专题01 勾股定理（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理6大常考题型，通过基础应用到综合拓展的梯度设计，构建“概念理解-技能应用-思维提升”的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|18题（6题型）|涵盖求边长、面积、高及平方关系证明等基础应用，标注重难高频考点|从直角三角形三边关系直接应用，到结合图形变换（如正方形、半圆）的面积转化，形成“性质-应用-变式”的逻辑递进| |综合攻坚·知能拔高|15题（选择/填空/解答）|涉及跨知识综合（如垂美四边形）、实际应用（路径问题）及定理验证（赵爽弦图）|通过多题型融合，深化勾股定理与代数推理、几何模型的联系，体现“以形助数，以数解形”的思维方法|

专题01 勾股定理 常考题型·精准突破 题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积（重） 题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长（高频） 题型3 等面积法求直接斜边上的高问题（高频） 题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5 利用勾股定理证明线段平方关系（难） 题型6 勾股定理的验证方法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． ◆题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长 4．（25-26八年级下·河南开封·期中）已知中，，，，则______． 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． ◆题型3 等面积法求直接斜边上的高问题 7．（25-26八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 8．（25-26八年级下·安徽淮南·期末）中．，，边上的高为12，则边的长为________． 9．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______． ◆题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． ◆题型5 利用勾股定理证明线段平方关系 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 14．（25-26八年级上·全国·单元复习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． ◆题型6 勾股定理的验证方法 16．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 17．（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 18．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 7．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，为的中线，，，，则______． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 13．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 14．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 15．（24-25八年级下·广东汕头·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1以直角三角形三边为边长的图形面积（重） 题型2已知直角三角形的两边，求第三边长（高频） 题型3等面积法求直接斜边上的高问题（高频） 题型4利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5利用勾股定理证明线段平方关系（难） 题型6勾股定理的验证方法（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 ◆题型1以直角三角形三边为边长的图形面积 1.16 2.25 3.30 ◆题型2已知直角三角形的两边，求第三边长 4.5 5.40 6.10或8/8或10 ◆题型3等面积法求直接斜边上的高问题 1 7. 5cm 5cm 8.25或7 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.4.8 ◆题型4利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10.231 11.40 12.50 ◆题型5利用勾股定理证明线段平方关系 13. 【答案】证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC2=2+m2, 在RtADBC中，根据勾股定理，得BC2=h2+n2, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=BC2+AB2, .AB=m+n, h2+m2+h2+n2=(m+n)2, :.h2 =mn 14. 【答案】(1) 解：猜想：AD2+BC2=AB+CD2.理由如下： ,四边形ABCD是垂美四边形， .AC⊥BD ∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°. 由勾股定理，得AD2+BC2=AO2+D02+B02+C02, AB2+CD2=AO2+B02+C02+D02, .'AD2+BC2=AB2+CD2: (2)连接CG,BE,如图： 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M ,正方形ACFG和正方形ABDE, .∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC,AB=AE, ∴.∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE, 在△GAB和△CAE中，AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE, .△GAB≌aCAE(SAS)」 ∴.∠ABG=∠AEC, 又，∠AEC+∠AME=90° ∴.∠ABG+∠AME=90° 又：∠BMC=∠AME. ∴∠ABG+∠BMC=90°， ∴.CE⊥BG. ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由(1)可知CG2+BE2=CB2+GE2, .AC=4,AB=5, .由勾股定理，得CB2=9,CG=32,BE=50, :.GE2 CG2+BE2-CB2=73. 15. 【答案】(I)证明：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD」 又AB=AC,AD=AE, :.△ACD≌aABE(SAS), .CD=BE (2)2CA2=CD2+CE2 如图，连接BE 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A ·AD=AE,∠DAE=90° ∴.∠D=∠AED=45° 同(1)法可得：△ACD≌△ABE」 .BE=CD,∠BEA=∠CDA=45° .∠BEC=∠BEA+∠AED=45°+45°=90°，即BE⊥DE. 在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2=BE2+CE2 ∴BC2=CD2+CE2, AB=AC,∠BAC=90° .BC2=2CA2, ..2CA2=CD2+CE2. ◆题型6勾股定理的验证方法 16. 【答案】(1)证明：：大的正方形的面积可以表示为(a+b},大的正方形的面积又可以表示为c2+4× c2+4x2ab=(a+b)2, 2 ∴c2+2ab=a2+b2+2ab, .a2+b2=c2. (2)解：空白部分的面积_边长为c的正方形的面积2个直角三角形的面积=-2 2ab a=4,b=6 六空白部分的面积=4+6-2××4×6=28。 (3)解：根据题意得：OB=0C=3,4(4B+AC)=24,即AB+AC=6, 在RtaA0B中，根据勾股定理得：AB2=OA+0B2,即(6-AC=32+(3+AC)}, 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：AC=1, .0A=3+1=4. .SA40B 0A0B=。×3×4=6 2 ∴.该风车状图案的面积=4S△4oB=24 17. 【答案】①证明：：大的正方形的面积可以表示为a+b,又可以表示为2+4×号 :(a+b=c2+4x2b. 2 .a2+b2+2ab=c2+2ab, .a2+b2=c2. (2)解：，△ABC是直角三角形，∠C=90°. .AC2+BC2=AB2 又AB的长比AC的长大1， .AC=AB-1, AB2=52+(AB-1)2, 解得AB=13 (3)解：根据题意可得AD⊥BC, 设BD=x米，则CD=(14-x)米， 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, 在Rt&ACD中，AD2+CD2=AC2, .AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,则132-x2=152-14-)2, 解得x=5, .BD=5米， .AD=VAB2-BD2=V132-52=12(米)， 学校修建这道栅栏需要投资：50×12=600（元）. 答：学校修建这道栅栏需要投资600元. 18 【答案】(I)证明：，四个直角三角形直角边长分别为a、b,斜边长为c, 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴大正方形的面积可表示为(a+b,也可表示为4×)b+c2 :a+b=4×7b+c,即g+2ab+B=2ab+c2 2 a2+b2=c2. (2)解：：直角三角形的两条直角边分别为a,b, .AD2=a2+b2,EH =b-a, ,正方形ABCD的面积为l3,中间空白处的正方形EFGH的面积为1， .AD2=a2+b2=13,EH2=(b-a)2=a2-2ab+b2=13-2ab=1. .ab=6 .(a+b)2=a2+2ab+b2=13+2×6=25 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 二、填空题 6.12 7.10 8.13 9.AE2+AD2=2BC2 10.3 三、解答题 11. 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)解：∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm, :AC=AB-BC2=4(c.m). (2)解：AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,∠ACB=∠CDA=90°， CC-CDxAB 2x4x3-xCDx5. 1 1 解得CD=12。 -cm 12. 【答案】(1)解：：AB=50cm,BC=30cm,∠C=90°， .AC=√AB2-BC2=V502-302=40(cm), 由题意得AP=21cm,PC=(40-2t)cm, (2)解：，△PCB的面积等于△ABC面积的一半， ∴.△PCB的面积等于△APB面积， ∴.AP=PC, .2t=40-2t, 解得t=10 答：t为10秒时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半. 13. 【答案】(I)解：四边形ABCD是“垂美”四边形， ∴.AC⊥BD ∴.∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， 在RtaA0B中，AB2=A02+B02=22+32=13, 在Rt△B0C中，BC2=B02+C02=32+42=25, 在RtaC0D中，CD2=C02+DO2=42+52=41, 在Rt△AOD中，AD2=AO2+D02=2+52=29 (2)解：由(1)有AB2=AO2+B02,BC2=B02+C02,CD2=C02+D02,AD2=A0+D0 ∴.BC2+AD =(B02+C02)+(A02+D02） 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(B02+A02)+(C02+D02) AB2+CD2, AB=6, CD=10, BC2+AD2=62+102=136 14. 【容案】山解：梯形BCD的面积为a+ba+)-+ab+,也可以表示为b+0+号， 1 2 2 2 10+a+b=b+2C，即a2+bh2sc2g 2 2 (2)解：设AB=AC=x, .AH=AB-BH=x-0.6. 在Rt△ACH中，AH+CH=AC2,即(x-0.6)+0.82=x2, 解得x5 6 即AC=5 6(千米)， 4C-CH=5-08= 6 30(千米)， 答：新路cH比原路CA少30千米： (3)设AH=x,则BH=AB-AH=21-x, 在RtAACH中，CH2=AC2-AH, 在Rt△BCH中，CH=BC2-BH, AC2-4A=BC2-BH,即102-x2=172-(21-x, 解得x=6, .CH=VAC2-AH=V100-6=8. 15. 【容类1都台是可有：。+6e-得 , 1 1 S+S2=8a元+b元=8c3π=S9 8 故答案为：S+S=S; 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设OA=a,AB=C,由题可得：OB=OC=5, .4c+4(a-5)=80,a2+52=c2, ∴.c=25-a, a2+52=(25-a, 解：a=12, “飞镖状图案的面积为4×)×12x5=120, (3)解：设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,斜边为c,则：c2=a2+b2, 由题意得：S=(a+b),S,=c2,S,=(a-b), ∴.S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2 =a2+2ab+b2+c2+a2-2ab+b2 =c2+c2+c2 =3c2 =16 c216 3, 9,=c2=16 ’ 16 故答案为：3· 919 专题01 勾股定理 常考题型·精准突破 题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积（重） 题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长（高频） 题型3 等面积法求直接斜边上的高问题（高频） 题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5 利用勾股定理证明线段平方关系（难） 题型6 勾股定理的验证方法（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 【答案】16 【分析】根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ∵以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． ◆题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长 4．（25-26八年级下·河南开封·期中）已知中，，，，则______． 【答案】 5 【分析】已知是直角三角形，，是斜边，可根据勾股定理计算的长度． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， 将，代入得：， ∵线段长度为正数， ∴． 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. ◆题型3 等面积法求直接斜边上的高问题 7．（25-26八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高. 【详解】解：在中，两条直角边长为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为. 根据三角形面积公式，可得：，解得. 8．（25-26八年级下·安徽淮南·期末）中．，，边上的高为12，则边的长为________． 【答案】25或7 【分析】本题需分BC边上的高在内部和外部两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和的长度，即可求出的长． 【详解】解：设边上的高为，为垂足， ①当、在点异侧时，高在内部， ∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； ②当、在点同侧时，高在外部， ∵，，，， ∴，， ∴； 综上，的长为或． 9．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ◆题型4 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． ◆题型5 利用勾股定理证明线段平方关系 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·单元复习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1) 解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型6 勾股定理的验证方法 16．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 17．（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 18．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 2．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设正方形的边长分别为，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为， ∵正方形的面积分别是， ∴，， ∵中间三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∴， ∴正方形的面积是． 3．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用勾股定理可得，然后利用垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，， 由，即长不可能是． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 5．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 二、填空题 6．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 【答案】12 【分析】熟练掌握勾股定理，直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：另一直角边长 ． 7．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】10 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：， ， ， ， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，为的中线，，，，则______． 【答案】 【分析】延长至点，使，连接，利用“边角边”证明与全等，从而得到，，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ． ，． ， ． ． ， ． 在中，由勾股定理， ． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【答案】 【分析】连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，，结合勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 三、解答题 11．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，，， ， ， 解得． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】(1)， (2)t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． 13．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 14．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 15．（24-25八年级下·广东汕头·阶段检测）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $