2.4 有理数的加法与减法（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数的加法与减法，系统梳理加法法则（同号、异号、加0）、运算定律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算，构建从基础法则到简算技巧再到实际应用的递进学习支架。 资料亮点在于数形结合（数轴理解加减几何含义）与分层训练（随学随练到素养提升），通过数轴动点问题培养几何直观（数学眼光），简算中运算律应用提升运算能力（数学思维），生活实例列式强化模型意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第二章 有理数 2.4 有理数的加法与减法 1.借助数轴理解加减几何含义，掌握加法符号判定法则。 2.牢记减法法则 a-b=a+(-b)，把混合运算统一为加法。 3.会用加法交换律、结合律凑整简便运算。 4.结合数轴动点、实际问题列式计算。 课标要点 1.加法：同号、异号、加 0 三条法则，两大运算律。 2.减法：减变加，减数取反；混合式统一连加。 3.简便技巧：凑相反数、凑整分组计算。 学习重难点 重点： 1.有理数加法定符号、算绝对值。 2.减法转化变形，化简混合算式。 3.利用运算律简算多步加减。 4.数轴动点列式计算。 难点： 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 2.多重负号化简易出错。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 4.数轴数形结合列式解题。 知识点 有理数的加法法则（重点） 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 2.多重负号化简易出错。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 2.多重负号化简易出错。 2.多重负号化简易出错。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 4.数轴数形结合列式解题。 4.数轴数形结合列式解题。 4.数轴数形结合列式解题。 知识点 有理数的加法运算定律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 特别提醒 1)加法分类法则:同号相加取同号，绝对值相加;异号相加取绝对值大数符号，大数减小数;互为相反数相加得 0;任意数加 0仍得原数。 2)交换律:a+b=b+ a;结合律:(a+b)+c=a+(b+ c)。 3)运算核心思路:先定符号，再算绝对值。 易错提醒 1.误区:异号相加直接两数绝对值相加。纠正:用大绝对值减小绝对值。 2.误区:移动数字不连带前面符号。纠正:交换位置必须携带数字前正负号。 3.误区:分组凑 0、凑整时漏写括号，改变运算顺序。纠正:结合分组必须加括号。 教材延伸 简便运算拓展：相反数凑 0、整数凑整、同分母合并分组简算。 数形拓展：利用数轴左右平移直观验证加法结果。 综合拓展：结合相反数、绝对值完成多步混合加减运算。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 知识点 有理数的减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 随学随练 1．（专题02有理数的减法（计算题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册）计算： (1)； (2)； 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点 有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 随学随练 1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 拓展 加减混合简算（运算律难点） 通用解题方法 1.统一成加法，去掉括号； 2.分组归类：相反数凑 0、同号凑整； 3.分组分别计算，最后合并结果。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·内蒙古·阶段检测）计算： (1) (2)； (3)； (4)． 拓展多重符号减法变形 通用解题方法 1.减法变加法：减去一个数 = 加它的相反数； 2.仅改变减数符号，被减数保持不变； 3.同号合并依次计算。 活学活用 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 拓展 数轴动点综合题 通用解题方法 1.平移规则:右加左减，列加减混合算式; 2.算出终点数值; 3.数轴两点距离公式:|起点数 -终点数| 1．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为__________． 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，……. (1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次； (2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s； (3)第n次移动后，点Q运动时间为______s. (4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 题型 有理数加法运算 ▌例1 （25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． ▌对点练1-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ▌对点练1-2．（23-24七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． ▌对点练1-3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数加法在生活中的应用 解题贴士 1.非负性定义:任意有理数的绝对值恒大于或等于 0，即a > 0. 2.零和模型(必考难点):若若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部的代数式都等于 0. 公式:若， ▌例2（23-24七年级上·河南洛阳·期中）网约车成为人们出行的选择之一．今年双节期间，网约汽车司机小杨某天上午在东西走向的杜康大道上从人大门口开始接送网约乘客，若规定向东为正，向西为负，且他这天上午所接10位乘客的行车里程如下（单位：千米），，，，，，，，，，通过计算回答下列问题 (1)将最后一位乘客送到目地时，小杨在什么位置？ (2)若汽车耗油量为0.15升/千米，这天上午小杨接送乘客，汽车共耗油多少升？ ▌对点练2-1（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）一只蚂蚁从某点P出发，在一条直线上来回爬行，记向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的路程依次为（单位：厘米）：． (1)通过计算说明蚂蚁最后所在位置． (2)若蚂蚁爬行的速度为1厘米/秒，则蚂蚁共爬行了多少时间？ ▌对点练2-2（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图为武汉市地铁2号线行程表的一部分，国庆节期间，学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录如下：．当小波从A站出站时，结束本次志愿服务活动． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？ 题型 有理数加法运算律 ▌例3（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1) ； (2)． (3)； (4)． ▌对点练3-1（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）利用运算律计算 (1) ； (2)； (3)； (4) ▌对点练3-2（26-27七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：． ▌对点练3-3（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）计算： (1) (2) 题型 有理数的减法运算 ▌例4（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． ▌对点练4-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． ▌对点练4-2（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). ▌对点练4-3（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 题型 有理数减法的实际应用 ▌例52026·贵州安顺·二模）我市某天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（2026·河北邢台·模拟预测）如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26七年级上·广东广州·期中）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（25-26七年级上·广东珠海·期中）2025年10月14日上午10点，珠海市的气温是，黑龙江省漠河市的气温是，则珠海比漠河气温高______． 题型 ·有理数的加减混合运算 ▌例6（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) ▌对点练6-2（25-26七年级上·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) ▌对点练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型 ·有理数加减中的简便运算 ▌例7（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) ▌对点练7-1（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： (1) ； (2)； (3)； (4)． ▌对点练7-2（25-26七年级上·吉林辽源·期中）计算： (1)； (2)． ▌对点练7-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数加减混合运算的应用 ▌例8（21-22七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ ▌对点练8-1（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． ▌对点练8-2（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． ▌对点练8-3（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 题型 省略加法和括号的形式 ▌例9（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把算式改写成省略括号和加号的形式：______． ▌对点练9-1（25-26七年级上·浙江温州·期中）不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． ▌对点练9-2（25-26七年级上·山东临沂·期中）把写成省略括号和加号的形式为_____． ▌对点练9-3（25-26七年级上·山西忻州·期中）将算式写成省略括号和加号的形式是____________． 基础通关 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林长春·模拟预测）某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南楚雄·一模）我国有世界上海拔最高及唯一一座位于海平面以下的植物园，已知香格里拉高山植物园是世界上海拔最高的植物园，其最高海拔为3600米，而吐鲁番沙漠植物园的平均海拔约为米，则香格里拉高山植物园的最高海拔与吐鲁番沙漠植物园的平均海拔之差为（    ） A．90米 B．3510米 C．3600米 D．3690米 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·天津和平·期中）已知表示不大于的最大的整数，如，，，则的计算结果是（   ）． A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？ (2)本次练习中守门员共跑了多少米？ 素养提升 1．（2022八年级·香港·竞赛）决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D． 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）将正六边形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，，+3，，．当正六边形结束滚动时，点F表示的数是（   ） A． B． C． D． 迁移创新 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 3．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读以下材料，并回答问题． (1)如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5．（本题中，数轴上1个单位长度代表．） 由此可得，a的值为_______． (2)借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是110岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 3．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）数轴上两个不同的点分别表示有理数两点在数轴上的位置如图所示，且两点之间的距离为3． (1)求的值； (2)若点在数轴上，点到点的距离为4，求点到点的距离； (3)点从点出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个单位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，像这样交替改变移动的方向，且每改变一次方向，就比前一次多移动1个单位长度．依次操作2026次后，求点表示的数． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数 2.4 有理数的加法与减法 1.借助数轴理解加减几何含义，掌握加法符号判定法则。 2.牢记减法法则 a-b=a+(-b)，把混合运算统一为加法。 3.会用加法交换律、结合律凑整简便运算。 4.结合数轴动点、实际问题列式计算。 课标要点 1.加法：同号、异号、加 0 三条法则，两大运算律。 2.减法：减变加，减数取反；混合式统一连加。 3.简便技巧：凑相反数、凑整分组计算。 学习重难点 重点： 1.有理数加法定符号、算绝对值。 2.减法转化变形，化简混合算式。 3.利用运算律简算多步加减。 4.数轴动点列式计算。 难点： 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 2.多重负号化简易出错。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 4.数轴数形结合列式解题。 知识点 有理数的加法法则（重点） 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 1.异号相加：大数减小数，符号随绝对值大的数。 2.多重负号化简易出错。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 2.多重负号化简易出错。 2.多重负号化简易出错。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 3.小数、带分数拆分时符号处理。 4.数轴数形结合列式解题。 4.数轴数形结合列式解题。 4.数轴数形结合列式解题。 知识点 有理数的加法运算定律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 特别提醒 1)加法分类法则:同号相加取同号，绝对值相加;异号相加取绝对值大数符号，大数减小数;互为相反数相加得 0;任意数加 0仍得原数。 2)交换律:a+b=b+ a;结合律:(a+b)+c=a+(b+ c)。 3)运算核心思路:先定符号，再算绝对值。 易错提醒 1.误区:异号相加直接两数绝对值相加。纠正:用大绝对值减小绝对值。 2.误区:移动数字不连带前面符号。纠正:交换位置必须携带数字前正负号。 3.误区:分组凑 0、凑整时漏写括号，改变运算顺序。纠正:结合分组必须加括号。 教材延伸 简便运算拓展：相反数凑 0、整数凑整、同分母合并分组简算。 数形拓展：利用数轴左右平移直观验证加法结果。 综合拓展：结合相反数、绝对值完成多步混合加减运算。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点 有理数的减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 随学随练 1．（专题02有理数的减法（计算题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则，逐一进行计算即可，熟练掌握有理数的减法法则，是解题关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用有理数的减法法则进行计算即可. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，掌握减法法则是解题的关键. 知识点 有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 随学随练 1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4)5 (5) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的减法运算法则求解即可； （3）根据有理数的减法运算法则求解即可； （4）根据有理数的加法运算法则求解即可； （5）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 拓展 加减混合简算（运算律难点） 通用解题方法 1.统一成加法，去掉括号； 2.分组归类：相反数凑 0、同号凑整； 3.分组分别计算，最后合并结果。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·内蒙古·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算过程中可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把能凑成整数的两个数结合起来，进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 拓展多重符号减法变形 通用解题方法 1.减法变加法：减去一个数 = 加它的相反数； 2.仅改变减数符号，被减数保持不变； 3.同号合并依次计算。 活学活用 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则，“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行计算即可； （2）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则，进行计算即可 （4）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （5）根据有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 3．（1.4有理数的加减（3知识点 4题型 巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024））计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（）去括号，再利用加法运算律进行计算即可求解； （）去括号，再利用加法运算律进行计算即可求解； （）去括号，再利用加法运算律进行计算即可求解； （）去括号，再根据有理数加减运算法则计算即可求解； （）去括号，再根据有理数加减运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ； （5）解：解：原式 ． 拓展 数轴动点综合题 通用解题方法 1.平移规则:右加左减，列加减混合算式; 2.算出终点数值; 3.数轴两点距离公式:|起点数 -终点数| 1．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数． 动点Q的移动步骤依次进行，每次移动的长度为n单位，方向为奇数次向右、偶数次向左，每次移动所需时间为秒，计算前4次移动的累计时间恰好为5秒，因此5秒时Q点刚好完成前4次移动，根据移动序列计算最终位置即可． 【详解】解：第1次移动：向右移动1单位，位置变为 ； 第2次移动：向左移动2单位，位置变为 ； 第3次移动：向右移动3单位，位置变为 ； 第4次移动：向左移动4单位，位置变为 。 累计时间：秒，恰好完成4次移动， 故5秒后动点Q表示的数为， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，……. (1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次； (2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s； (3)第n次移动后，点Q运动时间为______s. (4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 【答案】(1)4 (2)4，7 (3) (4)能，47.5秒或52.5秒 【分析】（1）根据路程=速度时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解; （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度时间求出路程，进而求得时间; （3）根据（1）（2）的规律，根据左减右加列式计算即可求解； （4）分点在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程速度计算即可得解． 【详解】（1）解：, 点走过的路程是：, 所以共移动4次 故答案为：4． （2）解：处于： ； 点走过的路程是 , (秒) 故答案为：4，7． （3）解：第次移动后，点运动时间为 （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得 则第一次与A重合需要时间是：         ②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得      则第一次与A重合需要时间是： 综上，第一次与A重合需要时间47.5s或52.5s． 【点睛】本题主要考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键.分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键. 题型 有理数加法运算 ▌例1 （25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． ▌对点练1-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． ▌对点练1-2．（23-24七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练1-3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，灵活运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （2）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （3）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （4）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型 有理数加法在生活中的应用 解题贴士 1.非负性定义:任意有理数的绝对值恒大于或等于 0，即a > 0. 2.零和模型(必考难点):若若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部的代数式都等于 0. 公式:若， ▌例2（23-24七年级上·河南洛阳·期中）网约车成为人们出行的选择之一．今年双节期间，网约汽车司机小杨某天上午在东西走向的杜康大道上从人大门口开始接送网约乘客，若规定向东为正，向西为负，且他这天上午所接10位乘客的行车里程如下（单位：千米），，，，，，，，，，通过计算回答下列问题 (1)将最后一位乘客送到目地时，小杨在什么位置？ (2)若汽车耗油量为0.15升/千米，这天上午小杨接送乘客，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)小杨在人大门口正东4千米处 (2)11.4升 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用； （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据行车就耗油，可得答案． 【详解】（1）， 答：小杨在人大门口正东4千米处； （2）， （升， 答：这天上午小杨接送乘客，汽车共耗油11.4升． ▌对点练2-1（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）一只蚂蚁从某点P出发，在一条直线上来回爬行，记向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的路程依次为（单位：厘米）：． (1)通过计算说明蚂蚁最后所在位置． (2)若蚂蚁爬行的速度为1厘米/秒，则蚂蚁共爬行了多少时间？ 【答案】(1)见解析； (2)40秒． 【分析】（1）根据相反意义的量，利用有理数的加法运算法则即可； （2）先求出蚂蚁所走的总路程，再根据速度、时间和路程之间的数量关系列式计算即可； 本题考查了正负数的实际应用、绝对值的应用以及有理数加法的应用，掌握相反意义的量及有理数加法的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 所以，蚂蚁回到P点； （2）解：， （秒）， 答：蚂蚁共爬行了40秒． ▌对点练2-2（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图为武汉市地铁2号线行程表的一部分，国庆节期间，学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录如下：．当小波从A站出站时，结束本次志愿服务活动． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？ 【答案】(1)A站是洪山广场站 (2)54千米 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，绝对值的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）求出9个有理数的和，得出结论． （2）求出9个有理数的绝对值和，再乘以1.2，得出总路程． 【详解】（1） ． 所以A站是洪山广场站． （2） ． （千米）． 答：这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为54千米． 题型 有理数加法运算律 ▌例3（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． ▌对点练3-1（25-26六年级上·山东东营·阶段检测）利用运算律计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了加法交换律． （1）根据加法交换律和结合律计算即可； （2）根据加法交换律和结合律计算即可； （3）根据加法交换律和结合律计算即可； （4）先将小数转化为分数，再根据加法交换律计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） ▌对点练3-2（26-27七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：． 【答案】111111 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ▌对点练3-3（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律进行简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 有理数的减法运算 ▌例4（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练4-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ▌对点练4-2（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)4 (3) (4)4 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）先变减法为加法，再根据有理数的加法运算法则计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . ▌对点练4-3（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可； （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型 有理数减法的实际应用 ▌例52026·贵州安顺·二模）我市某天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，根据温差的定义，温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则计算即可． 【详解】 温差最高气温最低气温，最高气温为，最低气温为, 温差为 ，故选D． ▌对点练5-1（2026·河北邢台·模拟预测）如图，某工程队测得点的海拔为，点的海拔为，则点与点之间的高度差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点与点之间的高度差为：， ▌对点练5-2（25-26七年级上·广东广州·期中）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法和减法的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据气温变化，依次计算中午和午夜的温度． 【详解】∵早晨气温为，中午上升了， ∴中午气温为； 又∵午夜下降了， ∴午夜气温为． 故选A． ▌对点练5-3（25-26七年级上·广东珠海·期中）2025年10月14日上午10点，珠海市的气温是，黑龙江省漠河市的气温是，则珠海比漠河气温高______． 【答案】 43 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，计算两地气温的差值，用减法进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：43. 题型 ·有理数的加减混合运算 ▌例6（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）去括号，再将同分母的分数结合起来计算即可； （4）把小数化为分数并去括号，再将同分母的分数结合起来计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． ▌对点练6-2（25-26七年级上·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）变减法为加法，根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型 ·有理数加减中的简便运算 ▌例7（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． ▌对点练7-1（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）观察原式可知相邻两个数之和为1，共50组数，相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练7-2（25-26七年级上·吉林辽源·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是灵活运用加法结合律、交换律进行简便运算． （1）同号的数先相加，然后再加减即可； （2）同分母的分数先加减即可解决问题． 【详解】（1）解： （2）解： ▌对点练7-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （3）利用加法交换律和结合律，将小数部分相同的数以及互为相反数的数分别结合求解； （4）先将带分数拆分成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型 有理数加减混合运算的应用 ▌例8（21-22七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． ▌对点练8-1（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． ▌对点练8-2（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． ▌对点练8-3（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点A出发，规定向东为正，向西为负，下表是某一段时间内从点A出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)该机器人第5次完成工作后在出发点的什么方向？距离出发点多远？ (2)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)西边，米 (2)千瓦时 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）将5次运动的行走记录相加，即可求解； （2）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：（米）， 该机器人第5次完成工作后在出发点的西边，距离出发点米． （2）解：（米）， 则（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 题型 省略加法和括号的形式 ▌例9（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． ▌对点练9-1（25-26七年级上·浙江温州·期中）不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的符号简化，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的运算法则． 先将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，写成和的形式． 【详解】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 因为可以转化为+5， 所以原式可转化为， 省略加号和括号后，得到． 故答案为：． ▌对点练9-2（25-26七年级上·山东临沂·期中）把写成省略括号和加号的形式为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号． 【详解】解：把写成省略括号和加号的形式为． 故答案为：． ▌对点练9-3（25-26七年级上·山西忻州·期中）将算式写成省略括号和加号的形式是____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则进行化简，省略加号和括号，熟练掌握有理数运算中的去括号法则是解题的关键． 根据有理数的加减法法则，省略加号和括号即可． 【详解】解：，，， 原式 ． 故答案为：． 基础通关 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 4．（2026·吉林长春·模拟预测）某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 5．（2026·云南楚雄·一模）我国有世界上海拔最高及唯一一座位于海平面以下的植物园，已知香格里拉高山植物园是世界上海拔最高的植物园，其最高海拔为3600米，而吐鲁番沙漠植物园的平均海拔约为米，则香格里拉高山植物园的最高海拔与吐鲁番沙漠植物园的平均海拔之差为（    ） A．90米 B．3510米 C．3600米 D．3690米 【答案】D 【详解】解：香格里拉高山植物园最高海拔为米，吐鲁番沙漠植物园平均海拔为米， ∴海拔之差为：（米）． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 8．（25-26七年级上·天津和平·期中）已知表示不大于的最大的整数，如，，，则的计算结果是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值的计算，有理数加减混合运算，直接根据定义逐步计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵表示不大于的最大整数，，， ∴，， ∴原式， 故选：． 9．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，进而求出线段的长度． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】50 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：50． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； （2）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？ (2)本次练习中守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置 (2)本次练习中守门员共跑了54米 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减混合运算的应用、绝对值的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键． （1）将练习记录的七个数字相加即可得； （2）将练习记录的七个数字的绝对值相加即可得． 【详解】（1）解： （米）， 答：守门员最后回到了初始位置． （2）解： （米）， 答：本次练习中守门员共跑了54米． 素养提升 1．（2022八年级·香港·竞赛）决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（   ） A．0     B．1      C．4      D．5        E．6 【答案】B 【分析】用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴，即， ∴， 同理，，即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【答案】C 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 【详解】解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将序列每两个数分组，每组和为，最后剩余一个正数，计算组数和剩余项求和． 【详解】解： ． 故选：C． 4．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算与一元一次方程在幻方数字和问题中的应用，解题关键是通过总数字和确定相等的和，再列方程求解未知量． 先计算所有数字的总和，确定横、竖及正方形顶点数字之和的定值，再通过列方程依次求出b、，最后结合内正方形顶点数字和的关系求出c的值． 【详解】计算所有数字的总和为： ； 因为横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等， 所以每个“和”为． 先看竖列：，即， 解得． 再看外正方形顶点：，即， 解得． 剩下的数字为、3、、， 因为，而剩下的两个数字， 所以和分别为和（顺序可换）． 最后看内正方形顶点：， 已知，代入得，即， 解得． 故选：C． 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）将正六边形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，，+3，，．当正六边形结束滚动时，点F表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反意义的量，以及有理数加法的应用，解题的关键是理解题意．将运动情况记录相加，得到正六边形最终向左滚动3圈，由数轴可知，正六边形的周长为6，则正六边形每向左滚动1圈，点表示的数，即可求解． 【详解】解：，即正六边形最终向左滚动3圈， 由数轴可知，正六边形的边长1，则周长为6， 那么向左滚动1圈，点表示的数为， 向左滚动2圈，点表示的数为， 向左滚动3圈，点表示的数为， 故选：D． 迁移创新 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了数字变化规律，有理数的加减运算，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，，，…； ，，，，… ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 3．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读以下材料，并回答问题． (1)如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5．（本题中，数轴上1个单位长度代表．） 由此可得，a的值为_______． (2)借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是110岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】(1)5 (2)图见解析，小明现在10岁，爷爷现在60岁 【分析】本题主要考查了数轴上的两点之间的距离计算，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）仿照题意画出对应的示意图，求出线段的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B处时，点N对应的数为20；当点N移动到点A处时，点M对应的数为5， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，点A表示的数表示小明现在的年龄，点B表示的数表示小明爷爷现在的年龄，的两端分别落在点A、B． 由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为，当点M移动到点B时，点N所对应的数为110． ∴， ∴， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， ∴小明现在10岁，爷爷现在60岁． 3．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）数轴上两个不同的点分别表示有理数两点在数轴上的位置如图所示，且两点之间的距离为3． (1)求的值； (2)若点在数轴上，点到点的距离为4，求点到点的距离； (3)点从点出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个单位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，像这样交替改变移动的方向，且每改变一次方向，就比前一次多移动1个单位长度．依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1) (2)点到点的距离为7或1； (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及有理数的加减计算，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合数轴得出a的值即可； （2）分以下两种情况：当点C位于点B的右侧时，当点C位于点B的左侧时，利用两点间距离公式求解即可． （3）根据平移的性质可知，M点表示的数，计算结果即可． 【详解】（1）解：∵，点A在原点的左侧， ∴； （2）∵两点之间的距离为3，点A在点B的左侧， ∴点B表示的数为：， ∵点到点的距离为4， ∴当点C位于点B的右侧时，点C表示的数为：， 此时点到点的距离为：； 当点C位于点B的左侧时，点C表示的数为：， 此时点到点的距离为：； 综上可得：点到点的距离为7或1； （3）M点表示的数为： ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $