专题03 二次函数图象的变换（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“变换本质-方法提炼-易错警示”为主线，系统构建平移、折叠、旋转及综合变换的解题体系，通过典例变式培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移反推|1典例+3变式|顶点坐标变化法，“左加右减”针对自变量|从平移规律到反推过程，强化符号与方向关系| |平移关系式|1典例+3变式|顶点法，a值不变仅变顶点横纵坐标|衔接平移规律，聚焦解析式确定| |折叠问题|1典例+3变式|轴对称性质，顶点对称+开口方向判断|以轴对称为核心，区分水平/竖直折叠差异| |旋转问题|1典例+3变式|旋转不变性，中心对称求新顶点，a值变号|结合旋转中心，建立原新顶点关系| |综合变换|1典例+4变式|分步分解法，按顺序记录顶点与a值变化|整合平移/折叠/旋转，提升复杂问题解决能力|

专题03 二次函数图象的变换 （题型突破·举一反三） 题型01 由新旧图象反推平移过程 题型02 平移后的函数关系式 题型03 二次函数图象的折叠问题 题型04 二次函数图象的旋转问题 题型05 二次函数图象变换的综合问题 ▌题型01 由新旧图象反推平移过程 1．平移规律：抛物线平移遵循"左加右减、上加下减"。把 的图象向右平移 个单位得 ，向上平移 个单位得 。 2．反推方法：由新旧图象反推平移过程，先分别求出两条抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐标的变化确定平移的方向和距离。 3．易错提醒："左加右减"是对自变量 而言，在括号内加减，方向与直观移动方向相反——向右平移是减，向左平移是加。 【典例1】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【变式1-1】坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为1个单位长度，则移动方式为（　　） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【变式1-2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（   ） A．若向左平移，则 B．若向右平移，则 C．若向上平移，则 D．若向下平移，则 【变式1-3】已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． ▌题型02 平移后的函数关系式 1．形状不变：抛物线平移后形状不变， 的值不变，只有顶点位置发生变化。 2．顶点法： 的顶点为 ，向右平移 个单位、再向上平移 个单位后，新顶点为 ，解析式为 。 3．易错提醒：平移只改变 、， 一定不能变；"向右平移 个单位"对应解析式中把 换成 。 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，将函数图象沿轴向上平移1个单位． (1)求平移后的函数表达式． (2)判断是否在平移后的函数图象上，并说明理由． 【变式2-1】将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线与x轴交于A、B两点，且．将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段（不含端点）一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是（   ） A．向上平移， B．向下平移， C．向上平移， D．向下平移， 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)求平移后的抛物线顶点到轴的距离； (3)在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围． ▌题型03 二次函数图象的折叠问题 1．折叠本质：折叠即轴对称，折叠后的图象与原图象关于折痕（对称轴）对称，图形的形状和大小不变。 2．求解方法：求折叠后的解析式，先求顶点关于折痕的对称点得到新顶点，再结合开口方向的变化写出新解析式。 3．易错提醒：沿水平直线折叠时开口方向改变（ 变为相反数），沿竖直直线折叠时开口方向不变，注意区分。 【典例3】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．我校和思项目化小组在研究“植物生长”课题时发现：一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成（如图1）．小数同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图2，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上，如图3所示，则此时幼苗叶子的长度为______． 【变式3-2】根据以下素材，探索完成任务 研究植物叶片的生长状况 背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．                  如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点．                 心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点． 问题解决 任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点的坐标． 任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度． 【变式3-3】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； （2）将图①中的抛物线轴右侧的部分沿轴折叠到轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线轴右侧的部分（包括点）的图象组成新的图象，记为图象，如图②． ①直接写出图象所对应的函数解析式； ②直接写出图象所对应的函数随的增大而增大时的取值范围． ▌题型04 二次函数图象的旋转问题 1．旋转不变性：旋转不改变图形的形状和大小；抛物线绕某点旋转 后开口方向相反， 变为相反数。 2．求解方法：绕某点旋转 时，旋转中心是原顶点与新顶点连线的中点，利用中点坐标公式求出新顶点，再确定 的符号。 3．易错提醒：旋转 后 的绝对值不变、仅符号相反；不要把旋转与平移、折叠混淆。 【典例4】（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则______． 【变式4-1】如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于，过抛物线，顶点的直线与、、围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为___________． 【变式4-2】定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【变式4-3】某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下： 素材 内容 素材1 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形 素材3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留） (3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度． ▌题型05 二次函数图象变换的综合问题 1．综合分解：图象变换综合题常把平移、折叠、旋转组合在一起，需按变换顺序逐步分解，逐个分析每一步变换。 2．求解方法：按题目叙述的顺序依次处理，记录每次变换后的顶点坐标和 的值，最后综合写出新解析式。 3．易错提醒：变换顺序不同结果可能不同，务必严格按题目顺序操作，不能随意调换。 【典例5】【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； (3)当时，求d的取值范围． 【变式5-1】已知二次函数的图像经过点． (1)求该函数图像的顶点坐标． (2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围． (3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值． 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 【变式5-3】已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，求的取值范围． 【变式5-4】如图1，抛物线：经过点A（1，0）和点B（5，0）．已知直线l的解析式为． (1)求抛物线的解析式． (2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值； (3)如图2．当k＝2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值． (4)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为． ①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围； ②直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数图象的变换 （题型突破·举一反三） 题型01 由新旧图象反推平移过程 题型02 平移后的函数关系式 题型03 二次函数图象的折叠问题 题型04 二次函数图象的旋转问题 题型05 二次函数图象变换的综合问题 ▌题型01 由新旧图象反推平移过程 1．平移规律：抛物线平移遵循"左加右减、上加下减"。把 的图象向右平移 个单位得 ，向上平移 个单位得 。 2．反推方法：由新旧图象反推平移过程，先分别求出两条抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐标的变化确定平移的方向和距离。 3．易错提醒："左加右减"是对自变量 而言，在括号内加减，方向与直观移动方向相反——向右平移是减，向左平移是加。 【典例1】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 【变式1-1】坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为1个单位长度，则移动方式为（　　） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线的平移，根据，得到方程的解为，且，故向下平移2个单位即可． 【详解】根据题意，若， 解得， 且， 故向下平移2个单位即可． 故选B． 【变式1-2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（   ） A．若向左平移，则 B．若向右平移，则 C．若向上平移，则 D．若向下平移，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线的平移，解决本题的关键是根据抛物线平移的方向与抛物线的性质，利用数形结合的思想找到抛物线与轴的交点的变化规律． 【详解】解：当时，可得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， A选项：当抛物线向左平移时，则有，， ， 故A选项错误； B选项：当抛物线向右平移个单位长度时，，， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示，当抛物线向上平移时， 根据抛物线的对称性可知：， 整理可得：， 故C选项错误； D选项：如下图所示，当抛物线向下平移时， 根据抛物线的对称性可知：， 整理可得：， 故D选项正确． 故选：D ． 【变式1-3】已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． ▌题型02 平移后的函数关系式 1．形状不变：抛物线平移后形状不变， 的值不变，只有顶点位置发生变化。 2．顶点法： 的顶点为 ，向右平移 个单位、再向上平移 个单位后，新顶点为 ，解析式为 。 3．易错提醒：平移只改变 、， 一定不能变；"向右平移 个单位"对应解析式中把 换成 。 【典例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，将函数图象沿轴向上平移1个单位． (1)求平移后的函数表达式． (2)判断是否在平移后的函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用函数图象的平移规则“上加下减”求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：将二次函数图象沿轴向上平移1个单位，得到平移后的函数表达式为，即； （2）解：点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 【变式2-1】将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线与x轴交于A、B两点，且．将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段（不含端点）一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是（   ） A．向上平移， B．向下平移， C．向上平移， D．向下平移， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点、二次函数的图像平移问题，由求出值，得到抛物线解析式，再讨论平移后与线段有交点的情况，即可获得答案． 【详解】解：对于抛物线， 当时，可得， 解得，， ∵该抛物线与x轴交于A、B两点，且， ∴方程的两根之差， 即， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为，， 即A，B两点的坐标分别为，， 将抛物线沿y轴平移m个单位，若向下平移，则平移后的解析式为， 令，得，整理可得， 由，且交点在线段（不含端点）内， 可知， ∴，解得， 此时交点在线段（不含端点）内； 若向上平移，则平移后的解析式为， 令，得， ∴或，即抛物线与线段无交点． 综上所述，抛物线向下平移，且． 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度． (1)写出平移后的二次函数表达式； (2)求平移后的抛物线顶点到轴的距离； (3)在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到平移后的二次函数表达式； （2）求出平移后的抛物线顶点，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值即可求解； （3）当时，即，解一元二次不等式即可求解． 【详解】（1）解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到； （2）解：由（1）知， 则顶点坐标为， 平移后的抛物线顶点到轴的距离为； （3）解：由（1）知， 抛物线开口朝上， 令，即， 解得：或， 即抛物线与轴的交点坐标为或， 当时，或． 【点睛】本题考查了二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”、抛物线的顶点坐标、点到轴的距离以及根据图象写自变量的取值范围等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． ▌题型03 二次函数图象的折叠问题 1．折叠本质：折叠即轴对称，折叠后的图象与原图象关于折痕（对称轴）对称，图形的形状和大小不变。 2．求解方法：求折叠后的解析式，先求顶点关于折痕的对称点得到新顶点，再结合开口方向的变化写出新解析式。 3．易错提醒：沿水平直线折叠时开口方向改变（ 变为相反数），沿竖直直线折叠时开口方向不变，注意区分。 【典例3】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）用数学的眼光观察世界，你会发现生活中处处有数学；用数学的思维思考世界，你就能探索现实世界的奥秘．我校和思项目化小组在研究“植物生长”课题时发现：一棵生长的幼苗可以近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成（如图1）．小数同学在观察研究幼苗叶片生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图2，该二次函数图象经过坐标系的原点，已知直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上，如图3所示，则此时幼苗叶子的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合、一次函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． 依据题意，先求出，然后求出直线的解析式，进而求出，同理可求出直线的解析式，则，求出抛物线解析式进而求出，作交延长线于点H，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图2：∵二次函数为过原点， ∴，解得：． ∴二次函数为． ∴． ∵直线与x轴成角， 设直线的解析式为，把点代入得，解得b＝1， ∴直线的解析式为． 联立方程组，解得：或（不符合题意舍去）． ∴， 同理可求出直线的解析式为， ∴． 把代入， ∴． ∴． ∴抛物线解析式为． 联立， ∴． ∵幼苗是越长越张开， ∴，不合题意，舍去． ∴． 作交延长线于点H， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】根据以下素材，探索完成任务 研究植物叶片的生长状况 背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．                  如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点．                 心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线和直线于点、点，点、是叶片上的一对对称点，交直线与点． 问题解决 任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点的坐标． 任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度． 【答案】（1）抛物线解析式为：，顶点的坐标为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及一次函数，二次函数，轴对称等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质和轴对称的性质． （1）把代入抛物线解析式求出，即可得到抛物线的解析式，再把抛物线的解析式配方成顶点式，即可求出顶点的坐标； （2）分别根据解析式求出，，，，得到，推出是等腰直角三角形，进而求出，最后根据对称性即可求出． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：， 抛物线解析式为：， 顶点的坐标为； （2）直线的解析式为， 令，则，令，则， ，， ， ， 在中，当时，， ， 在中，当时，， ， ， ， ， 点、是叶片上的一对对称点， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 【变式3-3】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； （2）将图①中的抛物线轴右侧的部分沿轴折叠到轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线轴右侧的部分（包括点）的图象组成新的图象，记为图象，如图②． ①直接写出图象所对应的函数解析式； ②直接写出图象所对应的函数随的增大而增大时的取值范围． 【答案】（1），；（2）①；②或 【分析】（1）用待定系数法可求抛物线解析式，然后根据抛物线的顶点式求顶点坐标即可； （2）①根据点的对称性求出折叠后的函数顶点坐标，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象找到从左下到右上上升部分图像的起点到终点即可求解． 【详解】解：（1）把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4， 顶点D（1，4）； （2）①∵抛物线的顶点为D（1，4）， 则点D关于y轴对称点D1（-1,4） ∴折叠后的抛物线解析式为y＝−（x+1）2＋4， 当x＞0时，抛物线M取原来抛物线y＝−（x-1）2＋4， 当x≤0时，抛物线M取原来抛物线折叠后的抛物线为y＝−（x+1）2＋4， ∴图象的解析式为； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x≤−1或0≤x≤1． 【点睛】本题考查的是抛物线与y轴的交点，抛物线的折叠，函数的性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． ▌题型04 二次函数图象的旋转问题 1．旋转不变性：旋转不改变图形的形状和大小；抛物线绕某点旋转 后开口方向相反， 变为相反数。 2．求解方法：绕某点旋转 时，旋转中心是原顶点与新顶点连线的中点，利用中点坐标公式求出新顶点，再确定 的符号。 3．易错提醒：旋转 后 的绝对值不变、仅符号相反；不要把旋转与平移、折叠混淆。 【典例4】（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于，过抛物线，顶点的直线与、、围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为___________． 【答案】108 【分析】由函数，求出，再，，利用由图像可知阴影部分的面积==点到距离，求解即可． 【详解】因为函数 所以，对称轴： ，则当时，，即，由题意知， 所以， 由图像可知阴影部分的面积==点到距离===108 故答案为108． 【点睛】本题考查的是二次函数与图形运动得综合性题目，解题的关键是，掌握抛物线顶点坐标、函数与坐标轴的交点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 【变式4-2】定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”， ∴， 解得，故选项A、B错误， ∴， ∴，， 当时，，故选项C正确； ∵， ∴只有当时，， 故选项D错误， 故选：C 【变式4-3】某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下： 素材 内容 素材1 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形 素材3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留） (3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的解析式为： (2) (3)杯中液体深度为或 【分析】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，,分别求出，,即可得出结果； （3）分和进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴， 设抛物线的解析式为：， 将点代入，得，解得． 抛物线的解析式为：． 设抛物线的解析式为：，将点代入， 得，解得． 抛物线FCG的解析式为：． （2）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为， 由题可知，当男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为时，． 在抛物线中：将代入解析式得， ， 两者液体最上层表面圆面积之差为； （3）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为， 当时， 即 解得．此时深度为． 当时，， 即．解得． 此时深度为．综上所述：杯中液体深度为或． ▌题型05 二次函数图象变换的综合问题 1．综合分解：图象变换综合题常把平移、折叠、旋转组合在一起，需按变换顺序逐步分解，逐个分析每一步变换。 2．求解方法：按题目叙述的顺序依次处理，记录每次变换后的顶点坐标和 的值，最后综合写出新解析式。 3．易错提醒：变换顺序不同结果可能不同，务必严格按题目顺序操作，不能随意调换。 【典例5】【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； (3)当时，求d的取值范围． 【答案】(1) (2)线段的中点M一定落在直线上，理由如下： ∵点在抛物线上， ∴， 同理（1）可得，抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点， ∵点M是中点， ∴点的坐标为，即， ∴线段的中点一定落在直线上． (3) 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解； （3）结合（2）可得，令，则，根据二次函数的性质得到，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线是平衡抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：由（2）得，，， ∴， ， 令，则， 则的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，有最小值； ∵，且， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， 即． 【变式5-1】已知二次函数的图像经过点． (1)求该函数图像的顶点坐标． (2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围． (3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）待定系数法求得解析式，再化成顶点式，即可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的对称性和增减性求解即可； （3）先求得平移后的抛物线解析式为，由二次函数的性质可得对称轴为，易得，则对称轴位于，即，易得，然后代入平移后的抛物线解析式即可求得t的值． 【详解】（1）解：把点代入 得，解得． ∴． ∴该函数图像的顶点坐标为． （2）解：∵该函数图像的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为． ∵开口向上，离对称轴越近函数值越小，， ∴m的取值范围为． （3）解：∵向上平移t（）个单位长度，得， ∴对称轴为直线． ∵， ∴，即对称轴处于， ∴，即． ∴点A坐标为，代入，得，解得． ∴t的值是7． 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴交点坐标，二次函数的几何变换，以及解绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）把代入，解出，，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点为再代入，即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，进而可得出a的值，再根据中点坐标公式即可求出点P的坐标． （3）根据题意可知，，分别求出当时和时，的值， 然后解绝对值方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入， 解得：，， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为 把代入， 得：， 解得：． （2）解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称， ∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同， ∴， ∵，抛物线顶点坐标为， 的顶点坐标为：， ∴点P的坐标为，即． （3）解：在的范围内，始终存在， 即， ∴， ∴， 当时，， 当时， 此时， 解得∶ ． 【变式5-3】已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵二次函数， 当时，得：，∴， ∵，，∴， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， ∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点； (2)①；②且 【分析】（1）证明判别式即可； （2）由A、B纵坐标相等得对称轴，得；①根据图象过点，得，从而得 ，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【详解】（1）略； （2）解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ， ，整理得， ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 【变式5-4】如图1，抛物线：经过点A（1，0）和点B（5，0）．已知直线l的解析式为． (1)求抛物线的解析式． (2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值； (3)如图2．当k＝2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值． (4)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为． ①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围； ②直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)或； (3)△PMN面积最大值为8，此时； (4)①或；②． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据线段的比，可得直线与轴的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （4）①根据函数图象的增减趋势，可得答案； ②根据函数图象的交点，利用特殊位置解决问题即可； 【详解】（1）抛物线经过点和点 ， 抛物线的解析式为； （2）直线将线段分成两部分，则经过点或，代入得： 或 或； （3）如图1 ， 设是抛物线位于直线上方的一点， 解方程组，解得 或 不妨设、 过做轴交直线于点， 则， ， 当时，△PMN面积最大值为8，此时； （4）如图2 ， ，．由翻折，得， ①当或时随的增大而增大； ②当与抛物线相切时，由，消去，根据△，可得， 当过点时，，解得， 直线与抛物线的交点在之间时有四个交点，即， 当时，直线与图象有四个交点． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的比例得出直线与轴的交点；解（3）的关键是利用二次函数的性质；解（4）①的关键是利用函数图象的增减趋势；解②的关键是确定直线与抛物线的交点位于之间． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $