15.1图形的轴对称（5知识点+14大题型+分层训练）2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1图形的轴对称 学习目标导航 1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。 2.掌握线段垂直平分线的判定，并能熟练进行相关证明。 3.掌握逆命题的定义，并能够熟练写出一个命题的逆命题并判断它的真假。 4.掌握线段垂直平分线的画法，能够熟练的话线段垂直平分线以及根据作图痕迹判断并解决相关问题。 洞悉◆教材知识 知识点01 轴对称图形 (1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 (2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。 (3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 知识点02 线段垂直平分线的性质 (4)线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 知识点03 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题的定义： 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 2. 互逆定理的定义： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 注意：命题有真有假，定理一定时真命题；每一个命题都有逆命题，但是不一定所有的定理都有逆定理；原命题的真假与逆命题的真假没有关系；互逆的两个定理一定都是真命题 知识点04 作已知线段的垂直平分线 1. 作已知线段的垂直平分线： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 知识点05 画轴对称或轴对称图形的对称轴 1. 画对称轴： 由轴对称与轴对称图形的性质可知，对称轴是任意一组对应点连线的 垂直平分线 ，所以作对称轴即是作对应点连线的 垂直平分线 。 具体步骤： （1） 找轴对称与轴对称图形的一组对应点； （2） 连接这组对应点； 作这组对应点的垂直平分线，这条垂直平分线即为对称轴。 核心题型◆归纳 题型01 轴对称及其轴对称图形的判断 题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 题型03 利用性质求角度 题型04 利用性质求线段 题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律 题型06 利用垂直平分线的性质求线段 题型07 利用垂直平分线的性质求角 题型08 线段垂直平分线的判定 题型09 判断逆命题及其真假 题型10 命题的证明 题型11 垂直平分线的作图痕迹解决问题 题型12 其他图形的作图痕迹解决问题 题型13 造物选址作图 题型14 作轴对称（图形）的对称轴 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 轴对称及其轴对称图形的判断 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：A． 【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得， 展开后的图形呈轴对称， 故选：C． 题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称， ∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确， AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 题型03 利用性质求角度 【典例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°． 故选：C． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点C与点B关于DE成轴对称，连接BE，已知∠ABE＝3∠EBD，则∠C的度数是（　　） A．30° B．20° C．18° D．16° 【答案】C 【解答】解：∵点C与点B关于DE成轴对称， ∴∠EBD＝∠C， 又∵∠A＝90°，∠ABE＝3∠EBD， ∴∠ABC+∠C＝90°，∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝4∠EBD＝4∠C， ∴4∠C+∠C＝90°， 解得∠C＝18°， 故选：C． 题型04 利用性质求线段 【典例1】△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则A′C′的长为（　　） A．5cm B．8cm C．7cm D．20cm 【答案】C 【解答】解：若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，易得AC＝7cm； △ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，即△ABC≌△A′B′C′， 故A′C′＝AC＝7cm． 故选：C． 【变式1】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝9，AC＝4，BC＝10，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【解答】解：∵点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，AC＝4， ∴AD＝DE，CE＝AC＝4， ∵BC＝10， ∴BE＝BC﹣CE＝6， ∵AB＝9， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝9+6＝15． 故选：B． 题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律 【典例1】如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】A 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是1号袋， 故选：A． 【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 题型06 利用垂直平分线的性质求线段 【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 【答案】A 【解答】解：∵AE＝DE＝2，CE⊥AD， ∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线， ∴CD＝AC＝6， ∴∠CDA＝∠DAC， ∵2∠B＝∠DAC， ∴2∠B＝∠CDA， ∵∠CDA＝∠B+∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DB＝DA＝4， ∴BC＝DB+DC＝4+6＝10， 故选：A． 【变式1】如图，直线DE是△BAC的边AB的垂直平分线，已知AC＝5cm，△ADC的周长为18cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．10cm C．12cm D．13cm 【答案】D 【解答】解：∵直线DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， 由条件可知AC+CD+DA＝18cm， ∴AC+CD+DB＝18cm， ∵AC＝5cm， ∴BC＝13cm， 故选：D． 题型07 利用垂直平分线的性质求角 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．则∠CAD＝（　　） A．45° B．30° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B， ∴∠BAC＝2∠CAD， 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠CAD+2∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝30°． 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，∠APC＝114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　） A．48° B．52° C．62° D．66° 【答案】A 【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴AM＝PM，PN＝CN， ∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN， ∴∠BMN＝2∠MPA，∠BNM＝2∠CPN， 又∵∠APC＝114°， ∴∠BMN+∠BNM＝2（∠MPA+∠CPN）＝2（180°﹣∠APC）＝132°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝48°， 故选：A． 题型08 线段垂直平分线的判定 【典例1】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【答案】C 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵D是BC的中点 ∴BD＝CD， 又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC； （2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB﹣BE＝AC﹣CF， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 题型09 判断逆命题及其真假 【典例1】下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．相等的角是内错角 【答案】A 【解答】解：A、命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题为“如果a＝b，那么a2＝b2”，是真命题； B、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，是假命题； C、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，是假命题； D、“相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，是假命题； 故选：A． 【变式1】下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＝b＝0，那么ab＝0 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b 【答案】D 【解答】解：A．逆命题为：如果ac＞bc，那么a＞b是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果ab＝0，那么a＝b＝0是假命题，不符合题意； C．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果a＝b，那么|a|＝|b|是真命题，符合题意． 故选：D． 题型10 命题的证明 【典例1】“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形　 ，请证明这个逆命题是真命题． 已知：　∠A+∠B＝90°　 ； 求证：　△ABC是直角三角形　 ． 【答案】如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；∠A+∠B＝90°；△ABC是直角三角形． 【解答】解：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形． 已知：∠A+∠B＝90°， 求证：△ABC是直角三角形； 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠A+∠B＝90°， ∴90°+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形． 故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；∠A+∠B＝90°；△ABC是直角三角形． 【变式1】【问题提出】 如图，通过拼摆两个含30°角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的直角边等于斜边的一半． 通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？ 【思路启迪】 从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含30°的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？ 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：． 请在图中添加辅助线，将含30°的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图中添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的． 分类 方法一 方法二 画图及描述 【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明． 【触类旁通】 以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30”，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？ （1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果 　锐角所对的直角边等于斜边的一半　 ，那么 　这个锐角等于30°　 ．” （2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由． 【答案】【逻辑论证】：见解析；【触类旁通】：（1）锐角所对的直角边等于斜边的一半，这个锐角等于30°；（2）成立，理由见解析． 【解答】逻辑论证：证明：方法一：延长BC至点D，使得CD＝BC，连接AD， ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝BC， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°， ∴在Rt△ABC中与Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D＝60°，∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝60°， ∴△ABD是等边三角形，AB＝BD， ∵， ∴，即在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 题型11 垂直平分线的作图痕迹解决问题 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于（　　） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝3+4＝7． 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 题型12 其他图形的作图痕迹解决问题 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G，若CG＝2，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：由题意知：BG平分∠ABC， ∴当GP⊥AB时有最小值， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CG＝2， ∴GP＝CG＝2， ∴GP的最小值为2， 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有（　　）①AF＝CF；②AD＝BD；③AF＝BF；④∠BAF＝∠FBC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，根据尺规作图的痕迹得，DF是AB的垂直平分线，BF平分∠ABC， ∴AD＝BD，AF＝BF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAF＝∠ABF， ∴∠BAF＝∠FBC． 所以②③④正确，不能确定AF和CF的关系． 故选：B． 题型13 造物选址作图 【典例1】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【答案】C 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【变式1】如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处． 如图：点P就是码头应建的位置． 题型14 作轴对称（图形）的对称轴 【典例1】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝　3　 ． 【答案】（1）作图见解析部分； （2）3． 【解答】解：（1）如图，直线l即为所求； （2）S△ABC＝2×41×22×21×4＝3， 故答案为：3． 【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称． （1）直接写出△ABC的面积 　5　 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m． （3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB． 【答案】（1）5； （2）（3）见解答． 【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×41×22×43×4＝5； 故答案为5； （2）如图，直线m为所作； （3）如图，△DCB为所作． 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由轴对称图形的性质得出，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 3．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是　　    A．≌ B．AF垂直平分EG C．直线BG，CE的交点在AF上 D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】认真观察图形，根据轴对称图形的性质得选项A、B、C都是正确的，没有理由能够证明△DEG是等边三角形． 【详解】A．因为此图形是轴对称图形，正确； B．对称轴垂直平分对应点连线，正确； C．由三角形全等可知，BG＝CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确； D．题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质；解答此题要注意，不要受图形误导，要找准各选项正误的具体原因是正确解答本题的关键． 4．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的定义 【分析】由轴对称图形的性质可得△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】如图，连接 BB′， ∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称， ∴△BAC≌△B′AC′， ∵AB=AC，∠C=70°， ∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°， ∴∠BAC=∠B′AC′=40°， ∵∠CAF=10°， ∴∠C′AF=10°， ∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°， ∴∠ABB′=∠AB′B=40°， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键． 5．如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小明完成的是的垂直平分线， 故选：B． 6．如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出垂直平分，然后根据线段平分线的性质得出，，结合周长为16可求出，然后结合即可求解． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ∴，， ∵周长为16， ∴，即， ∴， 又， ∴的周长为， 故选D． 7．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 8．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 9．如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为_____． 【答案】30 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称图形对应角相等是解题关键．根据轴对称图形的性质可知，再结合，可求出． 【详解】解：∵与关于所在直线对称，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为_______． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 11．如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 12．如图，与关于直线对称，且，．    (1)若点B到直线l的距离为4，则B，E两点间的距离为______； (2)求的度数 【答案】(1)8 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，点到直线的距离，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出点到直线的距离为4，据此得出结论； （2）根据与关于直线对称，且可知，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：与关于直线对称，点到直线的距离为4， 点到直线的距离为4， ，两点间的距离， 故答案为：8； （2）解：与关于直线对称，且，， ， ． 13．如图，是一个左右对称的风筝，图是其几何示意图，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质得，得出， ，即可推出结果． 【详解】与关于对称 ， 故选：C． 14．如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称，根据轴对称的性质，得到，由线段中点得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在的中点处， ∴，， ∴的周长为； 故选：B． 15．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 16．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，轴对称的性质，根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴垂直平分，与面积相等，直线的交点一定在上，， ∴是等腰三角形， 故选：D． 17．如图，在中，按以下步骤操作： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点； ③分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ④作射线，交直线于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，平分，得到，，得到，利用三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，平分， ，， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 18．数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段小明的作图顺序是（　　）    A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，根据尺规作图-作垂线的方法作直角三角形进行判断即可得到答案．熟练掌握做垂线的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，小明的作图顺序是⑤①③②④， 故选：A． 19．如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为_____． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，角的和差运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用轴对称的性质先证明，再求解结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵，与关于直线对称， ， ， ∵， ∴． 故答案为： 20．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，如图，再将三角形沿折叠，点落在点的位置．若，则______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，先根据，求出的度数, 进而可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得，掌握知识点的应用是解题关键. 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得:， ∴， 故答案为：. 21．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的度数为________． 【答案】/39度 【知识点】三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线，三角形内角和定理等知识．由作图可知，，即，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算_____． 【答案】/83度 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】先根据三角形内角和定理求出，由作法可知，是的平分线，得到，由作法可知，是的平分线，得到，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 23．如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 24．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画对称轴 【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； （2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵，，， ∴与，与，关于对称轴对称， 连接即可得到对称轴，如图所示，    （2）解：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴与关于对称轴对称， 连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示； 【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上． 25．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题、写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1图形的轴对称 学习目标导航 1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。 2.掌握线段垂直平分线的判定，并能熟练进行相关证明。 3.掌握逆命题的定义，并能够熟练写出一个命题的逆命题并判断它的真假。 4.掌握线段垂直平分线的画法，能够熟练的话线段垂直平分线以及根据作图痕迹判断并解决相关问题。 洞悉◆教材知识 知识点01 轴对称图形 (1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 (2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。 (3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 知识点02 线段垂直平分线的性质 (4)线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 知识点03 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题的定义： 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 2. 互逆定理的定义： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 注意：命题有真有假，定理一定时真命题；每一个命题都有逆命题，但是不一定所有的定理都有逆定理；原命题的真假与逆命题的真假没有关系；互逆的两个定理一定都是真命题 知识点04 作已知线段的垂直平分线 1. 作已知线段的垂直平分线： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 知识点05 画轴对称或轴对称图形的对称轴 1. 画对称轴： 由轴对称与轴对称图形的性质可知，对称轴是任意一组对应点连线的 垂直平分线 ，所以作对称轴即是作对应点连线的 垂直平分线 。 具体步骤： （1） 找轴对称与轴对称图形的一组对应点； （2） 连接这组对应点； 作这组对应点的垂直平分线，这条垂直平分线即为对称轴。 核心题型◆归纳 题型01 轴对称及其轴对称图形的判断 题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 题型03 利用性质求角度 题型04 利用性质求线段 题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律 题型06 利用垂直平分线的性质求线段 题型07 利用垂直平分线的性质求角 题型08 线段垂直平分线的判定 题型09 判断逆命题及其真假 题型10 命题的证明 题型11 垂直平分线的作图痕迹解决问题 题型12 其他图形的作图痕迹解决问题 题型13 造物选址作图 题型14 作轴对称（图形）的对称轴 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 轴对称及其轴对称图形的判断 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 题型03 利用性质求角度 【典例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点C与点B关于DE成轴对称，连接BE，已知∠ABE＝3∠EBD，则∠C的度数是（　　） A．30° B．20° C．18° D．16° 题型04 利用性质求线段 【典例1】△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则A′C′的长为（　　） A．5cm B．8cm C．7cm D．20cm 【变式1】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝9，AC＝4，BC＝10，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．18 题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律 【典例1】如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型06 利用垂直平分线的性质求线段 【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 【变式1】如图，直线DE是△BAC的边AB的垂直平分线，已知AC＝5cm，△ADC的周长为18cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．10cm C．12cm D．13cm 题型07 利用垂直平分线的性质求角 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．则∠CAD＝（　　） A．45° B．30° C．20° D．25° 【变式1】如图，在△ABC中，∠APC＝114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　） A．48° B．52° C．62° D．66° 题型08 线段垂直平分线的判定 【典例1】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【变式1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 题型09 判断逆命题及其真假 【典例1】下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．相等的角是内错角 【变式1】下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＝b＝0，那么ab＝0 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．3 D．4 题型10 命题的证明 【典例1】“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　 　 ，请证明这个逆命题是真命题． 已知：　 　 ； 求证：　 　 ． 【变式1】【问题提出】 如图，通过拼摆两个含30°角的全等的三角尺，发现两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而得出猜想：在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的直角边等于斜边的一半． 通过实验提出猜想后，如何通过几何推理严格证明该性质？ 【思路启迪】 从逻辑推理的角度思考：如何通过添加辅助线将含30°的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，从而将边角关系转化为已知定理？ 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：． 请在图中添加辅助线，将含30°的直角三角形转化为等边三角形或其他特殊图形，要求：用两种不同的方法（后续论证方法不同）在图中添加辅助线，并用简短、专业的数学语言描述如何添加辅助线的． 分类 方法一 方法二 画图及描述 【逻辑论证】在上述图形中，选择其中一种方法，完成证明． 【触类旁通】 以上完成了命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30”，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．反过来思考：它的逆命题是否成立呢？ （1）请补充完整它的逆命题：“在直角三角形中，如果 　 　 ，那么 　 ．” （2）请判断该逆命题是否成立，并说明你的理由． 题型11 垂直平分线的作图痕迹解决问题 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于（　　） A．7 B．8 C．9 D． 【变式1】如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 题型12 其他图形的作图痕迹解决问题 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G，若CG＝2，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】如图，在△ABC中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有（　　）①AF＝CF；②AD＝BD；③AF＝BF；④∠BAF＝∠FBC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型13 造物选址作图 【典例1】如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【变式1】如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 题型14 作轴对称（图形）的对称轴 【典例1】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝　 　 ． 【变式1】如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称． （1）直接写出△ABC的面积 　 　 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m． （3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB． 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是　　    A．≌ B．AF垂直平分EG C．直线BG，CE的交点在AF上 D．是等边三角形 4．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 5．如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 6．如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A．B．C．D． 8．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 9．如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为_____． 10．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为_______． 11．如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 12．如图，与关于直线对称，且，．    (1)若点B到直线l的距离为4，则B，E两点间的距离为______； (2)求的度数 13．如图，是一个左右对称的风筝，图是其几何示意图，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 14．如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 15．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 16．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与面积相等 D．直线的交点不一定在上 17．如图，在中，按以下步骤操作： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点； ③分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ④作射线，交直线于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段小明的作图顺序是（　　）    A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 19．如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为_____． 20．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，如图，再将三角形沿折叠，点落在点的位置．若，则______． 21．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的度数为________． 22．如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算_____． 23．如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 24．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 25．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $