专题08 勾股定理的逆定理（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题08 勾股定理的逆定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断能否构成三角形 1 题型二、与已知两点构成直角三角形的点 2 题型三、网格中判断直角三角形 5 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 7 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 10 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断能否构成三角形 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A．B．C． D． 2．三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．（2015·河北沧州·一模）已知，，为三边，且满足，则它的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 6．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 7．已知，，是的三边长，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 9．（22-23八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 10．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型二、与已知两点构成直角三角形的点 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 5．已知点，点C在上，则使是直角三角形的点C的坐标是 ． 6．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 7．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 8．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 9．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，点，，、 (1)在这个坐标平面内画出 (2)计算的面积； (3)若点P在y轴上，且与的面积相等，求点 P 的坐标． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 题型三、网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A．B．C． D． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 7．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 8．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 9．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，边长为1的的正方形网格中，网格线的交点称为格点． (1)有一个以格点为顶点的三角形，请你在图1，图2，图3中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． (2)如图4，以格点为顶点的，请你计算__________，__________，并在图4中画出一个与全等的三角形（不与重合）． 10．（25-26八年级上·江西抚州·期末）在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 7．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    8．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，那么边上的高是 ． 9．已知的三边长分别是1，3，，则最长的边上的高为 ． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 11．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是某农户的一块田地，是一条小路，已知，，，，，求的面积． 13．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 1．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港C会受台风影响； (2)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 3．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 1．如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由． (3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 1．（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 3．（2025·山西晋城·三模）阅读与思考 下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务. 求任意两点之间的距离在平面直角坐标系中，两点在轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作，同样，两点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作．如果，是平面直角坐标系内任意两点，如何求两点之间的距离? 我们可以通过构造直角三角形来求两点之间的距离，如图，过点分别作轴、轴的垂线，两垂线的交点为，则点的坐标为， ，， （依据），即， 我们将此公式叫作平面直角坐标系内任意两点，之间的距离公式． 任务： (1)材料中的“依据”是指_____； (2)在平面直角坐标系中，已知，，则两点之间的距离_____； (3)在平面直角坐标系中，已知，，，试判断的形状，并说明理由． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 5．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上. (1)在图①中，是面积为2的等腰三角形； (2)在图②中，是面积为的直角三角形； (3)在图③中，是面积为的锐角三角形. 6．（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理的逆定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断能否构成三角形 1 题型二、与已知两点构成直角三角形的点 5 题型三、网格中判断直角三角形 18 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 26 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 37 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 42 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断能否构成三角形 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 2．三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 3．（2015·河北沧州·一模）已知，，为三边，且满足，则它的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理，把式子变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 4．的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 5．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 6．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定为直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形；     D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． 7．已知，，是的三边长，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，解题的关键是明白两个因式积为0，则至少有一个因式为0．根据，可得或，从而或，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∴， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是． 故选：D． 9．（22-23八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案． 【详解】解：A、由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； B、，， ，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； C、，， 最大角， 是直角三角形，故本选项符合题意； D、，，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 题型二、与已知两点构成直角三角形的点 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    3．（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 4．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 5．已知点，点C在上，则使是直角三角形的点C的坐标是 ． 【答案】或或或． 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标特征，坐标系中两点间距离公式等知识点，掌握这些和数形结合是解决本题的关键． 使是直角三角形，不确定哪一个是直角，所以分类讨论即可．当时，过A作x轴的垂线与直线相交于C，将代入即可；当时，过B作x轴的垂线与直线相交于C，将代入即可；当时,由题意设C点坐标为，根据勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】当时， ，过A作x轴的垂线与直线相交于C，此时， 将代入得： 所以此时C点坐标为； 当时， ，过B作x轴的垂线与直线相交于C，此时， 将代入得： 此时C点坐标为； 当时， 由题意设C点坐标为， 根据两点间距离公式可得： ，，, 根据勾股定理可得： ， ， ， ，（均符合题意） ， 所以此时C点坐标为或； 综上C的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 6．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 7．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 8．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 9．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，点，，、 (1)在这个坐标平面内画出 (2)计算的面积； (3)若点P在y轴上，且与的面积相等，求点 P 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的坐标是或 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，在网格中判断直角三角形，以及三角形的面积等知识． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）先判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）设点，然后根据与的面积相等得出求解即可． 【详解】（1）如图所示． （2）因为， 所以， 所以是直角三角形， 所以． （3）设点， ∵与的面积相等， ∴， ∴， 所以或， 所以点的坐标是或． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 题型三、网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 故选：C． 3．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：由图可知，， ， ， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，点A到直线的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点A到直线的距离是为h，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：， ， 为直角三角形，， 设点A到直线的距离是为h， ， ， ， ∴点A到直线的距离是2， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 7．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 8．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 9．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，边长为1的的正方形网格中，网格线的交点称为格点． (1)有一个以格点为顶点的三角形，请你在图1，图2，图3中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． (2)如图4，以格点为顶点的，请你计算__________，__________，并在图4中画出一个与全等的三角形（不与重合）． 【答案】(1)见解析 (2)，，作图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点． （1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）根据勾股定理即可求解，然后根据勾股定理逆定理以及等腰三角形的判定与性质求解度数，根据可作与全等． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，，， ∴， ∴， ∴， 如图4，即为所求． 10．（25-26八年级上·江西抚州·期末）在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段为所作的线段． 理由如下： ． （2）解：如图，即为所作的三角形． 理由如下： ∵， ∴， 即， ∴为直角三角形，且三边长均为无理数． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 6．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 7．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 8．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，那么边上的高是 ． 【答案】2 【分析】根据题意，，，根据勾股定理逆定理判定，设边上的高是，结合，计算即可． 本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，，且， ∴， ∴， 设边上的高是， 由， ∴， 故答案为：2． 9．已知的三边长分别是1，3，，则最长的边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等面积法，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 先根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用面积法求斜边上的高． 【详解】解：∵ ， ∴ △ABC是直角三角形，直角边长为和，斜边长为． 设斜边上的高为， 则三角形面积为， 解得． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 11．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是某农户的一块田地，是一条小路，已知，，，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 在直角中，使用勾股定理计算出．结合的三边长，并根据勾股定理逆定理，可判断是直角三角形，直接计算的面积即可． 【详解】解：在直角中，， 在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 13．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，为边的中线，，，．求的面积． 【答案】的面积为6 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相应知识的运用是解题的关键． 延长至点，使，连接，可证，则，，则，根据勾股定理逆定理可得，计算出的面积即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵为边的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 1．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港C会受台风影响； (2)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【答案】(1)海港C会受影响 (2)货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货，理由见详解 【分析】2本题考查了勾股定理的应用及逆定理． （1）过点C作，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得，再利用三角形面积公式求得的值，即可判断海港C的影响情况； （2）设此时台风中心在上的位置为E，得出，利用勾股定理求得和的值，进而求得的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴海港C会受影响． （2）解：货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货， 理由如下：如图，设此时台风中心在上的位置为E， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵点D在上，，， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 3．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)需花费2700元 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键． （1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得； （2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出． 【详解】（1）解：． 理由：在中， ，，， ， 即， 是直角三角形， ． （2）由（1）得， 为直角三角形， ，， ， ， （元） 答：需花费2700元． 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 1．如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由． (3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)同意，理由见详解 (3)存在， 【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出自变量的取值范围； （2）根据勾股定理定理表示出、、再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数； （3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为 ，图象经过 解得∶， 与的函数表达式为， 当时，得∶， 解得∶， 与之间的函数关系式 ； （2）同意，理由如下∶ 四边形是长方形，， 在中， 在中． 在中， 的度数不会随着点的运动而发生变化， （3）设存在的值，使得， 由（1）知∶， 在和中， 在中，， 解得∶， 存在，使得． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 1．（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． （2）利用网格按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，点N即为所求（答案不唯一）． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线为等腰三角形的对称轴，即等腰三角形的中线可以把等腰三角形分成两个相同的部分，据此可得答案； （2）方法一：作的四等分点E、D、F，连接，折痕为；方案二：作的中点E、F，连接，折痕为； （3）①由三角形中线平分三角形面积可得，，则可证明，再证明，可得，即；②延长到M，使得，连接，证明，得到；由（1）可得，可证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得，他用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故选：B； （2）解：如图，作的四等分点E、D、F，连接， 则，折痕为， ∴ 如图，分别作的中点E、F，连接，折痕为， 则； （3）解：①∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即； ②延长到M，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·山西晋城·三模）阅读与思考 下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务. 求任意两点之间的距离在平面直角坐标系中，两点在轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作，同样，两点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则两点之间的距离记作．如果，是平面直角坐标系内任意两点，如何求两点之间的距离? 我们可以通过构造直角三角形来求两点之间的距离，如图，过点分别作轴、轴的垂线，两垂线的交点为，则点的坐标为， ，， （依据），即， 我们将此公式叫作平面直角坐标系内任意两点，之间的距离公式． 任务： (1)材料中的“依据”是指_____； (2)在平面直角坐标系中，已知，，则两点之间的距离_____； (3)在平面直角坐标系中，已知，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)勾股定理 (2) (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）结合阅读材料即可得到答案 （2）直接由材料中的公式，将，坐标代入求解即可得到答案； （3）直接由材料中的公式，将，，代入求解，得出的三边长度，结合勾股定理的逆定理及等腰三角形的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：根据阅读材料做法，， 材料中的“依据”是指勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）解：，， 由公式可得两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ，，， ，，， ，且， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及平面直角坐标系内任意两点之间的距离公式、勾股定理运用、勾股定理的逆定理、等腰三角形定义等知识，理解材料中的说明，理解平面直角坐标系内任意两点之间的距离公式由来及运用是解决问题的关键． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 5．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上. (1)在图①中，是面积为2的等腰三角形； (2)在图②中，是面积为的直角三角形； (3)在图③中，是面积为的锐角三角形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握网格的特征是关键. （1）根据网格的特点构造满足条件的等腰三角形即可； （2）利用勾股定理及其逆定理构造满足条件的直角三角形即可； （3）根据网格的特点构造满足条件的三角形即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求， （2）如图②，即为所求， （3）如图③，即为所求， 6．（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【答案】(1)①是；；②或 (2)详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，正确理解“奋进四边形”的定义是解题的关键． （1）①可证明，则可利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，据此可得结论； ②可利用勾股定理的逆定理证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，据此分和，两种情况利用勾股定理求解即可； （2）由题意知：和都是等腰直角三角形，则可证明，得到； （3）同理可证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，再分和，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形是“奋进四边形”，且是“奋进线”； ②当时， ∵， ∴此时不是等腰直角三角形， 同理可得当时，不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， 当时，则； 当时，； 综上所述，的长为或； （2）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∵， ，， ∵ ， ， ； （3）解：同理可证明不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， 当时，如图1，作，取，连接， 同理可证明， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴由勾股定理得， ， 当时，如图，同理可得， 综上：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $