．（25-26七年级上·广西·开学考试）（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 【答案】 一亿八千一百三十四万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的都不读出来，其他数位连续几个都只读一个“零”．改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的个去掉，再在数的后面写上“万”字．省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】读作一亿八千一百三十四万；数中，万位上的数字为，去掉末尾的个为，所以改写成以“万”为单位的数是万；数中，亿位上数字为，千万位上的数为，满向前进，故亿． ( 题型0 5 )求近似数的精确度 13．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据有理数的定义，绝对值性质，有理数加法法则，相反数定义，近似数精确度等初中相关概念，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，故①正确； ②绝对值是它本身的数是所有正数和0，不只有0，故②错误； ③当两个数相加时，若存在负加数，和会小于正加数，如，故③错误； ④负数小于0，因此0不是最小的有理数，故④错误； ⑤0的相反数是0，对应点在原点，不在原点两侧，故⑤错误； ⑥精确到百分位，精确到千分位，精确度不同，故⑥错误； ⑦ ，其中3在千位，因此近似数精确到千位，故⑦正确； 综上，正确的说法共2个，故A正确． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数．先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再根据近似数精确位数的判断规则，确定末位有效数字所在的数位即可． 【详解】解：．观察可知，数字9位于千位，因此该近似数精确到千位． 故答案为：千． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【分析】将以“万”为单位的近似数还原为原数，根据近似数精确位数的判定规则，看末位有效数字在原数中对应的数位即可． 【详解】解：因为万， 所以近似数“万”精确到百位． ( 题型0 6 )近似数推断取值范围 16．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 17．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解决本题的关键． 利用近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数表示的数的取值范围是． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·浙江温州·期中）最近，浙江省篮球联赛组委会公布了调整后的2025浙城市篮球争霸赛各参赛队大名单，其中温州苍南队调整为24名球员，该篮球队所有球员中身高最高的一位约为，近似数表示实际身高（单位：）的范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了近似数；近似数表示四舍五入到百分位，因此实际身高x的范围需满足大于或等于且小于． 【详解】解：近似数精确到百分位，根据四舍五入法则，实际身高需满足． 故答案为． ( 题型0 7 )与有理数混合运算有关的新定义型问题 19．（25-26七年级上·福建南平·期末）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 21．（25-26七年级上·河南郑州·期中）对于有理数，定义两种新运算“※”与“”，规定： 例如，． (1)计算的值． (2)若在数轴上的位置如图所示，化简． (3)对于任意有理数，请你定义一种新运算“★”，使得，直接写出你定义的运算：___________．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式； （2）解：由在数轴上位置可知，且， ， 则； （3）解：∵， ， 故答案为：（答案不唯一）． 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26七年级上·河北张家口·期末）下列各组数中结果相等的是（     ） A．与 B．和 C．与 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数、绝对值、有理数的加减运算与乘方运算，通过分别计算各选项中两个式子的结果，对比判断是否相等即可． 【详解】解：∵，， ∴A选项中两数不相等 ∵，， ∴B选项中两数不相等 ∵，， ∴C选项中两数相等 ∵，， ∴D选项中两数不相等 故选：C． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，有效数字从左边第一个非数字起开始计数，按要求保留位数即可． 【详解】解：175亿． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【答案】1 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 【答案】 【详解】解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 三、解答题 11．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，输出结果为__________； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值为__________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了程序框图与有理数的四则混合运算，一元一次方程的应用． （1）①利用程序图进行计算即可；②根据2次运算后输出的结果等于列方程求解即可； （2）表示出第1次和第2次输出的结果，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当，，时， 第1次：， 第2次：， ∴若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21． 故答案为：21； ②第1次： 第2次：， 由题意，得， ∴． 故答案为：5； （2）解：第1次：， 第2次：， 由题意，得， 解得． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 15．（25-26六年级上·上海·开学考试）经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 【答案】(1)步行 (2)①10千米；②16千克 (3)4棵 【分析】（1）结合三种出行方式的碳排放特点，直接判断最环保的出行方式． （2）①先将单程用时的时间单位统一为小时，因为路程=速度×时间，所以代入平均速度和单程时间即可计算出单程距离．②先计算单日往返的总路程，再结合每千米二氧化碳排放量算出单日排放量，因为一周有5天，所以乘以5得到一周总排放量，再进行单位换算得到以千克为单位的结果． （3）因为需要的树的数量=一周排放的二氧化碳总质量÷一棵树一天吸收的二氧化碳质量，所以代入对应数值，结果根据实际情况取整即可． 【详解】（1）解：步行不产生尾气排放，能源消耗为零，因此步行最环保． （2）①15分钟小时 , （千米） 答：琪琪家离学校10千米． ②（克）千克 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放16千克二氧化碳． （3）（棵） 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要4棵树才能在一天内吸收完． 【点睛】 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 【答案】D 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一位有效数字所在数位确定精确度． 【详解】解：，数字5位于万位，即该数据精确到万位． 2．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据“数值转换机”的运算顺序计算即可． 【详解】解：当输入x为2时，输出的结果是． 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键；先计算乘方和乘法，再计算加法，注意负数的奇数次幂为负，正数乘负数为负． 【详解】解： ． 故选：D． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算的计算．将对应数值代入给定的新运算公式，依据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：∵新运算定义为， ∴把，代入公式得： ， 故选：C． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，需根据二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开为的整数次幂的和，计算得到对应十进制数． 【详解】解：二进制中的转化为十进制为：． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）用四舍五入法将数字精确到百分位得到的近似数是_____． 【答案】 【分析】本题考查近似数与精确度，精确到百分位，需对千分位的数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】解：精确到百分位即保留两位小数可得． 7．（2026·河南周口·三模）计算：____ 【答案】 【详解】解：． 8．（25-26九年级下·河南周口·期中）定义新运算：，则_____． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 9．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 三、解答题 11．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）略 12．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 14．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 15．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 【答案】(1) (2)，；， (3)约万人 【分析】（1）由题中数据加减计算即可； （2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可； （3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）； （2）解：在9月30日的游客人数为万人， 10月1日比9月30日多万人，为（万人）； 10月2日比10月1日多万人，为（万人）； 10月3日比10月2日少万人，为（万人）； 10月4日比10月3日少万人，为（万人）； 10月5日比10月4日少万人，为（万人）； 10月6日比10月5日少万人，为（万人）； 10月7日比10月6日少万人，为（万人）； 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人； （3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）． 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 3．（2024·甘肃陇南·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 4．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.5有理数的混合运算 参考答案 A组 巩固过关 题型01 程序流程图与有理数计算 1.B 2.D 3.7 题型02 含乘方的有理数混合运算 4.0 5.【答案】(1)60 (2)-4 【详解】(1)解： =(-60)-号60)x(-60 =-30+40+50 =60 (2)解：-14-2×(-3)}÷6 =-1-2×9÷6 =-1-18÷6 =-1-3 =-4 6【答案灯0号 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1) 解： 4( =((49( =(-x(-3) -3 9 2 四年 =9+21 =3x(-9+8）-1 =3×)-1 1 3 2 颗型03 算“24点 7.A 8.A 9.(9-5)×[3-（-3](答案不唯一) 题型n4 求一个数的近似数 10.C 11.D 12.一亿八千一百三十四万 18134 219 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 求近似数的精确度 13.A 14.千 15.百 题型06 近似数推断取值范围 16.A 17.1.495≤x<1.505 18.1.975≤x<1.985 颗型07 与有理数混合运算有关的新定义型问题 19.C 20.-14 21.【答案】(1)-3 (2)-2b (3)m2-n 【详解】(1)解：根据题中的新定义得：原式=(-3)+2×(-3)×2=9-12=-3； (2)解：由a,b在数轴上位置可知，a<0<b且la>bl, ∴.a+b<0,a-b<0 aOb=a+b-a-b=-a-b+a-b=-2b. (3)解：：(（-3)★5=4」 ∴.m★n=m2-n, 故答案为：m2-n(答案不唯一). 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 一、单选题 1.B 2.B 3.A 4.c 5.B 二、填空题 6.1.8×10 7.49 8.1 9.-1 10.(4)×(-3)×(5-3)=24(答案不唯一) 三、解答题 11.【答案】(1)-14 (2)-1 【分析】(1)利用乘法运算律计算即可得出结果； (2)先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果. 【14解：(4闲名-1+7 1128 =(←48闲名(48x1+(-x7-(4网g 6 =-40+48-28+6 =8-28+6 =-20+6 =-14; (2)解：-10-1-0.5列×3×[10-(-2]-(-1 =1-05x×0-4)-(←) 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 -2*3x6+1 =-1-1+1 =-1. 12.【答案】(1)①21：②5 © 【详解】(1)解：①当a=2，k=3,m=15时， 第1次：3×2+3=9<15. 第2次：9×2+3=21>15」 ∴若输入x=3,则运算执行2次后输出，输出结果为21. 故答案为：21； ②第1次：2x+3 第2次：2(2x+3)+3=4x+9. 由题意，得4x+9=6x-1, .x=5 故答案为：5： (2)解：第1次：-2x+k, 第2次：-2(-2x+k)+k=4x-k, 由题意，得-2x+k=4x-k, 解得x= 3 k 故答案为： 13.【答案】(1)-2 (2)15 【详解】(1)解：(-2)83=(-2)}-2×3=4-6=-2： (2) 解： -- ⑧5=5⑧5=52-2×5=15 14.【答案】(-9+7)×4×(-3)=24（答案不唯一） 【详解】解：由题意得：(9+7)×4×(3) =-2×4×(-3) 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =24(答案不唯一)· 15.【答案】()步行 (2)①10千米；②16千克 (3)4棵 【详解】(1)解：步行不产生尾气排放，能源消耗为零，因此步行最环保. (2)①15分钟=0.25小时， 40×0.25=10(千米) 答：琪琪家离学校10千米 ②10×2×5×160=16000（克）=16千克 答：琪琪家汽车接送琪琪一周(5天)排放16千克二氧化碳. (3)16000÷5000=3.2≈4（棵） 答：琪琪家汽车接送琪琪一周(5天)排放出的二氧化碳至少需要4棵树才能在一天内吸收完. 【点睛】 C组 思维拔高 一、单选题 1.D 2.A 3.D 4.c 5.A 二、填空题 6.2.37 7.-4 8.-2 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.[7+(-9)]×(-3)×4或(-3)x(-9)-(7-4)或(-3)x(-9)-7+4 10.1 三、解答题 11.【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式=16×5-(-8)÷4=80-(-2)=80+2=82 【详解】(1)解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步. (2)略 12.【答案】()4 11 6 【详解1山解：(3-兮号61 -9-2x2-6÷名 89 3 =9-3-9 4 、3 4 2解-日》[2-（←3月 =-1-1x(-8-9) =-1-6×17) =-1+ 6 =11 6· 1111 13.【答案】(0)45：100101 9 00 【详解】(1)解：观察上述规律， 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 111 4×545 1 11 100×101100101' 1111 故答案为：45：100101 (2)解：对原式进行变形化简如下， 1,1,1 1 26+1 十一 ++90 111 1 +.+ 1×22×3'3×4 9×10 =1-+1111 ,11 一十 一十一 --十..十。 22334 910 1 =10 14.【答案】(1)1，-3 (2)①8：②不满足交换律，x*y=y*x不一定成立 【详解】(1)解：由条件可知x-1=0,y+3=0, x=1,y=-3 故答案为：1，-3： (2)解：①x*y=1+1x(-3)-3×(-3)+1=8: ②y*x=(-3)+(-3)×1-3×1+1=4, 4≠8， 所以x*y=y*x不一定成立. 15.【答案】(1)5.2 (2)2,5.78:7,0.65 (3)约26万人 【详解】(1)解：由题意可得10月3日的人数为0.9+3.1+1.78-0.58=5.2（万人）； (2)解：在9月30日的游客人数为0.9万人， ∴10月1日比9月30日多3.1万人，为3.1+0.9=4（万人）： 10月2日比10月1日多1.78万人，为4+1.78=5.78（万人）： 10月3日比10月2日少0.58万人，为5.78-0.58=5.2（万人）； 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10月4日比10月3日少0.8万人，为5.2-0.8=4.4（万人）； 10月5日比10月4日少1万人，为4.4-1=3.4（万人）： 10月6日比10月5日少1.6万人，为3.4-1.6=1.8（万人）： 10月7日比10月6日少1.15万人，为1.8-1.15=0.65（万人）： 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人.游客人数最少的是10月7日，达 到0.65万人： (3)解：结合(2)中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为 0.9+4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65=26.13≈26（万人）. 拓展 链接中考 1.A 2.A 3.8 4.【答案】-8 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算.先算乘法和乘方，再算加法即可， 【详解】解：原式=-12+4 =-8 919 分层作业 2.5 有理数的混合运算 目 录 A组 巩固过关 题型01 程序流程图与有理数计算 题型02 含乘方的有理数混合运算 题型03 算“24”点 题型04 求一个数的近似数 题型05 求近似数的精确度 题型06 近似数推断取值范围 题型07 与有理数混合运算有关的新定义型问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )程序流程图与有理数计算 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）按如图所示的运算程序，若输入的值是，则输出的结果是（     ） A． B．3 C． D． 3．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． ( 题型0 2 )含乘方的有理数混合运算 4．（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算题 (1)； (2)． 6．（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： (1) ． (2)； ( 题型0 3 )算“24”点 7．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 9．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） ( 题型0 4 )求一个数的近似数 10．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 12．（25-26七年级上·广西·开学考试）（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． ( 题型0 5 )求近似数的精确度 13．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． ( 题型0 6 )近似数推断取值范围 16．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 18．（25-26七年级上·浙江温州·期中）最近，浙江省篮球联赛组委会公布了调整后的2025浙城市篮球争霸赛各参赛队大名单，其中温州苍南队调整为24名球员，该篮球队所有球员中身高最高的一位约为，近似数表示实际身高（单位：）的范围是_____． ( 题型0 7 )与有理数混合运算有关的新定义型问题 19．（25-26七年级上·福建南平·期末）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）定义如下运算：，，根据定义计算的值为______． 21．（25-26七年级上·河南郑州·期中）对于有理数，定义两种新运算“※”与“”，规定： 例如，． (1)计算的值． (2)若在数轴上的位置如图所示，化简． (3)对于任意有理数，请你定义一种新运算“★”，使得，直接写出你定义的运算：___________．（用含的代数式表示） 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 4．（25-26七年级上·河北张家口·期末）下列各组数中结果相等的是（     ） A．与 B．和 C．与 D．和 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 三、解答题 11．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，输出结果为__________； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值为__________．（用含的代数式表示） 13．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 14．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 15．（25-26六年级上·上海·开学考试）经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 2．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 5．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要和两个数字就可以表示数，如二进制中的（注：），可以表示十进制中的．则二进制中的表示十进制中的（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）用四舍五入法将数字精确到百分位得到的近似数是_____． 7．（2026·河南周口·三模）计算：____ 8．（25-26九年级下·河南周口·期中）定义新运算：，则_____． 9．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 三、解答题 11．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 12．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 13．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 14．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 15．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃陇南·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 4．（2024·广西·中考真题）计算： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $