专题04 二次函数图象的判断问题（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象判断，通过6大题型构建“系数分析-函数综合-符号判断”的递进式方法体系，融合几何直观与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数图象与abc系数间的关系|1典例+5变式|“开口定a，交点定c，对称轴定b（左同右异）”|从系数几何意义到符号综合判断| |二次函数与一次函数图象综合|1典例+5变式|“符号一致性验证法”|公共系数符号互推，强化跨函数逻辑| |双二次函数图象判断|1典例+3变式|“开口大小由|a|决定，方向由a符号定”|通过a/b/c比较深化函数性质理解| |二次函数与反比例函数综合|1典例+3变式|“双曲线象限定k，抛物线特征验系数”|结合反比例函数象限特征拓展综合判断| |多种函数图象综合|1典例+4变式|“逐个分析-符号联动-排除验证”|多函数特征整合，提升复杂情境推理| |根据图象判断式子符号|1典例+3变式|“函数值法（f(1)/f(-1)）+对称轴法”|从图象特征到代数式子符号的转化|

专题04 二次函数图象的判断问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数图象与abc系数间的关系 题型02 二次函数与一次函数图象的综合判断 题型03 双二次函数图象的判断问题 题型04 二次函数与反比例函数图象的综合判断 题型05 多种函数图象的综合判断 题型06 根据二次函数图象判断式子的符号 ▌题型01 二次函数图象与abc系数间的关系 1．系数作用： 决定抛物线的开口方向与大小； 是与 轴交点 的纵坐标；、 共同决定对称轴 ，对称轴在 轴左侧时 、 同号，在右侧时异号（"左同右异"）。 2．判断方法：由开口定 的符号，由与 轴交点定 的符号，由对称轴位置结合 的符号定 的符号。 3．易错提醒： 的符号不能直接从图象读出，必须结合 的符号与对称轴位置共同判断，"左同右异"易记反。 【典例1】已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【变式1-2】（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-3】已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-4】二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-5】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， ▌题型02 二次函数与一次函数图象的综合判断 1．符号一致：二次函数 与一次函数 的图象在同一坐标系中时，两图象反映出的公共系数符号必须一致。 2．判断方法：先由一个图象确定系数的符号，再用这些符号推断另一个图象应有的形状，逐一排除不符的选项。 3．易错提醒：二次函数的 与一次函数的 是不同系数，要分别判断；一次图象的比例系数、y轴分别对应 、。 【典例2】函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式2-2】若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A．B． C． D． 【变式2-3】在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式2-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【变式2-5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A．B． C． D． ▌题型03 双二次函数图象的判断问题 1．开口比较： 越大，抛物线开口越小；比较两条抛物线开口大小，要比较 的大小。 2．判断方法：由两条抛物线的开口方向确定两个 的符号关系，再结合对称轴位置、与坐标轴交点综合判断。 3．易错提醒：开口大小由 决定，与 的正负无关； 的符号相反则开口方向相反。 【典例3】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式3-1】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【变式3-3】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ ▌题型04 二次函数与反比例函数图象的综合判断 1．双曲线象限：反比例函数 的图象是双曲线， 时在第一、三象限， 时在第二、四象限。 2．判断方法：由双曲线所在象限定 的符号，再结合抛物线的开口与对称轴判断系数符号的一致性。 3．易错提醒：双曲线两支在对角象限，判断 的符号看象限而非单个点的位置。 【典例4】已知是不等于的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图，则它们的解析式可能分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． ▌题型05 多种函数图象的综合判断 1．逐个分析：多种函数（一次、二次、反比例）图象同时出现时，要逐个分析每个图象的特征，确定各自系数的符号。 2．判断方法：由每个图象确定对应系数的符号，再利用函数间的一致条件综合判断，逐项排除。 3．易错提醒：图象较多时易遗漏某个系数的符号，要逐一分析、逐个核对每个条件。 【典例5】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A．B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 【变式5-3】抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【变式5-4】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． ▌题型06 根据二次函数图象判断式子的符号 1．函数值法： 是 时的函数值 ， 是 时的函数值 ，由图象在 处位于 轴上方或下方判断其正负。 2．对称轴法： 的符号由对称轴 与 的位置关系判断； 的符号由抛物线与 轴交点个数判断。 3．易错提醒： 对应 处点的纵坐标，不要与 轴交点混淆；对称轴为 时 。 【典例6】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【变式6-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：；；；；．其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列四个结论：①：②；③对于任意实数，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数图象的判断问题 （题型突破·举一反三） 题型01 二次函数图象与abc系数间的关系 题型02 二次函数与一次函数图象的综合判断 题型03 双二次函数图象的判断问题 题型04 二次函数与反比例函数图象的综合判断 题型05 多种函数图象的综合判断 题型06 根据二次函数图象判断式子的符号 ▌题型01 二次函数图象与abc系数间的关系 1．系数作用： 决定抛物线的开口方向与大小； 是与 轴交点 的纵坐标；、 共同决定对称轴 ，对称轴在 轴左侧时 、 同号，在右侧时异号（"左同右异"）。 2．判断方法：由开口定 的符号，由与 轴交点定 的符号，由对称轴位置结合 的符号定 的符号。 3．易错提醒： 的符号不能直接从图象读出，必须结合 的符号与对称轴位置共同判断，"左同右异"易记反。 【典例1】已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 【变式1-1】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【变式1-2】（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 【变式1-3】已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题利用抛物线顶点坐标公式，结合一元二次方程根的判别式和两根之和的条件，判断顶点横纵坐标的符号，即可确定顶点所在象限． 【详解】抛物线的顶点坐标为， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， 又∵， ∴，即顶点纵坐标为负数。 设方程的两根为，由题意得，对于一元二次方程，可得， ∴， ∵， ∴，即， ∴顶点横坐标，即顶点横坐标为正数， ∵顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，关键是根据一元二次方程根的情况判断相应的二次函数中的系数关系． 【变式1-4】二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，抛物线与y轴交点的位置即可判断①；根据二次函数的对称轴为直线即可判断②；把代入，再根据图象即可判断③；根据图象可知函数经过点，再根据①中的，即可判断④；根据函数开口向下，对称轴为直线可得，当时，函数取得最大值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴相交于正半轴， ∴，， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴，整理得：， ∴，， ∴， 故①、②正确，符合题意； 把代入， 由图可知，当时，函数值小于0， ∴，则， 故③不正确，不符合题意； 由图可知，当时，， 把代入， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 把代入得：， 把代入得：， ∵当时，函数取得最大值， ∴，即， 故⑤正确，符合题意； 正确的有①②④⑤，共4个． 【变式1-5】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． ▌题型02 二次函数与一次函数图象的综合判断 1．符号一致：二次函数 与一次函数 的图象在同一坐标系中时，两图象反映出的公共系数符号必须一致。 2．判断方法：先由一个图象确定系数的符号，再用这些符号推断另一个图象应有的形状，逐一排除不符的选项。 3．易错提醒：二次函数的 与一次函数的 是不同系数，要分别判断；一次图象的比例系数、y轴交点分别对应 、。 【典例2】函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由抛物线与x轴无交点，可得，即可判断①；将代入抛物线可判断②；求出抛物线对称轴为直线，得到抛物线过点，代入抛物线可判断③；当时，抛物线在直线的下方，得到，整理后可判断④． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点， ∴，故此选项错误； ②由图象可知：抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ③∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线过点， ∴抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， ∴， ∴， ∴，故此选项正确． 综上所述，正确的结论有3个． 【变式2-1】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【变式2-2】若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 【变式2-3】在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 【变式2-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 【变式2-5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a的符号判断一次函数与二次函数的图像所经过的象限，然后作出选择即可； 本题考查了一次函数和二次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数的系数与图像的关系是解题的关键． 【详解】解：当，二次函数的图像的开口方向是向上；一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当，二次函数的图像的开口方向是向下；一次函数的图像经过第二、三、四象限； 只有选项B符合条件， 故选：B． ▌题型03 双二次函数图象的判断问题 1．开口比较： 越大，抛物线开口越小；比较两条抛物线开口大小，要比较 的大小。 2．判断方法：由两条抛物线的开口方向确定两个 的符号关系，再结合对称轴位置、与坐标轴交点综合判断。 3．易错提醒：开口大小由 决定，与 的正负无关； 的符号相反则开口方向相反。 【典例3】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式3-1】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 【变式3-3】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． ▌题型04 二次函数与反比例函数图象的综合判断 1．双曲线象限：反比例函数 的图象是双曲线， 时在第一、三象限， 时在第二、四象限。 2．判断方法：由双曲线所在象限定 的符号，再结合抛物线的开口与对称轴判断系数符号的一致性。 3．易错提醒：双曲线两支在对角象限，判断 的符号看象限而非单个点的位置。 【典例4】已知是不等于的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图，则它们的解析式可能分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象位于第二、四象限判断出比例系数小于零，再根据二次函数图象开口向下，顶点坐标在轴坐标轴解答． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴比例系数小于0， 若，则反比例函数解析式为，二次函数解析式为； 若，则反比例函数解析式为，二次函数解析式为; 故仅选项A满足上述其中一种可能． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象综合，先理解题意，再进行分类讨论，分别得出当时，则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限；当时，则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限；再结合选项，进行分析，即可作答． 【详解】解：当时，， 则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限； 当时，， 则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限； 观察四个选项，唯有C选项符合题意； 故选：C 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数综合，函数图像和不等式的关系，首先根据题意得到抛物线与双曲线的交点的横坐标是，结合图像求解即可． 【详解】解：∵双曲线和双曲线关于y轴对称，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1， ∴抛物线与双曲线的交点的横坐标是，如图所示， ∴由图象可得，当时，抛物线的图像在双曲线的图像下面 ∴当时， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：D． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． ▌题型05 多种函数图象的综合判断 1．逐个分析：多种函数（一次、二次、反比例）图象同时出现时，要逐个分析每个图象的特征，确定各自系数的符号。 2．判断方法：由每个图象确定对应系数的符号，再利用函数间的一致条件综合判断，逐项排除。 3．易错提醒：图象较多时易遗漏某个系数的符号，要逐一分析、逐个核对每个条件。 【典例5】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口向上可得到，二次函数的对称轴在轴右边可得到，二次函数与轴的交点在轴下方可得到，即可判断和的取值，再由正比例函数和反比例函数的图象性质进行判断即可． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∴ ∴， ∴正比例函数经过二和四象限；反比例函数经过二和四象限； ∴在同一坐标系中的大致图象可能是：，D正确． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 【变式5-2】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧； 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象与y轴交点在x轴下方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 【变式5-3】抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与反比例函数图象的综合应用问题，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而得出一次函数与反比例函数图象的分布位置即可求解，掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵对称轴直线， ∴， ∴， ∴直线经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在一、三象限， 故选：． 【变式5-4】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． ▌题型06 根据二次函数图象判断式子的符号 1．函数值法： 是 时的函数值 ， 是 时的函数值 ，由图象在 处位于 轴上方或下方判断其正负。 2．对称轴法： 的符号由对称轴 与 的位置关系判断； 的符号由抛物线与 轴交点个数判断。 3．易错提醒： 对应 处点的纵坐标，不要与 轴交点混淆；对称轴为 时 。 【典例6】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 【变式6-1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：；；；；．其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断，，的符号及相关代数式的值；利用 和时的函数值判断相关不等式；利用函数的最小值性质判断含参不等式． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故结论错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故结论正确； 当时，， ， ，即，故结论正确； 当时，， ，即 ， ，故结论正确； 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即 ，故结论正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列四个结论：①：②；③对于任意实数，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并综合运用是解决本题的关键． 由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由和可判断结论②；当时，有最小值，则有，可判断结论③，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上，抛物线与轴交于负半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，即， ，故①错误； ， ，故②错误； 当时，有最小值， ， ，故③正确； 正确结论的个数是1． 故选：B． 【变式6-3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $