25.3 实际问题与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学人教版上册25.3同步练习，通过基础巩固、能力提升、拔高拓展三层设计，以实际问题为载体，构建从单一模型到复杂情境的知识巩固路径，培养模型意识、运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一方程模型（传染/降价/面积）|选择填空为主，聚焦列方程核心技能，如矩形边长增加问题| |能力提升|综合应用（利润/几何/增长率）|解答题为主，需检验实际意义，如十字步道面积计算| |拔高拓展|复杂情境（动态几何/多变量）|含动点问题与分类讨论，如矩形中P、Q点运动面积计算|

2026—2027学年度九年级数学（人教版）上册·同步练习 第二十五章一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 一、基础巩固训练 1. 某校园出现流感疫情，1名同学初始患病，经过两轮均匀传染后，全校共有144人感染。若每轮传染中平均1人传染人，下列所列方程正确的是（） A. B. C. D. 2. 新能源配件原价每件120元，经过两次相同百分率降价后，售价为97.2元，设每次降价百分率为，可列方程为（） A. B. C. D. 3. 一块矩形展板长9cm、宽6cm，将长和宽同时增加相同长度，新矩形面积为112，下列方程正确的是（） A. B. C. D. 4. 文具店一款笔记本每本盈利18元，日均销售30本。经调研，每本降价1元，每日可多售出5本。设每本降价元，则单件利润为________元，每日销售量为________本。 5. 某科创公司两年内营收从80万元增长至115.2万元，设年均增长率为，可列方程：________________。 6. 已知两个连续偶数的乘积为168，求这两个偶数。 7. 一个正方形草坪边长增加4m后，面积增加64，求原正方形草坪的边长。 8. 某种孢子匀速繁殖，经过两轮繁殖后总数为81个，若每个孢子每轮可分裂产生个新孢子，可列方程：________________。 9. 社团交流会中，所有参会人员互相赠送1张明信片，本次活动总共送出240张明信片。设参会人数为，可列方程：________________。 10. 一款智能手环原价300元，连续两次涨价，每次涨价百分率均为8%，求两次涨价后的售价（结果保留一位小数）。 11. 用总长32m的篱笆靠墙修建矩形育苗棚，墙体最大可用长度为15m。矩形垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为14m，矩形面积为98，求的值。 12. 已知两个实数的和为22，积为105，求这两个实数。 二、能力提升训练 13. 医用检测仪每套定价1600元，经过两次相同百分率降价后，售价为900元，求每次降价的百分率。 14. 一幅矩形数字绘画长72cm、宽48cm，装裱时四周预留宽度相同的浅色边框，已知边框面积占整体（绘画+边框）总面积的，设边框宽度为，列出符合题意的方程（无需求解）。 15. 某家电门店销售空气炸锅，每台进价60元。当售价定为80元时，每周可售出120台；售价每上涨2元，每周销量减少4台。门店想要每周获利4000元，且尽量增加销量、减少库存，求空气炸锅的定价。 16. 在长36m、宽24m的矩形园区内，修建宽度相同、互相垂直的十字步道，其余区域种植花草，已知花草总面积为672，求步道的宽度。 17. 青少年足球联赛采用单循环赛制（每两支队伍只比赛一场），本次赛事总场次为55场，求参赛的队伍总数。 18. 一个直角三角形的两条直角边长相差4cm，三角形面积为30，求两条直角边的长度。 19. 某文旅项目第一季度累计接待游客186万人次，其中一月份接待50万人次，二、三月份游客月平均增长率相同，求月平均增长率。 20. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 21. 某品牌蓝牙耳机经过两次相同百分率降价后，售价为原价的64%，求每次降价的百分率。 22. 将一根长52cm的铁丝剪成两段，每段铁丝分别围成一个正方形，若两个正方形的面积之和为74，求两段铁丝的长度。 三、拔高拓展训练 23. 鲜果门店采购砂糖橘，进价为10元/千克。当售价定为16元/千克时，每日可售出70kg；售价每提高1元，日销售量减少4kg。门店计划每日获利416元，同时尽可能压低售价、吸引顾客，求砂糖橘的定价。 24. 一块矩形场地长46m、宽32m，场地内部规划花圃区域，四周及花圃间隔通道宽度统一为，布局为横向2块花圃、纵向1块花圃，已知花圃总面积为960，求通道的宽度。 25. 若一个多边形共有27条对角线，利用一元二次方程求该多边形的边数。（提示：边形对角线总条数公式：） 26. 如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点以的速度移动，点从点B开始沿边向点以的速度移动，P，两点分别从A，B同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，△PBQ的面积等于？ ②△PBQ的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒 △PBQ的面积等于？ 参考答案 1. C【详解】初始1人患病，第一轮传染后患病总人数为；第二轮每人传染人，新增患者，两轮传染后总人数为，故方程为。 2. A【详解】连续两次百分率降价模型：，代入数据得。 3. B【详解】长宽同时增加，新长为，新宽为，由矩形面积公式得：。 4. 【详解】单件利润=原单件盈利-降价金额，销售数量=原销量+降价新增销量。 5. 【详解】年均增长率复利模型，两年增长套用平方公式。 6. 【详解】设较小的连续偶数为，则较大的偶数为。 根据题意列方程： 整理得： 因式分解得： 解得：， 当时，；当时，。 答：这两个偶数为12、14或-14、-12。 7. 【详解】 设原正方形草坪的边长为。 根据题意列方程： 展开化简：，解得： 答：原正方形草坪的边长为6m。 8. 【详解】初始1个孢子，两轮繁殖符合复利增长模型。 9. 【详解】互赠礼物为双向循环问题，每人送出张。 10. 【详解】 第一次涨价后售价：（元） 第二次涨价后售价：（元） 答：两次涨价后的售价为349.9元。 11. 【详解】 由矩形面积公式得：，解得。 检验：平行墙边长14m＜最大可用墙长15m，符合实际意义。 答：的值为7。 12. 【详解】设其中一个实数为，则另一个实数为。 根据题意列方程： 整理得： 因式分解得： 解得：， 答：这两个实数为7和15。 13. 【详解】设每次降价的百分率为，依题意列方程： 化简得： 开方得： 解得：，（降价率＜1，舍去） 答：每次降价的百分率为25%。 14. 【详解】边框面积占总面积，则绘画面积占总面积。 装裱后整体长，宽，列方程： 15. 【详解】设售价上涨元，则单件利润为元，每周销量为台。 依总利润公式列方程： 整理得：，即 解得： 为保证销量最大，取最小涨幅，定价：（元） 答：空气炸锅定价为90元。 16. 【详解】设步道宽度为，平移步道后，花草区域为长、宽的矩形。 列方程： 整理得： 解得：，（超出场地尺寸，舍去） 答：步道宽度约为3.54m。 17. 【详解】设参赛队伍有支，单循环总场次公式：。 列方程： 整理得： 解得：，（队伍数为正，舍去） 答：参赛队伍共11支。 18. 【详解】设较短直角边长为，则较长直角边长为。 由三角形面积公式列方程： 整理得： 解得：，（边长为正，舍去） 较长直角边： 答：两条直角边长分别为6cm和10cm。 19. 【详解】设月平均增长率为，则二月接待万人次，三月接待万人次。 一季度总人次列方程： 整理得： 解得：，（增长率为正，舍去） 答：月平均增长率为20%。 20. A 解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 21. 【详解】设每次降价百分率为，原价记为1。 列方程： 开方得： 解得：，（舍去） 答：每次降价的百分率为20%。 22. 【详解】设一段铁丝长，另一段长，对应正方形边长为、。 列方程： 整理得： 解得：， 答：两段铁丝长度为16cm和36cm。 23. 【详解】设售价提高元，单件利润元，日销量。 列方程： 整理得： 解得：， 为吸引顾客，选择最低定价，取。 定价：（元/千克） 答：售价定为18元/千克。 24. 【详解】 由花圃布局得：有效种植长，有效种植宽。 列方程： 整理得： 解得：，（超出场地尺寸，舍去） 答：通道宽度约为5.58m。 25. 【详解】 设多边形边数为，由对角线公式列方程： 整理得： 解得：，（边数为正，舍去） 答：该多边形为九边形。 26. 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于； ②设运动时间为x秒，△PBQ的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴△PBQ的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，△PBQ的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $