2.1等式性质与不等式性质第2课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“等式性质与不等式性质”，通过回顾等式性质自然过渡到不等式性质学习，以填一填梳理性质、判一判辨析易错点为支架，衔接后续例题应用，构建完整知识脉络。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过例1特殊值法判断命题、例2严格证明不等式、例3整体代换求范围，培养学生推理能力与表达精确性。跟踪训练让学生组合条件结论探究命题，发展创新意识。学生能夯实基础提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

　第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第2课时　等式性质与不等式性质 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标 1.了解等式的基本性质. 2.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识巩固 b＝a a＝c a±c＝b±c ac＝bc < 不可逆 > 可逆 ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > 判一判 (1)若a>b，则a－c>b－c.(　 　) (2)>1⇒a>b.(　 　) (3)若a>b且c>d，则a－c>b－d.(　 　) (4)若a>b且c>d，则ac>bd.(　 　) (5)若ac2>bc2，则a>b.(　 　) √ × × × √ 例题 类型一　利用不等式的性质判断命题的真假 【例1】　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　 　) D 方法总结 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)利用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [跟踪训练1]　(1)已知a＋b>0，且b<0，则(　 　) (2)下列命题正确的是(　 　) A．若a>b，c≠0，则ac2>bc2 B．若a<b， C．若a>b且c<d，则a＋c>b＋d D．若a>b，则a2>b2 D A 类型二　利用不等式的性质证明不等式 【例2】　若a>b>0，c<d<0， 方法总结 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． [跟踪训练2]　已知：①a，b，x均为正数；②a>b； 请以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成一个命题，并判断其真假．若真，请给出证明；若假，请举出反例说明． 解　条件：①②；结论：③. 类型三　利用不等式的性质求范围 【例3】　已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围． (1)x＋y；(2)x－3y； [解]　(1)因为30＜x＜42，16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. (2)因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6. 方法总结 利用不等式的性质求代数式范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解． 课堂小结 1．知识清单 (1)等式的性质． (2)不等式的性质及其应用． 2．核心提示 (1)注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性． (2)方法归纳：赋值法(如例1)． 当堂检测 1．(多选)如果a<0，b>0，那么下列不等式不正确的是(　 　) C．a2<b2 D．|a|>|b| BCD 2．(2024·河北邢台期中)若a>c，b>c，则(　 　) A．ab>c2 B．ab<c2 C．a＋b>2c D．a＋b<2c 解析　取a＝b＝1，c＝－1，有ab＝c2，故A、B均错误．因为a>c，b>c，所以a＋b>2c，故C正确，D错误． C 3．已知a<b<0，c>0，请用恰当的不等号或等号填空：(a－2)c (b－2)c. 解析　因为a<b<0，c>0，所以a－2<b－2，由不等式的性质可得(a－2)c<(b－2)c. 4．(2024·山东青岛一中月考)已知2<x<4，－1<y<3，则2x－y的取值范围为 ． 解析　因为2<x<4，－1<y<3，所以4<2x<8，－3<－y<1，所以1<2x－y<9. < 1<2x－y<9 高效课时作业 返回目录 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 基础巩固 1．(2023·四川南充一中月考)已知a－1>0，则下列结论正确的是(　 　) A．－1<－a<a<1 B．－a<－1<1<a C．－a<－1<a<1 D．－1<－a<1<a 解析　因为a－1>0，所以a>1，由不等式的性质可得－a<－1，故－a<－1<1<a，B正确，A、C、D错误． B 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 2．(2024·广东汕尾期中)已知a，b∈R，则下列命题正确的是(　 　) A．若a>b，则a2≠b2 B．若a2≠b2，则a>b C．若a>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2 解析　对于A，当a＝2，b＝－2时，a2＝b2成立，故A错误；对于B，当a＝1，b＝2时，显然a2≠b2，但a<b，故B错误；对于C，当a＝2，b＝－3时，显然a>b，但a2<b2，故C错误；对于D，若a>|b|，则a2>|b|2＝b2，故D正确. D 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 3．使“a>b”成立的充要条件是(　 　) A．a>b＋1 B．>1 C．a2>b2 D．a3>b3 D 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 4．已知1<a<4，－2<b<3，则(　 　) A．0<2a－b<11 B．－4<2a－b<5 C．－1<2a－b<10 D．－2<2a－b<5 解析　因为1<a<4，所以2<2a<8，又因为－2<b<3，所以－3<－b<2，则－1<2a－b<10，故选C. C 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 5．已知实数a，b，c，若a>b>c，则下列不等式一定成立的是(　 　) A．a－b>b－c B．ac>b2 C．a(a－c)>b(b－c) 解析　关于选项A、B，由题知a>b>c，不妨取a＝3，b＝2，c＝－1，则有a－b＝1<b－c＝3，ac＝－3<b2＝4，故选项A、B错误；关于选项C，不妨取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则有a(a－c)＝－2＝b(b－c)，故选项C错误；关于选项D，∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， 故选项D正确． D 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 6．(多选)在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出成立的有(　 　) A．① B．② C．③ D．④ ABD 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 7．已知0<x<4，0<y<6，则2y－3x的取值范围是 ． 解析　因为0<x<4，0<y<6，所以－12<－3x<0，0<2y<12，所以－12<2y－3x<12. －12<2y－3x<12 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 < 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 9．若a>b>0，d<c<0，求证： 证明　因为d<c<0， 所以－d>－c>0，dc>0. 因为a>b>0，所以－ad>－bc>0， 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 10．已知2<a<3，－2<b<3. (1)求3a＋b的取值范围； (2)求a－b的取值范围． 解　(1)∵2<a<3，－2<b<3，∴4<3a＋b<12. (2)∵2<a<3，－2<b<3，∴－3<－b<2，∴－1<a－b<5. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 能力提升 11．已知－1<a<2，－2<b<3，则下列不等式错误的是(　 　) A．－3<a＋b<5 B．－4<a－b<4 C．2<ab<6 D．0<a2＋b2<13 解析　选项A：因为－1<a<2，－2<b<3，所以－3<a＋b<5，故A正确；选项B：由－2<b<3得－3<－b<2，又－1<a<2，所以－4<a－b<4，故B正确；选项C：－1<a<2，－2<b<3，取a＝0，b＝0，此时ab＝0，不满足2<ab<6，故C错误；选项D：因为－1<a<2，故0<a2<4，因为－2<b<3，所以0<b2<9，所以0<a2＋b2<13，故D正确． C 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 12．已知三个不等式：①ab＞0； ③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个正确命题． 3 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 13．(2024·安徽黄山期中)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤4，2≤x－y≤3，求t＝3x－2y的取值范围． 解　设3x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y， 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 A A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4 C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 15．(数学运算)(多选)设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.6]＝2，[－3.2]＝－4，则当x，y∈R时，下列说法正确的是(　 　) A．0≤x－[x]<1 B．[x]－[y]≤[x－y] C．[3x]－3[x]≤1 D．[x＋y]≤[x]＋[y]＋1 AD 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高效课时作业 解析　对于A，因为[x]表示不超过x的最大整数，所以0≤x－[x]<1，故A正确；对于B，取x＝－2.6，y＝1.5，则[x]＝－3，[y]＝1，得[x]－[y]＝－3－1＝－4，[x－y]＝[－2.6－1.5]＝－5，故B错误；对于C，取x＝0.9，则[3x]＝[2.7]＝2，3[x]＝3[0.9]＝0，得[3x]－3[x]＝2，故C错误；对于D，设x＝[x]＋n(0≤n<1)，y＝[y]＋m(0≤m<1)，则[x＋y]＝[[x]＋n＋[y]＋m]＝[x]＋[y]＋[m＋n]，而0≤m＋n<2.当0≤m＋n<1时，[m＋n]＝0，此时[x＋y]＝[x]＋[y]<[x]＋[y]＋1，当1≤m＋n<2时，[m＋n]＝1，此时[x＋y]＝[x]＋[y]＋1，综上，[x＋y]≤[x]＋[y]＋1，故D正确． 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 填一填 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么 ； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　如果a＝b，那么 ； 性质4　如果a＝b，那么 ； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么． 2．不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 4 可乘性 a>b，c>0⇒ a>b，c<0⇒ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2) 同正 【说明】　不等式的性质是判断不等关系的理论依据．应用不等式的性质解题时需注意以下几点：(1)同向不等式不能相减；(2)异向不等式不能相加；(3)两边同乘或除以一个负数，不等号要反向；(4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd与a＞b，c＞dAac＞bd易混淆，应注意它们的区别，前一个各项为正，后一个没有说明正负，故不成立；(5)在性质7中，若忽略n∈N，n≥2，则有可能得出错误的结论． 8．若a>b>0，n≥2且n∈N*，则 .(填“>”“<”或“＝”) 新视野　素养·情境·思想 14．设a，b∈R，定义运算“”和“⊕”如下：ab＝a⊕b＝若mn≥2，p⊕q≤2，则(　　) $