专题02 勾股定理逆定理（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的判定与应用，通过6类分层题型构建从概念理解到综合拓展的训练体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6类题型，每类3-4题|覆盖勾股数判定（高频）、三边关系判断（高频）、网格直角判断（重）、逆定理求解（重）、实际应用（难）、拓展问题（难）|从概念辨析（勾股数）到直接应用（三边判断），再到几何直观（网格）、推理计算（求解）、实际建模（应用）、创新拓展（拓展），形成完整逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|选择5题+填空5题+解答6题|综合考查逆定理与几何图形、实际场景的结合，含跨知识点应用|强化逆定理在复杂情境中的迁移能力，培养应用意识与创新意识|

专题02 勾股定理逆定理 常考题型·精准突破 题型1 勾股树（数）的判定（高频） 题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3 在网格中判断直角三角形（重） 题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5 勾股定理逆定理的实际应用（难） 题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1勾股树（数）的判定 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 3．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，三个数为，，，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项B，，，，不是勾股数，不符合题意； 选项C，三个数都是正整数，，，，满足勾股数定义，符合题意； 选项D，，，不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意． ◆题型2 判断三边能否构成直角三角形 4．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 5．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 6．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． ◆题型3 在网格中判断直角三角形 7．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 8．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 9．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． ◆题型4 利用勾股定理的逆定理求解 10．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知在中，，求的面积． 【答案】 【分析】先求解，再利用勾股定理的逆定理证明，再进一步求解即可. 【详解】解：， 在Rt中，由勾股定理得， ， 在中，， ， 是直角三角形，， 的面积 11．（25-26八年级下·云南·期中）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 12．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． ◆题型5 勾股定理逆定理的实际应用 13．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 14．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】(1) (2)符合图纸上的安装要求 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． 15．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． ◆题型6 勾股定理逆定理的拓展问题 16．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 17．（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 18．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数是指满足两个较小正整数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一验证即可得到结果． 【详解】解：选项A，，，， A不是勾股数； 对选项B，，，， B不是勾股数； 对选项C，，，， C不是勾股数； 对选项D，，， ，且三个数均为正整数， D是勾股数． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理逆定理知为斜边，． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的高，，则图中的直角三角形共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据，得到，继而得到，解答即可． 本题考查了三角形的高，勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据，得到，继而得到，故是直角三角形； 又为边上的高， 故都是直角三角形； 故选：D． 4．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵，，是一组勾股数，不妨设， ∴， ∴，，仍是勾股数，故②正确； ③∵，，，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，a为斜边， ∴由勾股定理得，代入得， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 二、填空题 6．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 7．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 8．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 【答案】南偏东 【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向． 【详解】 ∵海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，． ∵ 轮船方向为北偏东，， ∴与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 9．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·广东湛江·期末）如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【答案】 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 12．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； (2)66 【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解． 【详解】（1）略 （2）在中， ， 在中， ． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）图是远光超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【答案】(1)是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架，，两轮中心的距离， ，即， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 由（1）得，是直角三角形， ， ， 购物车上篮子的左边缘到的距离为． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如图所示）边和边是否分别垂直于底边． (1)甲组： 工具：卷尺，测量得边长为，边长为，点B和点D之间的距离是．请你依据测量数据判断：边垂直于边吗？说明理由． (2)乙组： 工具：20厘米的刻度尺，你能帮他设计一个方案检验边是否垂直于边． 【答案】(1)边垂直于边，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形即可； （2）在上量取，在上量取，如果，则边垂直于边，否则就不垂直． 【详解】（1）解：边垂直于边，理由如下： ∵，， ∴， 即为直角三角形，， ∴． （2）解：设计方案如下∶ 在上量取，在上量取， 如果，则边垂直于边，否则就不垂直． 16．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02勾股定理逆定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1勾股树（数）的判定（高频） 题型2判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3在网格中判断直角三角形（重） 题型4利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5勾股定理逆定理的实际应用（难） 题型6勾股定理逆定理的拓展问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1勾股树（数）的判定 1.A 2.D 3.C ◆题型2判断三边能否构成直角三角形 4.A 5.B 6.B ◆题型3在网格中判断直角三角形 7.45°45度 8. 【答案】(1)解：四边形ABCD的面积为：5×5-2×1÷2-4×2÷2-5×1÷2-4×1÷2-1=14.5， (2)证明：如图，连接BD. 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D BD2=32+42=25, BC2+CD2=(42+22)+(22+1)=20+5=25 ∴.BC2+CD2=BD2 △BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. 9. 【答案】(1)解：如图所示，即为所求： A (2)解：由勾股定理和网格的特点可得AD=V32+42=5: (3)解：由勾股定理和网格的特点可得AD2=32+42=25,CD2=12+22=5,AC2=22+42=20, .AC2+CD2=20+5=25=AC2, ,△ACD是直角三角形： *3x4 （4)解：S.0=4×6- 2*1x2 2 2×1x2=10 3x4- ◆题型4利用勾股定理的逆定理求解 10. 【答案】解：AB=8,AD=17,∠ABD=90° ∴.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=√AD2-AB2=V172-82=15, :BC=9,CD=12」 在△BCD中，BC2+CD2=92+122=225,BD2=152=225 ∴BC2+CD2=BD2, 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aBCD是直角三角形，∠C=90°， 6BCD的面积=CD-8C=)X12x9=54 11.( 【答案】(1)证明：：BC=5,AC=12,AB=13 :.BC2+AC2=52+122=169,AB2=132=169 ∴.BC2+AC2=AB2 .∠ACB=90°： (2)解：，∠ACB=90°，CD⊥AB 48x0-40xc BC=5,AC=12,AB=13 :CD=60 13· 12. 【答案】(1)解：在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15, 92+122=225=152, ∴AB2+AC2=BC2, △ABC是直角三角形， ∠A=90°： (2)解：设AP=x,则BP=CP=12-x. 在Rt△ABP中，AB2+AP2=BP2, .92+x2=(12-x)2, 21 解得x= 8 S.u=P:4 9x21 8-189 3 216 ◆题型5勾股定理逆定理的实际应用 13. 【答案】(1)解：AB=16,BC=12,∠B=90°， 3/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据勾股定理可得AC=√AB2+BC2=V16+122=20(米)， 答：小路AC的长度为20米： (2)解：由(1)知，AC=20, CD=25,AD=15」 ..AD2+AC2=DC2, ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°， S四边形ABCD=SABc+S。ACD -1AB-BC+1AC-AD 1 2 2 卡号×16x12+x15x20 2 =96+150 =246(平方米)· 答：四边形草坪ABCD的面积是246平方米.」 14. 【答案】(1)解：在RtAACD中，根据勾股定理可得AC2=CD2-AD2=2.62-2.42=1, 因此AC=lm,即AC的长度为lm; (2)解：在△ABC中，AB2=0.36,BC2=0.64,AC2=1, .'AB2+BC2=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即该车棚符合图纸上的安装要求， 15 【答案】(1)解：在△ABC中，AD为BC边上的高， .∠ADB=∠ADC=90°. CD=2,AD=4,BD=8, .AC2=AD2+CD2=42+2=20,AB2=AD2+BD2=4+82=80,BC=CD+BD=10, .AC2+AB2=100=102=BC2, ∴.∠BAC=90°， AB⊥AC: (2)解：正确，理由如下： :AD⊥BC, ∴在RtAACD中，由勾股定理得AD2=AC2-CD①， 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtABD中，由勾股定理得AD2=AB2-BD②， ①+②得：2AD2=AC2-CD2+AB2-BD2=AC2+AB2-CD2-BD2, AD2=BD.CD. ..2BD.CD=AC2+AB2 CD2-BD2. .'BD2+2BD.CD+CD2=AC2+AB2, .(BD+CD)'=AC2+AB2,BC2=AC2+AB2, ∴△ABC为直角三角形： (3)解：安全，理由如下： BC=4m,BD=2.4m,BD L AC, 在RtABCD中，根据勾股定理得CD=√BC2-BD2=√42-(2.4=3.2(m), .AD=5-3.2=1.8, ..AB=AD2+BD2=3, .AB2+BC2=32+42=25=AC2, ∴△ABC是直角三角形， 这个房梁安全 ◆题型6勾股定理逆定理的拓展问题 16. 【答案】(1)解：a+b=n2+1+2n=(n+l), 当n=299时， a+b=(299+1)2=3002=90000=9×10; 故答案为：9×104： (2)解：a=n2+1,b=2n,c=n2-1, 当n=4时，a=42+1=17,b=2×4=8,c=42-1=15, .b2+c2=289=a2, ·这个三角形是直角三角形，且a是斜边， :这个三角形的面积是2×8×15=60， 5111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：60： (3)解：小明的发现正确，理由如下： b2+c2=(2n)2+(n2-102=4n2+(n2)2-2n2+1=(n2+1)2=a2, b2+c2=a2, ∴.当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数. 17. 【答案】(I) 是.理由如下： AM+BN=1.52+22=6.25,MN=2.52=6.25, ..AM+NB2=MN, 'AMMN、B为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点. (2)设BN=x,则N=30-AMBN=25-x, ①当N为最大线段时，依题意MN=AF+NB, 即(25-x)2=x2+25, 解得x=12: ②当BN为最大线段时，依题意BN=AM+M」 即x2=25+(25-x)2, 解得x=13, 综上所述，BN=12或13. 18, 【答案】(1)解：当两直角边为6、8时，斜边=√6+82=10 ∴.当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形 (2)解：由勾股定理逆定理可得， 当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形 当a2+b2<c2时，△ABC为钝角三角形： (3)解：当为直角三角形时，c=Va2+b2=13； 当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .12≤c<13; 当△ABC为钝角三角形时，a2+b2<c2, 则c的取值范围为c>13, 两边之和大于第三边， .13<c<17. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 二、填空题 6.8 7.24 8.南偏东60° 9.3 10.(21,220,221) 三、解答题 11 【答案】(1)解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=6,BC=10, ∴.AC=VCB2-AB2=V102-62=8. (2)解：在△ACD中，AC=8,CD=15,AD=17, .AC2+CD2=82+152=289,AD2=172=289」 .AC2+CD2=AD2 .∠ACD=90° dC+CD:AC 7111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x6x8+1x8x15=84. 2 12. 【答案】(1)(10,24,26) (2)n2-1,n2+1, 证明：(on2-12+(2n)2=n-2n2+1+4n2=n+2n2+1,(n2+1=n+2n2+1, (n2-102+(2n)2=(n2+102, 2n,m2-1,m2+1是勾股数. 13. 【答案】(I)△ABC是直角三角形. 证明：，AD⊥CE, .∠ADC=90°」 在Rt△ADC中，AD=7,DC=24, 根据勾股定理得，AC=√AD2+CD2=25 在△ABC中，AB=20,BC=15,AC=25, :AB2+BC2=202+152=625=AC2, 根据勾股定理的逆定理得，∠ABC=90°， :.△ABC是直角三角形： (2)在Rt△ADC中， AD=7,DC=24. S.aCD.AD=84 在Rt△ABC中，AB=20,BC=15, Sx号BC-AB=150 S2-S=(S.ABC-S.ACE)-(S.ACD-S.ACE)=S.ABc-S.ACD=66 14. 【答案】(I)△ABC是直角三角形：理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架AC=8dm,AB=6dm,两轮中心的距离BC=10dm, 82+6=102,即AC2+AB2=BC2, ∴△ABC是直角三角形. 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G, BA 图2 :AD=13dmAE=5dmAE⊥DE .DE=VAD2-AE2=V132-52=12dm, 由(1)得，△ABC是直角三角形， ∴Sa=)AB4C=BCAG, 2 2 AG-AB-AC-6x8-4.8dm BC 10 ∴.购物车上篮子的左边缘D到BC的距离为DE+AG=12+4.8=16.8dm, 15. 【答案】(I)解：边AD垂直于边AB,理由如下： AD2+AB2=12+2.42=6.76,BD2=2.62=6.76, ∴.AD2+AB2=BD2, 即△ADB为直角三角形，∠DAB=90°， AD⊥AB (2)解：设计方案如下： 在BC上量取BE=12cm,在AB上量取BF=16cm, 如果EF=20cm,则边BC垂直于边AB,否则就不垂直. 16. 【答案】(1) 解：：在△ABC中，AB2+BC2=62+82=36+64=100,AC2=102=100, AB2+BC2=AC2,△ABC是直角三角形： (2)解：①若点P在BC上，则BP=2t,AB=BP, .6=2t,t=3; 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ②若点P在AC上，则CP=2t-8,AP=AC-CP=18-2t, (i)当AB=4AP时，6=18-21，t=6: B C (ii)当AB=BP时，作BD⊥AC于D, D B 则SABc=2 AB-BC=IAC.BD,BD=AB-BC-24 AC ·AD=VAB2-BD=18 4P=2D36 36 27 :.5 =18-2t,解得t= 5 27 综上所述，当1=3或1=5或！=6时，△4BP是以AB为腰的等腰三角形， (3)解：：△ABC的周长为AB+BC+AC=24cm,24÷2=12. ①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上， BP=2t,BO=t,BP+BO=3t. 3t=12, 解得t=4, 如图所示，此时点P刚好运动到点C: 10/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(P) ②当4<t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上， 由①得，此时BQ+BC+CP>12,不符合题意： ③当6<t≤12时，点P、都在AC上，P0<AC=10,10<12,不符合题意： ④当9<t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上， 则AP=2t-18,AQ=t-6 AP+A0=3t-24. .3t-24=12, 解得t=12, 如图所示，此时点P刚好回到点B. B(P) 综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分 11/11 专题02 勾股定理逆定理 常考题型·精准突破 题型1 勾股树（数）的判定（高频） 题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3 在网格中判断直角三角形（重） 题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5 勾股定理逆定理的实际应用（难） 题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1勾股树（数）的判定 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， ◆题型2 判断三边能否构成直角三角形 4．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 5．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 ◆题型3 在网格中判断直角三角形 7．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 8．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 9．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． ◆题型4 利用勾股定理的逆定理求解 10．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知在中，，求的面积． 11．（25-26八年级下·云南·期中）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 12．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． ◆题型5 勾股定理逆定理的实际应用 13．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 14．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 15．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． ◆题型6 勾股定理逆定理的拓展问题 16．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 17．（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 18．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·吉林·期末）若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的高，，则图中的直角三角形共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 7．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 8．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 9．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 10．（25-26八年级下·广东湛江·期末）如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 12．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 13．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）图是远光超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如图所示）边和边是否分别垂直于底边． (1)甲组： 工具：卷尺，测量得边长为，边长为，点B和点D之间的距离是．请你依据测量数据判断：边垂直于边吗？说明理由． (2)乙组： 工具：20厘米的刻度尺，你能帮他设计一个方案检验边是否垂直于边． 16．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $