第2章 反比例函数（重难点单元自测）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦反比例函数，整合中考真题与创新情境，覆盖定义、图像性质、综合应用等核心知识，适配九年级单元复习，助力巩固基础与提升能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|反比例函数定义、图像与坐标轴交点、性质、与一次函数图像综合|结合中考真题（如扬州中考题），基础与辨析并重，培养抽象能力| |填空题|8/32|性质应用、新定义“倍横变点”、规律探究|融入新定义（如“倍横变函数”）和实际情境（科学素养测评），发展创新意识| |解答题|8/78|解析式求解、面积计算、实际应用（燃油机压强体积）、几何与函数综合|注重模型意识（如压强体积反比例关系）和综合思维（等腰直角三角形规律），体现应用意识|

第2章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．该图象关于直线对称 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知点，，在反比例函数图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（    ） A． B．+1 C． D． 7．（2026·湖南永州·二模）如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该“火箱”的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（   ） A．与的函数关系式是（） B．当电阻从调节到时，电流减少了 C．当时，的取值范围是 D．已知该“火箱”的发热功率为，则随的增大而增大 8．（2026·湖南衡阳·二模）一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（   ） A． B．m的值为 C．当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D．点M的坐标为 9．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论：①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 10．（25-26九年级下·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点C是的中点；④k的值是2．其中正确结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11.（2026·福建莆田·模拟预测）已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 12．（2026·河南郑州·一模）已知一个函数具备以下特征：①函数的图象经过第二象限；②当时，随的增大而增大；③函数的图象关于原点中心对称. 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 13．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为 15．（24-25九年级上·天津和平·期末）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是_______． 16．（25-26九年级下·四川南充·期中）某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是 ． 17．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变得到点，则称点为点的“倍横变点”，所有“倍横变点”构成的函数称为原函数的“倍横变函数”．例如：函数图象上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点是点的“倍横变点”，则点的坐标为_____； （2）点在反比例函数的图象上，点是点的“倍横变点”，若线段的中点在直线上，则点的坐标为_____． 18．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角．点在轴上，过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点，，按此规律依次作图，则的坐标为_____． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，226题12分，答案写在答题卡上） 19．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值．(2)判断点是否在该反比例函数图象上． 20．（2026·河南商丘·一模）如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若，为线段的中点．(1)求的值；(2)过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为，求点的坐标． 21．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)直接写出不等式 的解集 ． 22．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点．(1)若，则和之间（不含边界）有 个优点；(2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 23．（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下： 气体压强 汽缸体积 实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系． (1)求该反比例函数的表达式；(2)画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______； (3)若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 24．（2026·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，以为边在x轴上作正方形，四个顶点按逆时针顺序的坐标依次为．反比例函数的图像位于第一象限，反比例函数的图像位于第二象限．已知正方形的边与的图像交于点E，边与的图像交于点G．求： (1)若，求点E和G的坐标； (2)若，求经过E、G两点的一次函数解析式； (3)若，边与的图像交于点H，试判断点H是否在直线上，并说明理由． 25．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 26．（25-26八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的定义为：形如（为常数，，）的函数， ∴A选项是正比例函数，不符合反比例函数定义， B选项符合反比例函数的形式，是反比例函数， C选项是二次函数，不符合反比例函数定义， D选项是一次函数与反比例函数的和，不是反比例函数．综上，故答案选B． 2.（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】当时，，∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即，∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B． 3．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．该图象关于直线对称 【答案】C 【详解】解：反比例函数，选项A、当时，，则点在图象上，A正确； 选项B、，则图象在第一、三象限，B正确；选项C、当时，随的增大而减小，C错误； 选项D、若点在图象上，则，即，点也在图象上，则图象关于直线对称，D正确， 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限，∴，，∴， ∵反比例函数图象在二、四象限，∴，∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限，∴，，∴， ∵反比例函数图象在二、四象限，∴，∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限，∴，，∴， ∵反比例函数图象在一、三象限，∴，∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限，∴，，∴， ∵反比例函数图象在二、四象限，∴，∴一致，成立．故选：D． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知点，，在反比例函数图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于反比例函数，，， 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点的横坐标，点在第三象限，可得， 点，的横坐标，两点都在第一象限，，综上可得． 6．（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（    ） A． B．+1 C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， ∵矩形的面积为1，轴于点，∴，∴点的纵坐标为， 当时，=，解得，∴， ∵矩形的面积为，∴，整理得，解得： ∵，∴． 7．（2026·湖南永州·二模）如图1是一台可调节温度的“火箱”，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该“火箱”的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（   ） A．与的函数关系式是（） B．当电阻从调节到时，电流减少了 C．当时，的取值范围是 D．已知该“火箱”的发热功率为，则随的增大而增大 【答案】D 【详解】根据题意设反比例函数关系式为（），将点代入，得， 与的函数关系式是（），故A选项正确； 当时，，电流减少了，故B选项正确； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故C选项正确； 发热功率（），随的增大而减小，故D选项错误． 8．（2026·湖南衡阳·二模）一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（   ） A． B．m的值为 C．当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D．点M的坐标为 【答案】D 【详解】解：，，， 轴，，点Q在上，，， ，解得，故选项A错误，不符合题意； ，一次函数解析式为，点P是两函数图象的交点，且纵坐标为， 当时，，解得，即， 则，故选项B错误，不符合题意； 反比例函数解析式为，则两函数图象如图所示，交点， 由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意； 点M与Q纵坐标相同，，， 点M在反比例函数上，，即，故选项D正确，符合题意． 9．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论：①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【详解】解：根据定义，若函数为对换函数，则存在不重合的两点，都在函数图象上， ①对于反比例函数：在函数上，∴ 将代入函数，右边左边，满足等式 且若重合，则，得，无实数解，因此所有点对都不重合，存在对换点，故①正确； ②对于一次函数：在函数上， 将代入函数，得右边左边，等式恒成立，仅当，即得时，两点重合，其余无数个点对都不重合，因此有无数对对换点，故②正确； ③对于一次函数：，都在函数上，∴ 将第一个式子代入第二个式子整理得： 若，则，，得，此时，两点重合，不符合要求； 若，等式对任意成立，，且仅当，即，即时两点重合，其余点对都不重合，故存在无数对不重合的对换点，符合要求，因此，故③正确；综上，①②③都正确． 10．（25-26九年级下·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点C是的中点；④k的值是2．其中正确结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，∴， 在和中，，∴，故①正确；∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴，，延长交y轴于一点E，过点D作轴，如图： ∵，∴，∵轴，，， ∴四边形是矩形，同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上，∴矩形的面积是4，∴， ∵，∴，即，∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A，∴，故④正确； 若点C是的中点，则，由于，则为等边三角形， ∵无法求得，∴故③错误．综上所述，正确的有①②④．故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11.（2026·福建莆田·模拟预测）已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴∴∴写出一个符合条件的a的值为（答案不唯一）． 12．（2026·河南郑州·一模）已知一个函数具备以下特征：①函数的图象经过第二象限；②当时，随的增大而增大；③函数的图象关于原点中心对称. 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由函数图象关于原点中心对称，结合增减性特征，可知符合条件的函数为反比例函数， 设反比例函数解析式为，根据当时，随的增大而增大，由反比例函数的性质可得， 当时，反比例函数图象经过第二，四象限，满足函数图象经过第二象限的条件，且反比例函数图象关于原点中心对称，符合所有特征，取，所以符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 13．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：由得，，且， 根据反比例函数的性质得，双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∵，，∴，即，解得． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为 【答案】-4 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两点关于原点对称，∴为的中点，∴， 作，∵，∴，∴， ∵点在反比例函数的图象上，∴，∴， ∵反比例函数的图象在二，四象限，∴，∴． 15．（24-25九年级上·天津和平·期末）反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵∴在每个象限内，随的增大而减小; 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 16．（25-26九年级下·四川南充·期中）某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是 ． 【答案】丙 【详解】解：设反比例函数表达式为，由于乙、丁两点在该反比例函数图象上，故对乙、丁两所学校都有，即乙、丁两校的优秀人数相等； 对于甲校，过点甲作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与甲相同，纵坐标大于甲的纵坐标，因此甲校的，即甲校优秀人数小于； 对于丙校，过点丙作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与丙相同，纵坐标小于丙的纵坐标，因此丙校的，即丙校优秀人数大于； 综上：丙校的优秀人数 > 乙校（丁校）的优秀人数 > 甲校的优秀人数，即优秀人数最多的是丙校． 17．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变得到点，则称点为点的“倍横变点”，所有“倍横变点”构成的函数称为原函数的“倍横变函数”．例如：函数图象上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点是点的“倍横变点”，则点的坐标为_____； （2）点在反比例函数的图象上，点是点的“倍横变点”，若线段的中点在直线上，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：将代入得；，， 点B是点A的倍横变点，，点，故答案为：； 设点，依题意得点，点E是线段的中点，点， 点E在直线上，，解得：，，，点，故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角．点在轴上，过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点过点作交反比例函数图象于点，过点作交轴于点，，按此规律依次作图，则的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形，且，， 设的坐标为，代入反比例函数，得：， 解得：，（不符合题意，舍去），的坐标为， 分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、， 是等腰直角三角形，且，，，， ，，点的坐标为，的坐标为， ，，设，则，，， 点在反比例函数上，，解得：，（舍去）， ，，， ，，设，则，点，， 点在反比例函数上，，解得：，（舍去）， 点，即点，点，同理可得：点， 以此类推，可得的坐标为，故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，226题12分，答案写在答题卡上） 19．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值．(2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且，解得：． （2）由（1）可知：．当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 20．（2026·河南商丘·一模）如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若，为线段的中点．(1)求的值；(2)过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由平移可得且，四边形为平行四边形． 又，四边形为菱形． 如图，延长交轴于点，设菱形的边长为，则，， 点的坐标为，，在中，由勾股定理，得， 解得∶．，，反比例函数的图象过点，． （2）解：过点作直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为， ∵为线段的中点．∴，即， ∵直线垂直于轴且与反比例函数的图象的交点为， ∴点E的纵坐标为，∴，∴，． 21．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)直接写出不等式 的解集 ． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）解：把代入中得：，解得，∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，∴， 把，代入得：，∴，∴一次函数解析式为． （2）解：∵记的图象与轴的交点为，当时，，∴， ∵，，∴. （3）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 22．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：当时，经过点，，，如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ，， ，． ，当时，；当时，；当时，；当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足：当时，，即，当时，，即， 当时，，即，当时，，即，∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足：当时，，即，当时，，即， 当时，，即，当时，，即，∴． 综上，的取值范围为或． 23．（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下： 气体压强 汽缸体积 实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系． (1)求该反比例函数的表达式； (2)画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______； (3)若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 【答案】(1)(2)见解析，(3)不少于 【详解】（1）解：设，将代入解析式可得，解得，即； （2）解：画出函数图象如图所示， ， 当时，，汽缸内气体的压强是；故答案为：； （3）解：当时，，为了安全起见，气体的体积应不少于． 24．（2026·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，以为边在x轴上作正方形，四个顶点按逆时针顺序的坐标依次为．反比例函数的图像位于第一象限，反比例函数的图像位于第二象限．已知正方形的边与的图像交于点E，边与的图像交于点G．求： (1)若，求点E和G的坐标； (2)若，求经过E、G两点的一次函数解析式； (3)若，边与的图像交于点H，试判断点H是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不在，见解析 【详解】（1）解：，， 当时，，当时，，解得，； （2）解：，， 当时，，当时，，解得，， 设经过E、G两点的一次函数解析式为， ，解得，则经过E、G两点的一次函数解析式为； （3）解：不在，理由如下，，， 当时，，当时，，解得，， 设直线的解析式为， ，解得，则直线的解析式为， 时，，故点H不在直线上． 25．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 【答案】(1)；的值为(2)(3)见解析 【详解】（1）解：∵矩形中，，，∴平行于轴,平行于轴，， ∵为三等分点且靠近，∴，∴将代入，得， ∵在上，横坐标为，代入得，∴． 答：点的坐标为，的值为． （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于，此时周长最小． 设直线的解析式为， 代入、：，解得，， ∴直线解析式为令，得，∴ （3）证明：∵在上，纵坐标为，代入得，∴， ∵在上，横坐标为，代入得，∴，， ∴． 26．（25-26八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，， ∴，解得：，即，， ∵是线段的中点，∴，，∴，∵，∴， ∵点在反比例函数的图象上，∴， ∴反比例函数的解析式为，设直线的解析式为， ∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为，∴当时，，∴， ∴，如图所示： ∵点在直线上，∴设，∴， ∵，∴，解得：或， 当时，，，当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为， ∵，∴，解得：，∴直线的解析式为，设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，，∴，∴，解得：， ∴，∴； 如图，当时，则，∴，解得：， ∴，∴；如图，当时，， ∵轴，在上，∴点与原点重合，∴，∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $