25.3 第1课时 几何图形问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

25.3 实际问题 第1课时 知识要点扫描 -=0 1.建立一元二次方程的模型解应用题的 一般步骤 与列一元一次方程解应用题一样，列一元 二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、 设、列、解、验、答 审一审题，明确已知量和未知量，找出 它们之间的关系 设一设未知数 列一根据题目中的等量关系，列出 方程. 解 解方程，求出未知数的值. 验—检验方程的解能否保证实际问题 有意义. 答一写出答案. 2.面积问题 (1)列方程解答面积问题：此类问题是一 元二次方程应用题的常见题型，解决这类问题 的关键是将不规则图形分割或补全成规则图 形，找出各部分面积之间的关系，运用面积计 算公式列出方程 (2)对图形进行分割或补全的原则：转化 成为规则图形时越简单、直观越好 经典例题剖析 【例】小明家准备用灰色和白 色两种瓷砖铺设边长为6m的正 方形客厅.如右图，灰色瓷砖铺设 四个角的边长相同的小正方形及宽度相等的 回字形边框（阴影部分）：白色瓷砖铺设四个全 等的矩形及客厅中心的正方形（空白部分）.设 四个角上的小正方形的边长为xm. (1)当x=0.8,客厅中心的正方形瓷砖铺设 的面积为16m时，求回字形边框的宽度. 与一元二次方程 何图形问题 (2)若客厅中心的正方形边长为4m,白色 瓷砖铺设的面积为26m2,求x的值， 【点拨】(1)根据题意可知，客厅中心的正方 形边长为4m,再结合图形即可求得回字形边框 的宽度；(2)根据白色瓷砖铺设的面积由四个全 等的矩形及客厅中心的正方形组成，可得出关 于x的方程，解方程后进行讨论即可解答。 【解】(1)由题意，得客厅中心的正方形边 长为4m.结合题图，得回字形边框的宽度为 2×(6-4-0.8×2)=0.2(m). (2)由题意，得4x(6-2x)+4=26,解得 x1=3,分当x=时号×2+4=9>6 5 5 1 不符合题意，舍去：当x=2时，2×2+4=5< 6,符合题意，x的值为2 已基础对点训练 知识点几何图形问题 1.矩形的周长为24cm,其中一边长为xcm,面 积为32cm,则列出关于x的方程为() A.32=x2 B.32=(12-x)2 C.32=x(12-x) D.32=2(12-x) 2.(2025一2026新余期中)如图， 在长为100m、宽为80m的矩 形场地上修建两条宽度相等且 第2题图 互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.要使绿 化面积为7644m,则道路的宽应为多少米？ 设道路的宽为xm,则可列方程为 () A.100×80-100x-80x=7644 B.(100-x)(80-x)+x2=7644 C.(100-x)(80-x)=7644 D.100x+80x=356 上册第二十五章 3.如图，把一块长为50cm、宽为40cm的矩形 硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然 后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘 好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒 的底面积为800cm2,设剪去小正方形的边 长为xcm,则可列方程为 A.(50-2x)(40-x)=800 B.(50-x)(40-x)=800 C.(50-x)(40-2x)=800 D.(50-2.x)(40-2.x)=800 第3题图 变式题长方体盒子无盖→有盖 如图所示的是一张长 底面 12cm、宽10cm的矩形铁 I2 cm 皮，将其剪去两个全等的正 一0cm+ 方形和两个全等的长方形， 变式题图 剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正 方形的边长为 cm 4.数形结合思想如图所示的是由三个边长分 别为6,9，x的正方形所组成的图形.若线段 AB将它分成面积相等的两部分，则x的值 是 () A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6 第4题图 第7题图 5.(教材变式)已知一直角三角形的面积为 10,两直角边的和为9，则斜边长为 6.将一根长为56cm的铁丝剪成两段，并把每 一段铁丝做成一个正方形.若这两个正方形 的面积之和等于100cm2,则较小的一个正 方形的边长为 cm. 12 九年级数学RJ版 7.如图，矩形ABCD是由三个小矩形拼接而成 的.若AB=8,阴影部分的面积是24，另外两 个小矩形全等，则小矩形的长为 8.如下图，某校准备将校园内的一块正方形空 地进行改造.先在正方形空地一边修一条 4m宽的小路，再在另一边修一条5m宽的 小路，剩余部分用于栽种鲜花，面积为 240m2.求原正方形空地的边长. )m 4m1 9.如下图，某校有一块长20m、宽14m的矩形 种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四 周和内部修建宽度相同的小路（阴影部分）， 小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩 形地块.请你求出小路的宽度， -20m 14m∴.(x-k)2-1=0, .(x-k-1)(x-k+1)=0, x1=k+1,x2=k-1. 当k+1=5时，k=4; 当k一1=5时，k=6. 综上所述，k的值为4或6. (2)证明：△=（一2k)2-4(k2一1）=4>0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. 12.解：(1)一二 (2)正确的解法：3x(x一6)=(x一6)2， 移项，得3x(x一6)-(x一6)2=0， 提取公因式，得(x一6)(3x一x+6)=0, 则x-6=0或3.x-x十6=0， 解得x1=6,x2=一3. 25.2.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.A2.C3.5变式题5 4.解：(1)方程4.x一x2=2化简成一般形式得x2-4x+2 =0. x1,x2是方程4x一x2=2的两根， .根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1十x2= 一4 2 -1=4x1x:=1=2. (2)'x1十x2=4,x1x2=2, 4+=+x=x十)-2x4=4-2X2 2 =6. 5.B【解析】，关于x的方程2x2+x-2m+1=0有一 正实数根和一负实数根， x1,=-2m+1<0,且4=1-4X2(-2m+1D> 2 1 0,解得m>2· 6.A【解析】由题意，得m十n=一(2b十3)，mn=b2. :1+1=-1m+=-1,-(26+3》=-1, m n’· mn 即b2-2b-3=0,解得b1=3,b2=-1.当b=3时，原 方程为x2十9x十9=0，此时△>0，方程有两个实数 根，符合题意；当b=一1时，原方程为x2十x十1=0， 此时△<0，方程没有实数根，不符合题意，舍去.综上 所述，b的值是3. 7.-1【解析】由题意，得a十B=一2(m-1),a3=m -m. a2+B2=(a+B)2-2a3=12, ∴.[-2(m-1)]2-2(m2-m)=12, 解得m1=一1，m2=4. 当m=-1时，△=(-4)2-8=8>0，符合题意； 当m=4时，△=62-4×12=-12<0，不符合题意. 综上所述，m的值为一1. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.C3.D变式题2 4.D【解析】如图，将边长为6和x的 两个正方形分别补成长为9、宽为6 和长为9、宽为x的矩形. 16 “·线段AB将原图形分成面积相等的两部分， 六2(6+9+x)·9-x(9-x)=2(6+9+x)·9-6 X(9一6)，解得x1=3,x2=6. 5./41 6.6【解析】设其中一个正方形的边长为xcm. 由题意，得r+(5)=10。 解得x1=6,x2=8. 故较小的一个正方形的边长为6cm. 7.6【解析】设小矩形的长为x,则小矩形的宽为8一x. 根据题意，得x[x一(8一x)]=24, 解得x1=6,x2=一2（不合题意，舍去）， .小矩形的长为6. 8.解：设原正方形空地的边长为xm 根据题意，得x2一4x-5.x十4×5=240. 整理，得x2-9x-220=0, 解得x1=一11（不合题意，舍去），x2=20. 故原正方形空地的边长为20m. 9.解：设小路的宽度为xm. 根据题意可知，每个地块的长为20,4虹， 3一m,宽为 二m,面积为24m,则可列方程为204虹× 14-4.x 3 3 14-4x=24, 3 化简，得(20-4x)(14一4x)=216, 展开并整理，得2x2-17x十8=0， 1 解得工1=2x,=8. 经检验，江二。符合实际意义 故小路的宽度为2m. 第2课时传播与平均变化率问题 1.D2.1+x+x(1+x)=225 3.解：依题意，得1十x十x2=133, 整理，得x2十x一132=0， 解得x1=11,x2=-12(不合题意，舍去). 4.解：由题意得n+n2+1=421,解得n1=-21(舍去)， n2=20. 故n的值是20. 5.D6.C7.30% 上册详解详析 3