2.3绝对值和相反数（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“绝对值与相反数”核心知识点，从生活情境（小明家、小丽家与学校的距离）抽象出绝对值概念，通过数轴直观呈现数与原点的距离，进而衔接相反数的定义（只有符号不同的两个数），构建“绝对值—相反数—多重符号化简—性质应用”的学习支架，系统梳理绝对值非负性、比较大小及结合数轴求最值等知识脉络。 资料以“数学眼光”引导学生从距离情境抽象绝对值本质，借助数轴培养几何直观，如用数轴表示-3和2的位置理解绝对值意义。通过精选例题（如已知绝对值求数、多重符号化简）和变式练习，发展“数学思维”中的推理意识与运算能力，例如通过|-3.5|与|-2.85|比较-3.5和-2.85的大小。利用数轴距离模型解决最值问题（如|x-2|+|x+3|最小值），强化“数学语言”的应用意识。课中辅助教师分层教学，课后通过巩固练习及答案帮助学生查漏补缺，提升知识掌握度。

第二章 有理数 2.3 绝对值与相反数 知识点1 绝对值的概念 绝对值是七年级一个非常重要的内容，在课本上是大致这样描述的：小明家在学校正西方 3km 处，小丽家在学校正东方 2km 处。用数轴上的点分别表示学校、小明家、小丽家的位置。 以学校位置为原点 O，以正东方向为正方向，1 个单位长度表示 1km，画出数轴，点 A、B 分别表示小明家、小丽家的位置。点 A 与原点的距离是 3 个单位长度，点 B 与原点的距离是 2 个单位长度，我们可以画出如下的数轴： 在数轴上不难看出点 A 表示的数为 -3，它与原点的距离为 3；点 B 表示的数为 2，它与原点的距离为 2。所以我们把数轴上表示数的一个点到原点的距离叫作这个数的绝对值。 数 a 的绝对值记作 |a|，读作 a 的绝对值，理解为表示 a 这个数的点与原点的距离。以上图举例，数轴上表示 -3 的点与原点的距离是 3，因此 -3 的绝对值是 3，即 |-3| = 3；同理表示 2 的点与原点的距离是 2，因此 2 的绝对值是 2，即 |2| = 2。 根据生活中距离的实际意义，距离一定都大于等于 0，即任意一个数的绝对值都是非负数。 【精选例题 1-1】 求 6 和 -3.2 的绝对值。 【解析】根据定义，数轴上表示 6 的点与原点距离为 6，所以 |6| = 6；数轴上表示 -3.2 的点与原点距离为 3.2，所以 |-3.2| = 3.2。 【精选例题 1-2】 已知一个数的绝对值是 4，求这个数。 【解析】在数轴上找到与原点距离为 4 的点有两个，分别表示 4 和 -4，所以这个数是 4 和 -4。 【变式练习 1-1】 在数轴上表示 -1、3、2、-3 这四个数，并写出这些数的绝对值。 知识点2 相反数的概念 像 5 与 -5，2.5 与 -2.5，⅔ 与 -⅔ 这样，只有符号不同的两个数称为互为相反数。我们可以将其表示为 a 和 -a。 我们将互为相反数的两个点标在数轴上，不难发现两个点到原点的距离相等，因此可以得到结论，互为相反数的两个数绝对值相等。即 |a| = |-a|。 0 的绝对值是 0。0 的相反数也是 0。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 【精选例题 2-1】 写出 4、-2、-3.5、0 的相反数。 【解析】4 的相反数是 -4，-2 的相反数是 2，-3.5 的相反数是 3.5，0 的相反数是 0。 题型 多重符号的化简 我们在 2.1 正数和负数章节学习了负数的表示方法，一般地，在一个正数前面加上负号即可表示负数，同理在负数前面加上负号即可表示正数，例如在 -5 前面加上“-”号，即可以表示为 -(-5) = 5，我们把它称之为多重符号的化简。也就是说一个数的相反数的相反数就是这个数的本身。 多重符号的化简原则：只需要看负号的个数，当负号个数为奇数时，整个数即为负；负号个数为偶数时，整个数即为正。所以我们在 2.1 节讲到并不是带负号的数就一定是负数，就是这个原因。 【精选例题 2-2】 -(-1) 的相反数是_______ -(+1) 的相反数是_______ 【解析】-(-1) 化简之后为 1，所以 1 的相反数是 -1；-(+1) 化简后是 -1，所以 -1 的相反数就是 1。 【精选例题 2-3】 化简 -(-2)，+(-2)，-(+2)，+(+2) 【解析】根据所带负号的个数即可化简，-(-2) = 2，+(-2) = -2，-(+2) = -2，+(+2) = 2。 【变式练习 2-1】 下列各数 -(-4)，-2.5，0，-7，π 中比 3.15 大的数是__________。 【变式练习 2-2】 若 -a 不是负数，那么 a 一定是（ ） A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 知识点3 绝对值的性质 当 a 小于 0 时，|a| = -a；当 a 大于 0 时，|a| = a；当 a = 0 时，|a| = 0。 因此，正数的绝对值就是其本身；负数的绝对值是它的相反数。 当 a 小于 0 时，|a| = -a，这一描述初学者可能会有一定误区，把 -a 当作是负数，我们之前了解绝对值表示点到原点的距离，应该是非负数，为什么这边是 -a。原因就在于 a 是负数，所以 -a 就是正数，与绝对值非负并不冲突。 题型 根据绝对值比较数的大小 在数轴上，越往右数越大，越往左越小。那么能否根据绝对值比较两个数的大小呢？ 例：有两个负数 -3 和 -4，我们知道 |-3| = 3，|-4| = 4，|-3| < |-4|，但是 -3 > -4，因此得到这样一个结论，两个负数绝对值大的反而小，原因是绝对值大的这个数距离原点更远，也就是更往左，更小。 同理，数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，绝对值越大越靠右，所以两个正数绝对值大的那个数就大。 我们可以这样去表示：当 a < 0, b < 0 时，若 |a| > |b|，则 a < b。当 a > 0, b > 0 时，若 |a| > |b|，则 a > b。 【精选例题 3-1】 比较下列各组数的大小： -3.5 与 -2.85 -⅔ 与 -¾ 【解析】因为 |-3.5| = 3.5，|-2.85| = 2.85，3.5 > 2.85，所以 -3.5 < -2.85。 因为 |-⅔| = ⅔，|-¾| = ¾，⅔ < ¾，所以 -⅔ > -¾。 【变式练习 3-1】 若一个数 a 小于 4，那么 |a| 也一定小于 4 吗？若不是请说明理由。 【变式练习 3-2】 已知 |x| = 3，|y| = 5，x > y，则 x + y 的值为______。 【总结】绝对值等于本身的数为 0 和正数，即非负数。相反数等于本身的数只有 0。 题型 绝对值的非负性 目前我们了解到绝对值具有非负性，一个数的平方也具有非负性，因此当绝对值和平方项相加后得到的式子也一定是非负的。 【精选例题 4-1】 已知 (a+3)² + |b-3| = 0。求 a+b 的相反数。 【解析】因为 (a+3)² ≥ 0，|b-3| ≥ 0，(a+3)² + |b-3| = 0，两个非负数相加等于 0，只有一种情况满足条件，即这两个非负数均为 0，所以 (a+3)² = 0，|b-3| = 0，a = -3，b = 3，所以 a+b = 0，0 的相反数仍为 0。 【变式练习 4-1】 若 |1-a| 和 |b+3| 互为相反数，求 a+b 的值。 题型★ 绝对值结合数轴求最值 解题思路：根据绝对值的概念我们知道，绝对值表示数 x 对应的点到原点的距离，记作 |x|，本质上它可以写作 |x-0|，数轴上表示 a 和 b 的两个点之间的距离可以如何表示呢？ 我们根据绝对值概念进行类比记作 |a-b|。 例如在数轴上表示 4 和 -3 的两个点之间的距离，即可记作 |4-(-3)| = |-3-4| = 7，我们看下面的例题。 【精选例题 5-1】 观察下列数轴，回答问题： （1）数轴上表示 -2 和 1 的两点之间距离是______，表示 -3 和 3 两点之间的距离是_________ （2）假设数轴上有一点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为 2，则 A、B 两点间的距离可以表示为________（用含有 x 的代数式表示） （3）直接写出 |x-2| + |x+3| 的最小值为________ 【解析】（1）根据距离公式和绝对值，-2 和 1 的两点之间距离是 |-2-1| = 3，-3 和 3 两点之间的距离是 |-3-3| = 6。 （2）|x-2| （3）要求式子的最小值我们可以根据绝对值意义进行解决，|x-2| 可以看作表示 x 的点与 2 的距离，|x+3| 写成 |x-(-3)| 可以看作表示 x 的点与 -3 的距离，我们在数轴上进行分析，此式子的值代表表示 x 的点到 2 和 -3 的距离的和，所以当 x 在 -3 和 2 之间时距离最小，最小值就为 2 和 -3 的距离为 5。 【变式练习 5-1】 对任意有理数 x，求下列式子的值： （1）|x-1| + |x+1| 的最小值为________ （2）|x-1| + |x-2| + |x-3| 的最小值为________ （3）|x+1| + |x+2| + |x+3| + |x+4| + ...... + |x+10| 的最小值为________ 【变式练习 5-2】 当 |x-6| + |x+4| = 20 时，求 x 的值。 巩固练习 1. |-8| = ____，|5.7| = ____，|0| = ____ 2. 绝对值等于 6 的数是____；绝对值最小的数是____。 3. 下列说法正确的是（ ） A. 绝对值等于它本身的数是正数 B. 绝对值等于它相反数的数是负数 C. 绝对值相等的两个数一定相等 D. 0 的绝对值是 0 4. 若 |x| = 5，则 x = ____；若 |x| = -2，则 x ____。 5. 在数轴上，表示 -7 的点到原点的距离是____，表示 3.5 的点到原点的距离是____。 6. 数轴上到原点距离为 4 的点表示的数是____。 7. 写出下列各数的绝对值：-9，4.2，0，100。 8. 比较大小：|-3|____|-5|；|-2.7|____2.7 9. 写出下列各数的相反数：6，-2.5，0，-(-3)，+(-4)。 10. 化简： （1）-(-7)；（2）+(-5)；（3）-[-(-2)]；（4）-{-[+(-1)]} 11. 若 a = -(-3)，b = -(+2)，c = +(-1)，则 a、b、c 的大小关系是____。 12. 下列说法错误的是（ ） A. 相反数等于本身的数只有 0 B. 正数的相反数是负数 C. 负数的相反数是正数 D. 互为相反数的两个数一定不相等 13. 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b = ____。 14. 数轴上有两点 A、B，其中 A 表示 3，且 A 与 B 关于原点对称，则 B 表示____，A 与 B 的距离是____。 15. 若 |a| = -a，则 a 的取值范围是____。 16. 若 |a| = a，则 a 的取值范围是____。 17. 已知 |2x-1| = 5，求 x 的值。 18. 若 |m-3| = 4，则 m = ____。 19. 已知 |x+2| + |y-5| = 0，求 xy 的值。 20. 下列说法：①|a| 一定是正数；②若 |a|=|b|，则 a=b；③若 |a|>|b|，则 a>b；④|a|=-a，则 a ≤ 0。其中正确的有____个。 21. 数轴上点 A 表示 -2，点 B 表示 5。（1）A、B 两点间的距离为____。（2）若点 C 满足 |CA| = 3，则 C 点表示的数是____。 22. 求 |x - 1| + |x + 3| 的最小值，并指出此时 x 的取值范围。 23. 求 |x| + |x - 2| + |x - 4| 的最小值。 24. 若 |x + 1| + |x - 5| = 8，求 x 的值。 25. 已知 |2x-4| 与 |y+3| 互为相反数，求 x+y 的相反数。 参 考 答 案 【变式练习答案】 【变式练习 1-1】|-1|=1，|3|=3，|2|=2，|-3|=3 【变式练习 2-1】-(-4)=4，4 大于 3.15 【变式练习 2-2】不是负数即非负数，非负数就是 0 和正数。-a 是 0 和正数，所以 a 是 0 或负数，即非正数，选 C 【变式练习 3-1】|a| < 4 只能说明 a 到原点的距离比 4 小，满足条件的 a 值范围是 -4 < a < 4，和已知条件不相符，不妨举反例 a=-5 即可。 【变式练习 3-2】-2 或 -8 【变式练习 4-1】因为 |1-a| 和 |b+3| 互为相反数，由相反数的性质可得两数相加为 0，即 |1-a| + |b+3| = 0，根据绝对值的非负性，可得 1-a=0，b+3=0，所以 a=1，b=-3，所以 a+b=-2 【变式练习 5-1】（1）2 （2）2 （3）25 【变式练习 5-2】11 或 -9 【巩固练习答案】 1. 8；5.7；0 2. 6 和 -6；0 3. D。A 错（正数和 0），B 错（非正数），C 错（可能互为相反数），D 正确 4. 5 或 -5；不存在（无解） 5. 7；3.5 6. 4 和 -4 7. 9，4.2，0，100 8. <；= 9. -6；2.5；0；-3；4 10. (1) 7；(2) -5；(3) -2（奇数个负号）；(4) -1（奇数个负号） 11. a=-(-3)=3，b=-(+2)=-2，c=+(-1)=-1。3 > -1 > -2，即 a > c > b 12. D。反例：0 的相反数是 0，两者相等。其余均正确。 13. 0。互为相反数即 a = -b，代入得 a + b = 0 14. B 表示 -3；距离为 6 15. a ≤ 0。当 a=0 时 |0|=-0=0 也成立，注意不要漏掉 a=0。 16. a ≥ 0（非负数） 17. 2x-1 = 5 → x = 3；或 2x-1 = -5 → x = -2。答案：3 或 -2 18. m-3 = 4 → m = 7；或 m-3 = -4 → m = -1。答案：7 或 -1 19. |x+2| + |y-5| = 0 → x+2=0 且 y-5=0 → x=-2, y=5 → xy = -10 20. 1 个。①错（|0|=0 不是正数）；②错（如 |3|=|-3| 但 3 ≠ -3）；③错（如 |-5|>|3| 但 -5<3）；④正确（a ≤ 0 时 |a|=-a）。 21. (1) |-2-5| = 7；(2) C 到 A 距离=3 → C = -2+3 = 1 或 -2-3 = -5。答案：1 或 -5 22. 表示 x 到 1 与 x 到 -3 的距离之和。当 -3 ≤ x ≤ 1 时最小，最小值为 1-(-3)=4。 23. 三点 1、2、4 的位置，取中位数 x=2，|2|+|2-2|+|2-4| = 2+0+2 = 4。答案：4 24. -1 与 5 的距离为 6，方程要求距离和为 8（>6），故 x 在区间外。当 x<-1：-x-1+5-x=4-2x=8 → x=-2；当 x>5：x+1+x-5=2x-4=8 → x=6。答案：-2 或 6 25.两非负数互为相反数→每项为 0。2x-4=0 → x=2；y+3=0 → y=-3。x+y=-1，-1 的相反数是 1。答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $