第一单元 反比例函数 单元测试 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖函数表达式、图像性质、实际应用及几何综合，凸显抽象能力、模型意识与推理能力的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/16|反比例函数图像性质、点坐标判断|金属密度问题（第5题）考查数学建模| |填空题|8/16|函数增减性、实际应用|近视眼镜度数与焦距关系（第12题）体现应用意识| |解答题|8/68|表达式求解、一次函数交点、几何综合、探究性问题|园艺药液浓度（第7题）结合图像分析，正方形动态问题（第24题）培养推理能力与创新意识|

第一单元 反比例函数 单元测试 分值：100分 时间；120分钟 一、单选题（共16分） 1．（本题2分）已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（本题2分）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 3．（本题2分）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（本题2分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 5．（本题2分）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 6．（本题2分）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（本题2分）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 8．（本题2分）如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 9．（本题2分）如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 10．（本题2分）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 11．（本题2分）已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 12．（本题2分）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 13．（本题2分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 14．（本题2分）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 15．（本题2分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 16．（本题2分）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 三、解答题（共68分） 17．（本题6分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 18．（本题6分）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 19．（本题8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 20．（本题8分）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 22．（本题8分）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 23．（本题12分）数学兴趣小组的同学根据学习经验，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 绘制函数图象 ①列表：列出与的几组对应值： … … … … … … ②描点：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． 观察图象，探究函数的性质． 根据以上研究过程，回答下列问题： (1)函数自变量的取值范围是________； (2)把函数的图象补充完整； (3)对于函数的图象，在每一个分支上，随的增大而________（填“增大”或“减小”）；函数的图象可以看成把函数的图象向________（填“左”或“右”）平移________个单位得到的； (4)关于的方程的解是________；关于的不等式的解集是________． 24．（本题12分）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 反比例函数 单元测试 分值：100分 时间；120分钟 一、单选题（共16分） 1．（本题2分）已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题可根据反比例函数的增减性比较函数值大小，先判断比例系数的符号，得到函数的增减规律，再结合两点横坐标的范围即可比较和的大小． 【详解】反比例函数中，， 函数图像在二、四象限， 在每个象限内，随的增大而增大． 点，都在第二象限，且， ． 2．（本题2分）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 3．（本题2分）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 4．（本题2分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 5．（本题2分）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质求解，根据密度与溢出体积成反比例得到定值（即金属质量），再计算B金属的密度，对照表格得到结果． 【详解】解：设金属密度为，溢出的水的体积为 ， ∵金属的密度与溢出的水的体积成反比例，且A，B金属质量相同， ∴（ 为定值，即金属质量），且 将A金属数据代入得：，， ∴ 对B金属，， ∴. 对照表格可知，密度为的金属是银，因此B种金属为银． 6．（本题2分）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 7．（本题2分）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 8．（本题2分）如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 二、填空题（共16分） 9．（本题2分）如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 10．（本题2分）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】 减小 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第一象限内的图象， ∴随的增大而减小． 11．（本题2分）已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据得出反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，然后根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第三象限，点在第一象限， ∴，，， ∵， ， ∴． 12．（本题2分）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 13．（本题2分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 14．（本题2分）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 15．（本题2分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【答案】/ 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 16．（本题2分）如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据题意设此反比例函数为，据此得到E和F的坐标；根据反比例函数的图象和性质可得，再计算出的面积，接下来计算，再结合其值为即可得到关于的等式，据此即可解答此题． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 设此反比例函数为，则，， ∴，， ∴，， o，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， ∵，即， ∴ ∴反比例函数为． 三、解答题（共68分） 17．（本题6分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 18．（本题6分）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 19．（本题8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 20．（本题8分）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 22．（本题8分）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 23．（本题12分）数学兴趣小组的同学根据学习经验，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 绘制函数图象 ①列表：列出与的几组对应值： … … … … … … ②描点：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． 观察图象，探究函数的性质． 根据以上研究过程，回答下列问题： (1)函数自变量的取值范围是________； (2)把函数的图象补充完整； (3)对于函数的图象，在每一个分支上，随的增大而________（填“增大”或“减小”）；函数的图象可以看成把函数的图象向________（填“左”或“右”）平移________个单位得到的； (4)关于的方程的解是________；关于的不等式的解集是________． 【答案】(1) (2) (3)减小；左；1 (4)    【分析】画出图像，观察图像数形结合解决问题． 【详解】（1）解：若使解析式有意义， 则， ； （2）解：略； （3）解：观察图像可知，函数的图象，在每一个分支上，随的增大而减小；函数的图象可以看成把函数的图象向左平移１个单位得到的； （4）解：法1： 经检验，是原方程的解； 法2：方程的解即函数图像与直线交点的横坐标，故； 由图像知是交点和函数图像在直线上方的部分， 解方程 得， 即两图像交点横坐标为， ∴不等式解集为． 24．（本题12分）如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 学科网（北京）股份有限公司 $